Франк Роте 1911 IV

Материал из Synset

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

IV

12. Теперь, чтобы найти конечные уравнения (43) и (52) расширенной группы $\textstyle \mathfrak{G}_{1}$ , которая генерируется бесконечно малыми преобразованиями (47) и (51), мы должны были бы согласно п.6 (36) интегрировать с начальными условиями (37) систему:

$\frac{dt'}{\alpha_{11}t'+\alpha_{12}x'}= \frac{dx'}{\alpha_{21}t'+\alpha_{22}x'}= \frac{dw'}{-[-\alpha_{21}+(\alpha_{11}-\alpha_{22})w'+\alpha_{12}w'^{2}]}=dp$

(60)

Между тем, мы хотим определить только уравнение (51) для преобразования скорости $\textstyle w$ , для чего используем то обстоятельство, что $\textstyle w'$ зависит только от $\textstyle w$ и $\textstyle p$ , но не от $\textstyle t$ и $\textstyle x$ , так что мы можем непосредственно отдельно интегрировать содержащееся в системе (60) уравнение

$\frac{dw'}{-[-\alpha_{21}+(\alpha_{11}-\alpha_{22})w'+\alpha_{12}w'^{2}]}=dp$

(61)

с начальным условием

$w'=w\;\;\;для\;\;\;p=p_{0}.$

(62)

Получаем следующее выражение:

$\int\limits_{w}^{w'}\frac{dw'}{-[-\alpha_{21}+(\alpha_{11}-\alpha_{22})w'+\alpha_{12}w'^{2}]}= \int\limits^{p}_{p_{0}}dp,$

(63)

и отсюда, если вычислить интегралы и принять во внимание, что обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ являются нулями знаменателя в первом интеграле (63):

$\frac{1}{\sqrt{\theta}}\;\;\ln\;\;(c_{1},c_{2},w,w')=p-p_{0},$

(64)

где под $\textstyle (c_{1},c_{2},w,w')$ понимается двойное перекрестное отношение четырех значений $\textstyle c_{1},c_{2},w,w'$ , т.е. выражение

$(c_{1},c_{2},w,w')=\frac{(c_{1}-w)(c_{2}-w')}{(c_{2}-w)(c_{1}-w')}.$

(65)

Из (64) в итоге следует:

$(c_{1},c_{2},w,w')=e^{\sqrt{\theta}\cdot (p-p_{0})},$

(66)

и отсюда можно найти, решая относительно $\textstyle w'$ :

$w'=\frac{c_{1}c_{2}[1-e^{\sqrt{\theta}(p-p_{0})}]-[c_{2}-c_{1}e^{\sqrt{\theta}(p-p_{0})}]\cdot w} {[c_{1}-c_{2}e^{\sqrt{\theta}(p-p_{0})}]-[1-e^{\sqrt{\theta}(p-p_{0})}]\cdot w},$

(67)

с помощью чего находится конечное уравнение для преобразования скорости (ср. уравнения (28) и (51)). В (67) можно ещё заменить $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ на их значения (56). ^[1]

Наконец, из уравнения (67) можно увидеть, что обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ фактически остаются неизменными при любом конечном преобразовании группы и, таким образом, в любой системе $\textstyle S'$ имеют одни и те же значения. Положим:

$w= \left\{ \begin{array}{lll} c_{1}\\ c_{2} \end{array} \right.$

откуда следует, что

$w'= \left\{ \begin{array}{lll} c_{1}\\ c_{2} \end{array} \right. =w$

для произвольного значения параметра $\textstyle p$ (ср. п.11).

13. Рассмотрим теперь системы $\textstyle S'$ , которые мы ввели в разделе II, п.8, как двигающиеся с различными поcтоянными скоростями $\textstyle q$ по отношению к системе $\textstyle S$ , которую мы считаем неподвижной. Тогда с каждой системой $\textstyle S'$ связано как определенное значение параметра $\textstyle p$ , так и определенная скорость $\textstyle q$ , откуда следует, что между $\textstyle p$ и $\textstyle q$ должна существовать определенная связь, которую мы запишем в виде:

p = F (q).

(68)

Таким образом, параметр $\textstyle p$ выступает как функция скорости $\textstyle q$ .

При помощи уравнения (68) введем в уравнения (43) и (51) скорость $\textstyle q$ вместо параметра $\textstyle p$ ; при этом в группе $\textstyle \mathfrak{G}_{1}$ ничего существенно не изменится. Скорость $\textstyle q$ может теперь рассматриваться как новый параметр группы.

Чтобы определить скорость $\textstyle q$ и тем самым определить вид функции $\textstyle F(q)$ , выдвинем следующий постулат:

shape Если материальная точка $\textstyle M$ двигается в неподвижной системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$ , то она должна иметь скорость $\textstyle w'=0$ по отношению к системе $\textstyle S'$ , равномерно двигающейся относительно $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$ .

Этот постулат утверждает, что пара значений

$w=q, \;\;\;\; w'=0$

(69)

должна удовлетворять уравнению (64), так что мы имеем:

$p-p_{0}=\frac{1}{\sqrt{\theta}}\;\;\ln\;\;(c_{1}, c_{2}, q, 0).$

(70)

Отсюда находим для искомой функции $\textstyle F(q)$ :

$p=F(q)=p_{0}+\frac{1}{\sqrt{\theta}}\;\;\ln\;\;\frac{c_{2}(c_{1}-q)}{c_{1}(c_{2}-q)}$

(71)

и путем подстановки этого выражения в (67) получаем уравнение преобразования для скорости $\textstyle w$ вида:

$w'=\frac{c_{1}c_{2}(w-q)}{c_{1}c_{2}-(c_{1}+c_{2})q+qw},$

(72)

и окончательно, в соответствии с (58):

$w'=\frac{-\alpha_{21}(w-q)}{-\alpha_{21}+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}qw}.$

(73)

Далее, из уравнения (71) следует, что значению параметра $\textstyle p_{0}$ тождественного преобразования соответствует нулевое значение скорости $\textstyle q$ , и, таким образом, покоящуюся систему $\textstyle S$ следует рассматривать как одну из систем $\textstyle S'$ , которая двигается со скоростью $\textstyle q=0$ .

14. Если мы с этого момента будем рассматривать скорость $\textstyle q$ как параметр нашей группы и положим:

$a_{ik}(F(q))\equiv b_{ik}(q),\;\;\;\;(i, k=1, 2),$

(74)

то получим вместо (43) и (51) уравнения

$t'=b_{11}(q)\cdot t+b_{12}(q)\cdot x,\;\;\;x'=b_{21}(q)\cdot t+b_{22}(q)\cdot x$

(43a)

и

$w'=\frac{b_{21}(q)+b_{22}(q)\cdot w}{b_{11}(q)+b_{12}(q)\cdot w},$

(51a)

которые определяют теперь группу $\textstyle \mathfrak{G}_{1}$ . Если мы положим в уравнении (51a) $\textstyle w=q$ , то получим, что $\textstyle w'=0$ при любом значении $\textstyle q$ . Отсюда следует тождество:

$b_{21}(q)+q\cdot b_{22}(q)\equiv 0.$

(75)

Если мы положим в основу группы $\textstyle \mathfrak{G}_{1}$ новые уравнения (43a) и (51a), то значение $\textstyle q=0$ будет приводить к тождеству, и, следовательно, значение $\textstyle q=\delta q$ — соответствует бесконечно малому преобразованию. Тот же вывод мы можем сделать и из уравнений (47), так как хотя сами значения коэффициентов $\textstyle a_{ik}$ могут измениться в результате введения нового параметра $\textstyle q$ , но их отношения — нет, а именно они являются существенными.

В результате нормировки параметра группы, сами коэффициенты $\textstyle a_{ik}$ также получают теперь определенные значения, в то время как до настоящего момента были определены только их отношения. В самом деле, согласно (45) и (46):

$b_{21}(\delta q)=\alpha_{21}\delta q,\;\;\;\;b_{22}(\delta q)=1+\alpha_{22}\delta q,$

и отсюда мы получаем, положив в тождестве (75) $\textstyle q=\delta q$ и опустив в $\textstyle \delta q$ члены второго порядка,

(α 21 + 1)δ q = 0,

то есть

α 21 = - 1,

(76)

поскольку $\textstyle \delta q\neq 0$ . Таким образом, коэффициент $\textstyle a_{21}$ , который до сих пор был связан только неравенством (55), теперь определен точно.

В соответствии с (44) и (46) мы далее получаем уравнения для новых коэффициентов $\textstyle b_{ik}(q)$ в (43a) и (51a):

$\left\{ \begin{array}{lll} b_{11}(0)=1,\;\;\;b_{12}(0)=0,\\[2mm] b_{21}(0)=0,\;\;\;b_{22}(0)=1 \end{array} \right.$

(44a)

и

$\left\{ \begin{array}{lll} b'_{11}(0)=\alpha_{11},\;\;\;b'_{12}(0)=\alpha_{12},\\[2mm] b'_{21}(0)=-1,\;\;\;b'_{22}(0)=\alpha_{22}. \end{array} \right.$

(46a)

Подставив значение (76) в уравнения (47) и (52), мы получим для бесконечно малого преобразовании группы $\textstyle \mathfrak{G}$ :

$\delta t=(\alpha_{11}\;t+\alpha_{12}\;x)\delta q,\;\;\;\delta x=(-t+\alpha_{22}\;x)\delta q,$

(47a)

и для бесконечно малого преобразовании скорости $\textstyle w$ :

δ w = - [1 + (α 11 - α 22) w + α 12 w 2]δ q,

(52a)

или согласно (59):

$\delta w=-\left(1-\frac{w}{c_{1}}\right)\left(1-\frac{w}{c_{2}}\right)\delta q.$

(59a)

Конечное уравнение (73) для преобразования скорости $\textstyle w$ переходит в

$w'=\frac{w-q}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w},$

(73a)

и из уравнения (57) мы в итоге получаем:

θ = (α 11 - α 22) 2 - 4α 12 .

(57a)

15. Если мы объединим преобразование (73a), соответствующее значению параметра $\textstyle q$ и преобразующее $\textstyle w$ в $\textstyle w'$ , с другим преобразованием того же вида:

$w''=\frac{w'-q'}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q'+\alpha_{12}q'w'},$

(77)

которое соответствует значению параметра $\textstyle q'$ и преобразует $\textstyle w'$ в $\textstyle w''$ , то из группового свойства наших преобразований следует, что суммарное преобразование, которое преобразует $\textstyle w$ непосредственно в $\textstyle w''$ , должно иметь вид:

$w''=\frac{w-q''}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q''+\alpha_{12}q''w},$

(78)

где значение параметра $\textstyle q''$ согласно (13) является функцией от $\textstyle q$ и $\textstyle q'$ .

Чтобы определить эту функцию в нашем случае, нам нужно лишь найти в явном виде комбинацию двух преобразований (73a) и (77). Получим:

$\left\{ \begin{array}{lll} w''=\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{w-q}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}}-q'} {{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q'+\displaystyle\frac{\alpha_{12}q'(w-q)}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q w}}}\\[10mm] =\displaystyle\frac{w-\displaystyle\frac{q+q'+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q q'}{1-\alpha_{12}q q'}} {1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})\displaystyle\frac{q+q'+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q q'}{1-\alpha_{12}q q'}+ \alpha_{12}\frac{q+q'+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q q'}{1-\alpha_{12}q q'}w}, \end{array} \right.$

(79)

откуда, после сравнения с (78), следует:

$q''=\frac{q+q'+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q q'}{1-\alpha_{12}q q'}.$

(80)

Это уравнение, которое определяет теперь группу параметров $\textstyle \mathfrak{B}$ нашей группы $\textstyle \mathfrak{G}$ (и $\textstyle \mathfrak{G_{1}}$ ) ^[2], выражает теорему сложения скоростей $\textstyle q$ , где $\textstyle q''$ и $\textstyle q'$ означают скорость системы $\textstyle S''$ относительно систем $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ соответственно, а $\textstyle q$ — скорость $\textstyle S'$ по отношению к неподвижной системе $\textstyle S$ .

Наконец, если уравнение (77) представляет собой преобразование, обратное (73a), т.е.

w'' = w

то комбинированное преобразование (78) должно быть тождественным, а значит, $\textstyle q''=0$ . Однако, из (80), если мы обозначим через $\textstyle \bar{q}$ значение параметра преобразования, обратного (73a), следует:

$q+\bar{q}+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q\bar{q}=0,$

(81)

и, таким образом,

$\bar{q}=\frac{-q}{1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q}.$

(82)

Если подставить это значение вместо $\textstyle q'$ в (77), получим уравнение для преобразования, обратного (73a):

$w=\frac{q+w'+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q w'}{1-\alpha_{12}q w'},$

(83)

которое можно также получить непосредственно, решая (73a) относительно $\textstyle w$ .

Формула (83) показывает, что $\textstyle w$ находится из $\textstyle q$ и $\textstyle w'$ точно таким же способом, как $\textstyle q''$ из $\textstyle q$ и $\textstyle q'$ — эта аналогия легко объясняется кинематическим смыслом уравнений (80) и (83).

Примечания

↑ Обратим внимание, что уравнения (64), (66) и (67) не зависят от знака, который присваивается величине $\textstyle \sqrt{\theta}$ . Если заменить $\textstyle \sqrt{\theta}$ на $\textstyle -\sqrt{\theta}$ , то согласно (56) обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ переходят друг в друга, и уравнения остаются неизменными.
↑ Если придерживаться первоначального группового параметра p, как это имеет место, например, в (67), то уравнение (13) группы параметров имеет вид: $\textstyle p''=p+p'-p_{0}$ .

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

[0] Обратим внимание, что уравнения (64), (66) и (67) не зависят от знака, который присваивается величине $\textstyle \sqrt{\theta}$ . Если заменить $\textstyle \sqrt{\theta}$ на $\textstyle -\sqrt{\theta}$ , то согласно (56) обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ переходят друг в друга, и уравнения остаются неизменными.

[1] Если придерживаться первоначального группового параметра p, как это имеет место, например, в (67), то уравнение (13) группы параметров имеет вид: $\textstyle p''=p+p'-p_{0}$ .

[1]

[2]

Франк Роте 1911 IV

Материал из Synset

Примечания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты