Франк Роте 1911 VII

Материал из Synset

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

VII

21. Приступим теперь к тому, чтобы применить постулат $\textstyle B$ из введения и проверить, какие из $\textstyle \infty^{3}$ групп преобразований, полученных с помощью уравнений (93) и (117), приводят к сокращению $\textstyle w(q)$ , являющемуся четной функцией скорости $\textstyle q$ , т.е. не выделяют ни одно из направлений оси $\textstyle x$ .

Для этого безусловно необходимо и достаточно, чтобы производные нечетного порядка функции $\textstyle w(q)$ исчезли в точке $\textstyle q=0$ . В частности, имеем:

$\left(\frac{dw}{dq}\right)_{q=0}=w'(0)=0,\;\;\;\left(\frac{d^{3}w}{dq^{3}}\right)_{q=0}=w'''(0)=0.$

(118)

Таким образом, вычислим величины $\textstyle w(0)$ , $\textstyle w'(0)$ , $\textstyle w''(0)$ , $\textstyle w'''(0)$ .

Первые две получаем, используя уравнения (112) и (113); остальные проще всего получить путем повторного дифференцирования уравнения (114). Если наряду с этим мы положим $\textstyle q=0$ , то получим:

w''(0) + (α 11 - 2α 22) w'(0) + α 12 w (0) = 0,

(119)

w'''(0) + (2α 11 - 3α 22) w''(0) + 4α 12 w'(0) = 0.

(120)

Отсюда следует, что:

w''(0) = - α 12 - α 22 (α 11 - 2α 22),

(121)

$w'''(0)=2\alpha_{11}\alpha_{12}+\alpha_{22}(2\alpha_{11}^{2}-7\alpha_{12}-7\alpha_{11}\alpha_{22}+6\alpha_{22}^{2}).$

(122)

Из первого уравнения в (118) в сочетании с уравнением (113) следует:

α 22 = 0

(123)

и в сочетании с (123):

α 11 α 12 = 0

(124)

Итак, уравнения (123) и (124) обязательно должны выполняться, для того, чтобы уравнения преобразования приводили к сокращению, удовлетворяющему постулату $\textstyle B$ . Мы вскоре увидим, что существования уравнений (123) и (124) также и достаточно для этого.

22. А именно, в соответствии с уравнением (124) получаем три случая:

$1.\;\;\alpha_{11}=0,\;\;\;\alpha_{12}=0,$

(125a)

$2.\;\;\alpha_{11}=0,\;\;\;\alpha_{12}\neq 0,$

(125b)

$3.\;\;\alpha_{11}\neq 0,\;\;\;\alpha_{12}=0.$

(125c)

Каждой из этих возможностей соответствует определенный вид уравнений преобразования, удовлетворяющий нашим постулатам $\textstyle A$ и $\textstyle B$ .

Как можно увидеть из уравнения (93) в учетом с (117) и (117a), первый случай приводит к группе преобразований Галилея; второй случай, как видно из уравнений (93) в сочетании с (117) и (117b), ведет к преобразованиям Лоренца.

23. Третий подслучай, однако, ведет к пока ещё не рассмотренной группе. Из уравнения (117) в сочетании с (123) и (125c) следует:

w (q) = 1,

(126)

а из уравнения (93):

$\left\{ \begin{array}{lll} t'=(1+\alpha_{11}q)t,\\[2mm] x'=-qt+x. \end{array} \right.$

(127)

Выделенные скорости имеют значения:

$c_{1}=-\frac{1}{\alpha_{11}},\;\;\;c_{2}=\infty,$

(128)

так как это корни квадратного уравнения (54) в случае, если его коэффициенты удовлетворяют условиям (76), (123) и (125c). Уравнения преобразования можно в таком случае записать следующим образом:

$\left\{ \begin{array}{lll} t'=\left(1-\frac{q}{c_{1}}\right)t,\\[2mm] x'=-qt+x \end{array} \right.$

(129)

Представленную с помощью этого преобразования синхронизацию часов можно интерпретировать физически аналогично тому, как это делал Эйнштейн ^[1] в случае преобразований Лоренца.

Предположим, что в момент времени $\textstyle t=0$ из начала координат выходит луч света в положительном направлении и распространяется со скоростью $\textstyle c_{1}$ . Если тело двигается со скоростью $\textstyle q$ , то скорость света по отношению к этому телу будет $\textstyle c_{1}-q$ (в покоящейся система). Если мы хотим, чтобы скорость луча света по отношению к двигающемуся телу была равна $\textstyle c_{1}$ , этого можно достигнуть путем изменения скорости хода часов в отношении $\textstyle c_{1}$ к $\textstyle c_{1}-q$ . Таким образом, мы вводим для двигающегося тела время $\textstyle t'$ , такое что:

$t'=\frac{c_{1}-q}{c_{1}}t,$

то есть получаемое из первого уравнения (129). Такое регулирование времени соответствует принципу Доплера, и поэтому мы будем называть уравнения (129) преобразованиями Доплера.

Преобразование Доплера весьма существенно отличается от преобразования Лоренца тем, что в двигающейся со скоростью $\textstyle q$ системе время во всех пространственных точках одно и то же. Не существует местного времени, и что ещё важнее, если мы произведем регулирование распространяющихся в положительном направлении оси $\textstyle x$ лучей света так, чтобы они имели одну и ту же скорость $\textstyle c_{1}$ для всех двигающихся систем (мы предполагаем здесь $\textstyle c_{1}>0$ ), то скорость распространения лучей света, которые распространяются в отрицательном направлении $\textstyle x$ со скоростью $\textstyle c_{1}$ по отношению к системе в состоянии покоя, будет разной по отношению к различным двигающимся телам.

Из того, что $\textstyle c_{1}$ — выделенная скорость, не следует, что $\textstyle -c_{1}$ тоже является таковой. Согласно уравнению (128), это следовало бы только для $\textstyle c_{1}=\infty$ , т.е. $\textstyle \alpha_{11}=0$ . Однако в таком случае мы имеем дело с преобразованием Галилея.

С другой стороны, для преобразования Лоренца, как следует из уравнения (56) вместе с (76), (123) и (125b), мы имеем:

c 1 = - c 2 = c

ср. также уравнение (89).

Таким образом, мы можем подытожить наше исследованияе следующим образом:

Среди всех уравнений преобразования, соответствующих однопараметрическим линейным однородным группам, существует три типа, в которых величина сокращения не зависит от направления движения в абсолютном пространстве. Среди них только один тип имеет своим следствием фактическое сжатие длин, а именно — преобразование Лоренца [уравнение (1)]. Оба других типа (преобразования Галилея и Доплера) [уравнения (2) и (129) соответственно] оставляют длины неизменными. При преобразовании Лоренца скорость света во всех двигающихся системах при любом направлении распространения имеет одно и то же конечное значение $\textstyle c$ . В преобразовании Доплера, однако, это верно только при распространении в одном направлении; для преобразования Галилея — только если скорость света является бесконечной.

13 января 1911г., Вена

поступила 15 января 1911г.

Примечания

↑ А. Эйнштейн, [6] Анналы физики, 17, с. 891, 1905.

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

Перевод

(c) Synset.com - Артамонова Алла

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

[0] А. Эйнштейн, [6] Анналы физики, 17, с. 891, 1905.

[1]

Франк Роте 1911 VII

Материал из Synset

Примечания

Перевод

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты