Энергия, импульс, сила и масса

Материал из Synset

Матричные преобразования <<	Оглавление (Глава 3)	>> Кинетическая энергия

$\textstyle \bullet$ Запишем полученные в первой главе выражения для энергии и импульса частицы массой $\textstyle m$ , движущейся со скоростью $\textstyle u$ :

$E=\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}=\frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}.$

(EQN)

Возводя их в квадрат и вычитая, можно исключить скорость:

$E^2-\mathbf{p}^2=m^2.$

(EQN)

Разделив импульс на энергию, можно также исключить массу:

$\mathbf{p} = E\, \mathbf{u}.$

(EQN)

В такой форме связь энергии и импульса справедлива и для безмассовых частиц, например, фотонов. В этом случае, так как $\textstyle c=1$ , то скорость можно записать при помощи единичного вектора $\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{n}$ , где $\textstyle \mathbf{n}^2=1$ . Учитывая формулу Планка $\textstyle E=h\nu$ , имеем:

$\mathbf{p}=E\,\mathbf{n} = h\nu\,\mathbf{n} = \frac{h}{\lambda}\,\mathbf{n},$

(EQN)

где $\textstyle \lambda =1/\nu$ — длина волны, связанная с квантовыми свойствами фотона (точнее с ансамблем фотонов).

Напомним, что для восстановления в формулах фундаментальной скорости " $\textstyle c$ " необходимо умножить все величины, имеющие размерность времени в некоторой степени, на " $\textstyle c$ " в этой же степени. Поэтому для скорости ( $\textstyle \mathbf{u}$ ), импульса ( $\textstyle \mathbf{p}$ ), энергии ( $\textstyle E$ ), силы ( $\textstyle \mathbf{F}$ ) и ускорения ( $\textstyle \mathbf{a}$ ) необходимо проделать следующие замены:

$t\mapsto t\,c,\;\;\;\;\;\mathbf{u}\mapsto \frac{\mathbf{u}}{c},\;\;\;\;\;\mathbf{p}\mapsto \frac{\mathbf{p}}{c},\;\;\;\;\;E\mapsto \frac{E}{c^2},\;\;\;\;\;\mathbf{F}\mapsto \frac{\mathbf{F}}{c^2},\;\;\;\;\;\mathbf{a}\mapsto \frac{\mathbf{a}}{c^2}.$

Формулы () с константой " $\textstyle c$ " имеют вид:

$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}=\frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}.$

(EQN)

Аналогично соотношения (), () записываются следующим образом:

$E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{u}.$

Можно получить разложения энергии и импульса () в ряд по $\textstyle 1/c$ :

$E=mc^2 + \frac{m\mathbf{u}^2}{2}+\frac{3}{8}\,\frac{m\mathbf{u}^4}{c^2}+..., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}=m\mathbf{u}+m\mathbf{u}\,\frac{\mathbf{u}^2}{2c^2}+...$

Не считая энергии покоя $\textstyle mc^2$ , ведущие члены соответствуют классическим выражениям $\textstyle E=m\mathbf{u}^2/2$ и $\textstyle \mathbf{p}=m\mathbf{u}$ .

$\textstyle \bullet$ В атомной физике и физике элементарных частиц используют не систему единиц СИ, а энергетические единицы электрон-вольты. Это энергия, которую приобретает электрон с зарядом " $\textstyle e$ ", проходя разность потенциалов в один вольт. Электрон-вольт — очень маленькая энергия по сравнению с энергиями, к которым привык человек:

$1\;эВ=1.602\,176\,53(14)\cdot 10^{-19}\;Дж.$

На самом деле она мала даже для типичных задач микромира, поэтому обычно встречаются её производные с приставкой кило ( $\textstyle 10^3$ ), мега ( $\textstyle 10^6$ ), гига ( $\textstyle 10^9$ ), тера ( $\textstyle 10^{12}$ ), и т.д. Обратим внимание на число в круглых скобках в определении $\textstyle 1\;эВ$ . Это экспериментальная ошибка, показывающая типичный разброс последних двух значащих цифр.

В системе единиц $\textstyle c=1$ , которая принята в этой книге, масса равна энергии покоя частицы. Поэтому массы электрона и протона выражаются в электрон-вольтах:

$m_e\approx 0.511\;МэВ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m_p\approx 938\;МэВ.$

Квантовые закономерности определяют характерные размеры и энергии атомов — радиус Бора $\textstyle r_B$ и энергию связи Ридберга $\textstyle E_R$ :

$r_B = \frac{\hbar^2}{m_e e^2}\approx 0.529\cdot 10^{-10}\;м,\;\;\;\;\;\;\;E_R=\frac{e^2}{2r_B}\approx 13.6\;эВ$

Энергия $\textstyle E_R$ определяет дефект массы атома водорода, т.е. разницу между массой электрона + протона и массой всего атома водорода. Масса протона существенно больше этой энергии, поэтому относительное изменение массы атома за счёт энергии связи оказывается порядка $\textstyle 1.5\cdot 10^{-8}$ .

Возможна ситуация, когда вся масса частиц превращается в энергию излучения. Например, это происходит при аннигиляции электрона и антиэлектрона (позитрона) $\textstyle e^{+}+e^{-}\mapsto 2\gamma$ с энергией излучения, равной $\textstyle 2\,m_e\approx 1 MэВ$ .

В то же время изменение энергии привычных объектов приводит к совсем небольшому изменению их массы. Если мы роняем утюг массой $\textstyle m$ с высоты $\textstyle H$ в один метр и вся его потенциальная энергия превращается во внутреннюю, то относительное изменение массы утюга составит:

$\frac{\Delta m }{m}= \frac{mgH/c^2}{m} = \frac{gH}{c^2}\sim 10^{-16}.$

Тот же утюг, используемый по назначению, при нагреве на 200 градусов при удельной теплоёмкости порядка 500 Дж/(кг К) (железо) получит на единицу массы дополнительную энергию $\textstyle 10^5$ Дж/кг. Относительное изменение его массы в этом случае составит порядка $\textstyle 10^{-12}$ .

Матричные преобразования <<	Оглавление (Глава 3)	>> Кинетическая энергия

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Энергия, импульс, сила и масса

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты