Франк Роте 1911 III

Материал из Synset

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

III

10. Теперь можно подытожить все предположения, которые мы сделали в отношении преобразований (6), следующим образом: shape Преобразования (6), которые связывают пространственно-временные координатаы в начальной и конечной системах $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ , образуют однопараметрическую линейную однородную группу с параметром $\textstyle p$ . Чтобы уравнения (43) со значением параметра $\textstyle p=p_0$ преобразовывались в уравнения (15), которые представляют тождественное преобразование, должно быть:

$\left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle a_{11}(p_{0})=1,\;\;\; a_{12}(p_{0})=0,\\[2mm] \displaystyle a_{21}(p_{0})=0,\;\;\; a_{22}(p_{0})=1. \end{array} \right.$

(44)

Для значения параметра $\textstyle p=p_{0} + \delta p$ получим коэффициенты:

$\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}(p_{0}+ \delta p)=1+a'_{11}(p_{0})\, \delta p,\\[2mm] a_{21}(p_{0}+ \delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{21}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm] a_{12}(p_{0}+ \delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{12}(p_{0})\, \delta p,\\[2mm] a_{22}(p_{0}+ \delta p)=1+a'_{22}(p_{0})\, \delta p, \end{array} \right.$

(45)

и, если мы положим

$\left\{ \begin{array}{lll} a'_{11}(p_{0})=\alpha_{11},\;\;\; a'_{12}(p_{0})=\alpha_{12},\\[2mm] a'_{21}(p_{0})=\alpha_{21},\;\;\; a'_{22}(p_{0})=\alpha_{22}, \end{array} \right.$

(46)

то отсюда следуют уравнения для бесконечно малого преобразования [сравним с уравнениями (19), (20), (21) и (22) в п.5] в виде:

$\delta t=(\alpha_{11}t+\alpha_{12}x)\delta p,\;\;\;\; \delta x=(\alpha_{21}t+\alpha_{22}x)\delta p,$

(47)

таким образом, что для линейной однородной группы (43) выполняется:

$\tau(t,x)\equiv \alpha_{11}t+\alpha_{12}x,\;\;\; \xi(t,x)\equiv \alpha_{21}t+\alpha_{22}x.$

(48)

Коэффициенты $\textstyle \alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}$ могут быть выбраны произвольно, существенны только их отношения. Таким образом, существует $\textstyle \infty^3$ бесконечно малых преобразований (47), и каждое из них генерирует определенную однопараметрическую линейную однородную группу (43).

11. Рассмотрим теперь некоторое определенное преобразование из $\textstyle \mathfrak{G}$ , т.е. придадим параметру $\textstyle p$ какое-либо фиксированное значение. Дифференцируя уравнения (43) мы тогда получим:

$dt'=a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx,\;\;\;\;dx'=a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx,$

(49)

откуда следует, что дифференциалы $\textstyle dt, dx$ преобразовываются так же, как конечные величины $\textstyle t, x$ , и что, таким образом, обе пары величин $\textstyle t, x$ и $\textstyle dt, dx$ подвергаются коградиентным преобразованиям (43) и (49).

Из уравнений (49) следует:

$\frac{dx'}{dt'}=\frac{a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx}{a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx}$

(50)

и, таким образом, вследствие (27):

$w'=\frac{a_{21}(p)+a_{22}(p)\cdot w}{a_{11}(p)+a_{12}(p)\cdot w}.$

(51)

Это уравнение, которое описывает преобразование скорости $\textstyle w$ в $\textstyle w'$ , занимает место уравнения (28) и представляет вместе с уравнениями (43) первую расширенную группу $\textstyle \mathfrak{G}_{1}$ . Особую важность имеет то обстоятельство, что в случае линейной группы $\textstyle w'$ является функцией только от $\textstyle w$ и $\textstyle p$ и не зависит от $\textstyle t$ и $\textstyle x$ .

В итоге, мы получаем бесконечно малое преобразование скорости $\textstyle w$ с помощью (34) и (48) в виде:

δ w = - [ - α 21 + (α 11 - α 22) w + α 12 w 2]δ p,

(52)

откуда следует вывод, что функция $\textstyle \eta(t,x,w)$ в (35) уже не содержит величин $\textstyle t$ и $\textstyle x$ . С помощью этого бесконечно малого преобразования скорость $\textstyle w$ преобразовывается в $\textstyle w'= w+\delta w$ согласно (33) и, таким образом, тогда и только тогда остается неизменной, когда:

δ w = 0.

(53)

Это выполняется для тех скоростей, которые являются корнями квадратного уравнения:

- α 21 + (α 11 - α 22) w + α 12 w 2 = 0.

(54)

Они остаются неизменными при бесконечно малом преобразовании и поэтому (как мы, впрочем, ещё непосредственно покажем в конце п.12) также при любом конечном преобразовании группы $\textstyle \mathfrak{G}$ . В дальнейшем мы будем называть их выделенными скоростями и предположим, что:

shape Скорость $\textstyle w=0$ (т. е. в состоянии покоя) не должна быть выделенной скоростью, откуда следует, что должно быть:

$\alpha_{21}\neq 0.$

(55)

Из предположения (55) прежде всего следует, что исключается случай:

$\alpha_{11}=\alpha_{22},\;\;\;\; \alpha_{12}=\alpha_{21}=0,$

когда уравнение (54) выполняется тождественно и, таким образом, каждая скорость $\textstyle w$ была бы выделенной. В любом другом случае мы имеем только две выделенные скорости, которые обозначим $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ , а именно:

$c_{1}=\frac{\alpha_{22}-\alpha_{11}+\sqrt{\theta}}{2\alpha_{12}},\;\;\;\;c_{2}=\frac{\alpha_{22}-\alpha_{11}-\sqrt{\theta}}{2\alpha_{12}},$

(56)

где

θ = (α 11 - α 22) 2 + 4α 12 α 21 .

(57)

Основные симметричные функции корней $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ :

$c_{1}+c_{2}=\frac{\alpha_{22}-\alpha_{11}}{\alpha_{12}},\;\;\;\;c_{1}c_{2}=-\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{12}},$

(58)

и при помощи этих отношений можно легко привести бесконечно малое преобразование (52) к виду:

$\delta w=\alpha_{21}\left(1-\frac{w}{c_{1}}\right)\left(1-\frac{w}{c_{2}}\right)\delta p,$

(59)

в котором значение $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ как выделенных скоростей становится особенно очевидным.

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Франк Роте 1911 III

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты