Электронный шум

Материал из Synset

Дрожание земной оси <<	Оглавление	>> Хищники и их жертвы

В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.

Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) $\textstyle U$ между двумя точками и проходящий по ней ток $\textstyle I$ . Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: $\textstyle I=dQ/dt$ .

Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей — резистора, конденсатора и индуктивности:

Резистором является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: $\textstyle U=R\cdot I$ , где $\textstyle R$ — константа, называемая сопротивлением.

Конденсатором может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ёмкостью $\textstyle C$ , зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: $\textstyle U=Q/C$ . При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию $\textstyle E=Q^2/2C$ электрического поля.

Индуктивность — это активный элемент, реагирующий на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: $\textstyle U=L\,dI/dt$ . Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную $\textstyle E=LI^2/2$ .

Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов.

В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах $\textstyle U_R+U_C+U_L$ должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через $\textstyle \delta U$ .

Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:

$\left\{ \begin{array}{l} dQ = I\, dt\\ dI = - (\alpha Q + 2 \beta I) \, dt + \sigma \delta W, \end{array} \right.$

где $\textstyle \alpha=1/LC$ , $\textstyle \beta=R/2L$ и $\textstyle \delta U = L \sigma \delta W$ . Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума $\textstyle \sigma$ . В его отсутствие ( $\textstyle \sigma=0$ ) систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:

$\frac{d^2 Q}{d t^2} + 2\beta \frac{d Q}{d t} + \alpha Q = 0.$

Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд $\textstyle Q$ и ток $\textstyle I$ являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток — импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:

$E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2.$

(7.6)

Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных $\textstyle R I^2$ . Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.

Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы $\textstyle \mathbf{A}$ и её собственные значения имеют вид:

$\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\alpha & -2\beta \\ \end{pmatrix} \;\;\;\;\;\;\;a_{1,2}=-\beta \pm i \omega,$

где $\textstyle \omega=\sqrt{\alpha-\beta^2}$ . Мы предполагаем, что сопротивление невелико и $\textstyle 4L/C>R^2$ . По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:

$\begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array}$

(7.7)

Возможно, более быстрый путь — это решение уравнения второго порядка в виде $\textstyle Q(t)=(A\cos \omega t+B\sin \omega t)e^{-\beta t}$ и определение констант при помощи начальных условий $\textstyle Q_0=Q(0)$ , $\textstyle I_0=\dot{Q}(0)$ .

$\textstyle \bullet$ Если некоторая система имеет температуру $\textstyle T$ , можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:

$P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}.$

(7.8)

Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:

$\frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[B_{ik} B_{jk} P\Bigr] = 0.$

В данном случае $\textstyle x_\alpha=\{Q, I\}$ и

$a_\alpha = \{ I, \;\;-\alpha Q - 2\beta I\},\;\;\;\;\; B_{ij} = \sigma\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = \sigma^2\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.$

Поэтому:

$I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.$

Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:

$(L\sigma)^2=2\, kT\,R.$

Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:

$\delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt.$

(7.9)

Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме ( $\textstyle t\to\infty$ ) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. Линейные многомерные модели). Положив $\textstyle \dot\mathbf{D}=0$ , имеем:

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,$

откуда:

$\mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix},$

(7.10)

что согласуется с вероятностью (7.8) и $\textstyle n-$ мерным гауссовым распределением. Заметим, что $\textstyle \left\langle Q^2\right\rangle =kTC$ , $\textstyle \left\langle I^2\right\rangle =kT/L$ , поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном $\textstyle t$ ( $\textstyle \lessdot$ H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме ( $\textstyle \lessdot$ H).

$\textstyle \bullet$ Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом $\textstyle q$ справедливо уравнение движения:

$m \frac{dv}{dt} = -\gamma v - q\mathcal E.$

На электрон действуют две силы — сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле $\textstyle \mathcal E$ . Если в проводнике длиной $\textstyle l$ поле однородно $\textstyle U=l \mathcal E$ , то в устоявшемся режиме ( $\textstyle \dot v$ =0) из уравнения движения следует $\textstyle v=-q\mathcal E/\gamma=-qU/l\gamma$ . Пусть $\textstyle n$ — концентрация электронов. За время $\textstyle \Delta t$ сечение сопротивления площадью $\textstyle S$ пересекает $\textstyle (qn)\,S\Delta x$ зарядов. Для электрона $\textstyle q<0$ , поэтому ток равен:

$I = \frac{dQ}{dt} = -\frac{q n S \Delta x }{\Delta t} = - n q v S =\frac{q^2 n S}{\gamma l}\cdot U.$

Следовательно, по закону Ома $\textstyle R=U/I$ сопротивление равно:

$R=\frac{\gamma l}{q^2 n S}.$

Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:

$dv = -\frac{\gamma}{m} \,v \,dt - \sigma\,\delta W,$

где $\textstyle \delta \mathcal E= (\sigma m/q)\delta W$ — флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: $\textstyle \left\langle v^2\right\rangle =m\sigma^2/2\gamma$ . Кинетическая энергия $\textstyle m\left\langle v^2\right\rangle /2$ равна $\textstyle kT/2$ (одна степень свободы), поэтому $\textstyle \sigma^2=2kT \gamma /m^2$ .

Если в проводнике $\textstyle N=n S l$ электронов, то среднее расстояние между ними $\textstyle l/N$ и флуктуации разности потенциалов $\textstyle \delta U_i = (l/N)\delta \mathcal E$ . Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как $\textstyle \delta W=\varepsilon \sqrt{dt}$ , $\textstyle N=n S l$ , получаем:

$\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,$

и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).

Дрожание земной оси <<	Оглавление	>> Хищники и их жертвы

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Электронный шум

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты