Франк Роте 1911 VI

Материал из Synset

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

VI

Перейдем теперь к выводу общих уравнений однопараметрической линейной однородной группы $\textstyle \mathfrak{G}$ , т.е. к определению коэффициентов $\textstyle b_{ik}(q)$ в (43a).

Из сравнения двух уравнений (51a) и (73a), которые должны согласовываться друг с другом, следует, что четыре коэффициента

$\left\{ \begin{array}{lll} b_{11}(q),\;\;\;b_{12}(q),\\[2mm] b_{21}(q),\;\;\;b_{22}(q) \end{array} \right.$

(90)

должны быть пропорциональны четырем величинам:

$\left\{ \begin{array}{lll} 1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q,\;\;\;\alpha_{12}q,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-q,\;\;\;\;\;1 \end{array} \right.$

(91)

где коэффициент пропорциональности, который ещё следует определить, может быть лишь функцией от $\textstyle q$ , которую мы обозначим $\textstyle w(q)$ , так что:

$\left\{ \begin{array}{lll} b_{11}(q)\equiv w(q)\cdot[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q],\;\;\; b_{12}(q)\equiv w(q)\cdot\alpha_{12}q,\\ b_{21}(q)\equiv w(q)\cdot(-q),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b_{22}(q)\equiv w(q) \end{array} \right.$

(92)

благодаря чему, кроме того, также удовлетворяется тождество (75). Подставляя значения (92) в уравнения (43a), получим их в виде:

$\left\{ \begin{array}{lll} t'=w(q)\{[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q]t+\alpha_{12}qx\},\\[2mm] x'=w(q)\{-qt+x\}, \end{array} \right.$

(93)

где функция $\textstyle w(q)$ все ещё неизвестна.

18. При помощи уравнений (93) мы можем сделать вывод о кинематическом значении фактора $\textstyle w(q)$ , прежде чем определим его явный вид. А именно, рассмотрим материальную точку $\textstyle M$ , которая двигается вдоль оси $\textstyle x$ с постоянной скоростью $\textstyle w$ по отношению к системе $\textstyle S$ и находится в момент времени $\textstyle t=0$ в точке $\textstyle x=a$ . Тогда ее движение по отношению к $\textstyle S$ задается уравнением:

x = a + w t .

(94)

Теперь, чтобы найти уравнение движения точки $\textstyle M$ по отношению к системе $\textstyle S'$ , двигающейся по отношению к $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$ , решим уравнения (93) по $\textstyle t$ и $\textstyle x$ , что даст нам уравнение для преобразования, обратного к (92):

$\left\{ \begin{array}{lll} t=\displaystyle \frac{t'-\alpha_{12}qx'}{w(q)[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}]},\\[6mm] x=\displaystyle\frac{qt'+[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q]x'}{w(q)[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}]} \end{array} \right.$

(95)

и подставим найденные выражения (95) в (94). Таким образом получим:

q t' + [1 + (α 11 - α 22) q] x' = a [1 + (α 11 - α 22) q + α 12 q 2] w (q) + w t' - α 12 q w x'.

Решив эти уравнения по $\textstyle x$ , получим:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&a\displaystyle\frac{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}\cdot w(q)\\[4mm] &+&\displaystyle\frac{w-q}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}t', \end{array} \right.$

(96)

или

x' = a' + w' t',

(97)

если

$a'=a\displaystyle\frac{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}\cdot w(q)$

(98)

имеет значение $\textstyle x'$ в момент времени $\textstyle t'=0$ и $\textstyle w'$ — скорость точки $\textstyle M$ по отношению к системе $\textstyle S'$ , найденная с помощью (73a).

Рассмотрим две материальные точки $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ , которые имеют пространственно-временные координаты $\textstyle t_{1}$ , $\textstyle x_{1}$ и $\textstyle t_{2}$ , $\textstyle x_{2}$ , измеренные в неподвижной системе $\textstyle S$ , и которые двигаются с одной и той же постоянной скоростью $\textstyle w$ . Тогда, если в момент времени

t 1 = t 2 = 0

местоположения точек $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ заданы как

$x_{1}=a_{1},\;\;\;x_{2}=a_{2},$

то уравнения движения этих двух точек по отношению к системе $\textstyle S$ выглядят так:

$x_{1}=a_{1}+w t_{1},\;\;\;x_{2}=a_{2}+w t_{2},$

(99)

в то время как их уравнения движения по отношению к системе $\textstyle S'$ , двигающейся по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$ имеют вид:

$x'_{1}=a'_{1}+w' t'_{1},\;\;\;x'_{2}=a'_{2}+w' t'_{2},$

(100)

где $\textstyle t'_{1}$ , $\textstyle x'_{1}$ и $\textstyle t'_{2}$ , $\textstyle x'_{2}$ — пространственно-временные координаты точек $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ , измеренные в системе $\textstyle S'$ . Далее, согласно (98) получим:

$\left\{ \begin{array}{lll} a'_{1}=a_{1}\displaystyle\frac{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}\cdot w(q),\\[4mm] a'_{2}=a_{2}\displaystyle\frac{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}\cdot w(q) \end{array} \right.$

(101)

а скорость точек $\textstyle w'$ по отношению к системе $\textstyle S'$ снова находится с помощью(73a).

Так как обе точки $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ двигаются по оси $\textstyle x$ с одинаковой скоростью $\textstyle w$ , мы можем представить себе их как два конца жесткого стержня, длину которого $\textstyle l$ , измеренную в системе $\textstyle S$ , получаем как расстояние двух одновременно взятых положений $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ относительно $\textstyle S$ , для чего положим в (99):

t 1 = t 2

и вычтем первое уравнение из второго:

l = x 2 - x 1 = a 2 - a 1 .

(102)

Таким же образом полагая в уравнениях (100)

t' 1 = t' 2,

находим для измеренной в системе $\textstyle S'$ длины стержня $\textstyle l'$ выражение

l' = x' 2 - x' 1 = a' 2 - a' 1 .

(103)

Таким образом, из (101) и (102) следует:

$l'=\displaystyle\frac{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}\cdot w(q) \cdot l.$

(104)

В заключение допустим, что стержень не двигается по отношению к системе $\textstyle S'$ , так что $\textstyle w'=0$ . Тогда в соответствии с (69) он двигается по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$ , и из (104) получаем:

$l'=w(q)\cdot l$

(105)

и, следовательно:

shape Функция $\textstyle w(q)$ пределяет тот фактор, на который нужно умножить измеренную в неподвижной системе $\textstyle S$ длину $\textstyle l$ жесткого стержня, равномерно двигающегося по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$ , чтобы получить его длину $\textstyle l'$ в той системе $\textstyle S'$ , по отношению к которой он находится в состоянии покоя.

Полученный фактор $\textstyle w(q)$ называется сокращением.

19. Теперь, чтобы определить вид функции $\textstyle w(q)$ , объединим принадлежащее значению параметра $\textstyle q$ преобразование (93), которое отображает $\textstyle t, x$ в $\textstyle t', x'$ , с некоторым другим преобразованием группы $\textstyle \mathfrak{G}$

$\left\{ \begin{array}{lll} t''=w(q')\{[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q']t'+\alpha_{12}q'x'\},\\[2mm] x''=w(q')\{-q't'+x'\} \end{array} \right.$

(106)

которое соответствует значению параметра $\textstyle q'$ и преобразует $\textstyle t', x'$ в $\textstyle t'', x''$ . Из группового свойства преобразований (93) следует, что результирующее преобразование, которое преобразует $\textstyle t, x$ непосредственно в $\textstyle t'', x''$ , должно иметь вид:

$\left\{ \begin{array}{lll} t''=w(q'')\{[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q'']t+\alpha_{12}q''x\},\\[2mm] x''=w(q'')\{-q''t+x\} \end{array} \right.$

(107)

где параметр $\textstyle q''$ задается уравнением (80) как функция от $\textstyle q$ и $\textstyle q'$ .

Если явно проделать объединение обоих преобразований (93) и (106), то с учетом уравнения (80) получим:

$\left\{ \begin{array}{lll} t''=(1-\alpha_{12}qq')w(q)w(q')\{[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q'']t+\alpha_{12}q''x\},\\[2mm] x''=(1-\alpha_{12}qq')w(q)w(q')\{-q''t+x''\}, \end{array} \right.$

(108)

откуда путем сравнения с (107) следует:

w (q'') = (1 - α 12 q q') w (q) w (q'),

(109)

таким образом, согласно (80) получим:

$w\left(\frac{q+q'+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q q'}{1-\alpha_{12}q q'}\right)=(1-\alpha_{12}q q')w(q)w(q').$

(110)

Это — функциональное уравнение, при помощи которого можно определить функцию $\textstyle w(q)$ . С этой целью продифференцируем (110) по $\textstyle q'$ и затем положим $\textstyle q'=0$ , получая в результате:

w'(q)[1 + (α 11 - α 22) q + α 12 q 2] = w (q)[w'(0) - α 12 w (0) q].

(111)

Однако, согласно последнему уравнению в системе (92),

$w(q)\equiv b_{22}(q),$

так что мы получаем также условия для сокращения $\textstyle w(q)$ согласно (44a) и (46a):

w (0) = b 22 (0) = 1

(112)

и

w'(0) = b' 22 (0) = α 22,

(113)

с помощью которых находим из (111) дифференциальное уравнение:

w'(q)[1 + (α 11 - α 22) q + α 12 q 2] = w (q)[α 22 - α 12 q]

(114)

с начальным условием (112). Из (114) следует:

$\frac{w'(q)}{w(q)}=\frac{\alpha_{22}-\alpha_{12}q}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}$

(115)

а отсюда:

$\int\limits^{q}_{0}\frac{w'(q)}{w(q)}dq=\int\limits^{q}_{0}\frac{\alpha_{22}-\alpha_{12}q}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}dq.$

(116)

Если вычислить интегралы с обеих сторон и решить получившееся уравнение по $\textstyle w(q)$ , найдем в результате выражение для сокращения:

$w(q)=\frac{1}{\sqrt{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}}} \left[\frac{1+\frac{\alpha_{11}-\alpha_{22}+\sqrt{\theta}}{2}q} {1+\frac{\alpha_{11}-\alpha_{22}-\sqrt{\theta}}{2}q}\right] ^{\frac{\alpha_{11}+\alpha_{22}}{2\sqrt{\theta}}},$

(117)

которое действительно удовлетворяет условию (113).

Таким образом, конечные уравнения (93) общей однопараметрической линейной однородной группы, которая генерируется бесконечно малым преобразованием (47) при условии (55), теперь полностью определены. ^[1]

20. Для группы Галилея находим, в частности, с помощью (46b):

w (q) = 1

(117a)

и для группы Лоренца с помощью (46c):

$w(q)=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha_{12}q^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{q^{2}}{c^{2}}}},$

(117b)

что находится в соответствии с уравнениями (2) и (1).

Примечания

↑ Изменение знака $\textstyle \sqrt{\theta}$ также не влияет на уравнение (117). (Ср. подстрочное примечание в п. 12)

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

[0] Изменение знака $\textstyle \sqrt{\theta}$ также не влияет на уравнение (117). (Ср. подстрочное примечание в п. 12)

[1]

Франк Роте 1911 VI

Материал из Synset

Примечания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты