Франк Роте 1911 I

Материал из Synset

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

I

1. Пусть $\textstyle t,x,p$ — три переменные, причем мы интерпретируем $\textstyle t, x$ как прямоугольные координаты точки $\textstyle P$ в плоскости $\textstyle t,x$ , а $\textstyle p$ — как параметр. Далее, пусть

$\varphi(t, x, p),\;\;\;\; \psi(t, x, p)$

(3)

две однозначные непрерывные и дифференцируемые функции трех аргументов ^[1]. $\textstyle t, x, p$ , для которых функциональный определитель (якобиан):

$\frac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(t,x)}= \left| \begin{array}{lll} \displaystyle\frac{\partial\varphi}{\partial t}& \displaystyle\frac{\partial\psi}{\partial t}\\[4mm] \displaystyle\frac{\partial\varphi}{\partial x}& \displaystyle\frac{\partial\psi}{\partial x} \end{array} \right|$

(4)

не обращается в нуль тождественно и, кроме того, тождества:

$\frac{\partial\varphi}{\partial p}\equiv 0,\;\;\;\; \frac{\partial\psi}{\partial p}\equiv 0$

(5)

не выполняются одновременно. Для фиксированного значения параметра $\textstyle p$ , каждой паре значений $\textstyle t, x$ ставится в соответствие пара значений $\textstyle t', x'$ , посредством двух уравнений

$t'=\varphi(t,x,p),\;\;\;\; x'=\psi(t,x,p).$

(6)

Это соответствие называется преобразованием и может быть обозначено $\textstyle T_{p}$ . Геометрически преобразование $\textstyle T_{p}$ является точечным отображением плоскости $\textstyle t,x$ на плоскость $\textstyle t', x'$ , которая, как будет предполагаться дальше, также может совпадать с плоскостью $\textstyle t, x$ . Следовательно, мы соотносим координаты $\textstyle t', x'$ преобразованных точек $\textstyle P'$ к той же системе координат, что и координаты $\textstyle t, x$ первоначальных точек $\textstyle P$ .

2. Если параметр $\textstyle p$ непрерывно проходит через весь числовой ряд или некоторый его интервал, мы получим множество $\textstyle \mathfrak{G}$ преобразований $\textstyle T_{p}$ , каждое из которых соответствует определенному значению $\textstyle p$ . Это множество также называется однопараметрическим множеством преобразований.

Если $\textstyle T_{p'}$ — некоторое другое преобразование из множества $\textstyle \mathfrak{G}$ , которое соответствует параметру $\textstyle p'$ и преобразовывает пару $\textstyle t', x'$ в $\textstyle t'', x''$ так, что:

$t''=\varphi(t',x',p'),\;\;\;\; x''=\psi(t',x',p'),$

(7)

то в результате исключения $\textstyle t', x'$ из (6) и (7) получаются уравнения:

$\left\{ \begin{array}{lll} t''=\displaystyle\varphi(\varphi(t,x,p),\;\;\; \psi(t,x,p),\;\;\; p'),\\[2mm] x''=\displaystyle\psi(\varphi(t,x,p),\;\;\; \psi(t,x,p),\;\;\; p'),\\ \end{array} \right.$

(8)

которые представляют собой преобразование $\textstyle T$ , которое $\textstyle t, x$ преобразовывает прямо в $\textstyle t'', x''$ и называется "произведением" преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$ . Мы записываем это как

T = T p T p',

(9)

где порядок сомножителей указывает на последовательность применения преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$ . В общем случае

$T_{p'} T_{p} \neq T_{p} T_{p'},$

(10)

т.е. коммутативный закон несправедлив для композиции преобразований.

3. Вообще говоря, композиция $\textstyle T$ двух преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$ из множества $\textstyle \mathfrak {G}$ не всегда является преобразованием, которое принадлежит множеству $\textstyle \mathfrak{G}$ . Тем не менее, если произведение любых двух преобразований множества $\textstyle \mathfrak{G}$ снова является преобразованием из множества $\textstyle \mathfrak {G}$ , то говорят, что преобразования множества $\textstyle \mathfrak {G}$ обладают групповым свойством. Тогда

(T p T p') T p'' = T p (T p' T p''),

(11)

т.е. к композиции трех (и большего числа) факторов применим ассоциативный закон.

Если $\textstyle \mathfrak {G}$ обладает групповыми свойствами, т.е. $\textstyle T$ принадлежит $\textstyle \mathfrak {G}$ , то уравнения (8) должны иметь вид:

$t''=\varphi(t,x,p''),\;\;\;\; x''=\psi(t,x,p'')$

(12)

где

p'' = π(p, p')

(13)

является функцией только $\textstyle p$ и $\textstyle p'$ .

Теперь можно сказать, что преобразования множества $\textstyle \mathfrak{G}$ образуют группу $\textstyle \mathfrak{G}$ при выполнении следующих условий:

А. Преобразования множества $\textstyle \mathfrak{G}$ обладают групповым свойством.

В. Существует значение параметра $\textstyle p=p_{0}$ , для которого:

$\varphi(t,x,p_{0})\equiv t, \;\;\;\;\psi(t,x,p_{0})\equiv x.$

(14)

Относящееся к этому значению параметра преобразование $\textstyle T_{p_{0}}$ , которое представлено уравнениями

$t'=t, \;\;\;\;x'=x$

(15)

оставляет каждую пару значений $\textstyle t,x$ неизменной и называется тождественным преобразованием.

С. Для любого преобразования $\textstyle T_{p}$ в множестве $\textstyle \mathfrak{G}$ имеется преобразование, которое в сочетании с $\textstyle T_{p}$ в любой последовательности дает тождественное преобразование $\textstyle T_{p_{0}}$ . Это второе преобразование называется обратным к $\textstyle T_{p}$ и обозначается $\textstyle T_{p}^{-1}$ , таким образом:

$T_{p} T_{p}^{-1}=T_{p}^{-1} T_{p}=T_{p_{0}}.$

(16)

Обратное преобразование $\textstyle T_{p}$ находят решением уравнений (6) относительно $\textstyle t$ и $\textstyle x$ , что всегда возможно, поскольку функциональный определитель не обращается в нуль тождественно. Как преобразование множества $\textstyle \mathfrak{G}$ , обратное преобразование $\textstyle T_{p}^{-1}$ соответствует параметру $\textstyle \overline{p}$ , который является функцией только от $\textstyle p$ и может быть найден с использованием условия:

$T_{p}^{-1}=T_{\overline{p}}.$

(17)

Согласно (13) значения $\textstyle p$ и $\textstyle \overline{p}$ удовлетворяют уравнению:

$\pi(p,\overline{p})=p_{0}.$

(18)

Группа $\textstyle \mathfrak{G}$ называется однопараметрической, так как состоит из $\textstyle \infty^1$ преобразований $\textstyle T_{p}$ .

4. Если $\textstyle p$ рассматривается в (13) как переменная преобразования, а $\textstyle p'$ — как параметр (или же наоборот), то это уравнение определяет однопараметрическое множество преобразований, которые также составляют группу $\textstyle \mathfrak{P}$ , где $\textstyle p''$ — преобразованная переменная. Эта группа обозначается как группа параметров $\textstyle \mathfrak{G}$ .

5. Если $\textstyle \delta p$ — бесконечно малая величина, то преобразование, относящееся к значению параметра

p = p 0 + δ p

(19)

отличается от тождественного преобразования бесконечно мало; оно называется бесконечно малым преобразованием группы и превращает точку $\textstyle P=(t, x)$ в бесконечно близкую точку $\textstyle P'$ с координатами:

$t'=t+\delta t,\;\;\;\; x'=x+\delta x,$

(20)

где:

$\delta t=\tau(t,x)\delta p,\;\;\;\; \delta x=\xi(t,x)\delta p$

(21)

и введены обозначения:

$\varphi_{p}'(t,x,p_{0})=\tau(t,x),\;\;\;\; \psi_{p}'(t,x,p_{0})=\xi(t,x).$

(22)

В уравнениях (21), которые определяют бесконечно малые преобразования, $\textstyle \delta p$ может быть заменено на $\textstyle \chi\delta p$ (где $\textstyle \chi$ - отличная от нуля константа) без существенных изменений в свойствах группы $\textstyle \mathfrak{G}$ . Если рассматривать два связанных таким образом бесконечно малых преобразования как тождественные, то каждая однопараметрическая группа будет содержать только одно единственное бесконечно малое преобразование. И наоборот, любое бесконечно малое преобразование (21) однозначно определяет однопараметрическую группу; конечные уравнения (6) находятся путем интегрирования системы:

$\frac{dt'}{\tau(t',x')}=\frac{dx'}{\xi(t',x')}=dp$

(23)

с начальными условиями:

$t'=t,\;\;\; x'=x,\;\;\;for \;\;\;p=p_{0}.$

(24)

6. Если мы рассмотрим $\textstyle x$ как функцию от $\textstyle t$ :

x = f (t),

(25)

то получим кривую $\textstyle \Gamma$ в плоскости $\textstyle t, x$ , которая превращается при помощи преобразования (6) в другую кривую $\textstyle \Gamma'$ с уравнением

x' = f 1 (t').

(26)

Если мы положим

$w=\frac{dx}{dt}=f'(t), \;\;\;\; w'=\frac{dx'}{dt'}=f'_{1}(t'),$

(27)

то преобразование $\textstyle w$ , принадлежащее (6):

$w'=\frac{\psi'_{t}(t,x,p)+\psi'_{x}(t,x,p)\cdot w}{\varphi'_{t}(t,x,p)+\varphi'_{x}(t,x,p)\cdot w}$

(28)

что можно записать сокращенно:

w' = χ(t, x, w, p).

(29)

Это выражение для преобразования $\textstyle w$ при преобразовании координат (6).

Для $\textstyle p=p_{0}$ получим согласно (14):

$\left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle\varphi'_{t}(t,x,p_{0})\equiv 1,\;\; \;\displaystyle\varphi'_{x}(t,x,p_{0})\equiv 0,\\[2mm] \displaystyle\psi'_{t}(t,x,p_{0})\equiv 0,\;\;\; \displaystyle\psi'_{x}(t,x,p_{0})\equiv 1,\\ \end{array} \right.$

(30)

следовательно:

χ(t, x, w, p 0) = w,

(31)

т.е.

w = w'.

(32)

Для $\textstyle p=p_{0}+\delta p$ мы получаем:

w' = w + δ w

(33)

и для бесконечно малого преобразования $\textstyle w$ :

δ w = [ξ' t + (ξ' x - τ' t) w - τ' x w 2]δ p

(34)

или более кратко:

$\delta w=\eta(t,x,w)\cdot\delta p.$

(35)

Уравнения (6) и (28) вместе также представляют однопараметрическую группу преобразований $\textstyle \mathfrak{G}_{1}$ , которые отображают переменные $\textstyle t, x, w$ в $\textstyle t', x', w'$ . Эта группа $\textstyle \mathfrak{G}_{1}$ называется первой расширенной группой. Ее бесконечно малое преобразование задается уравнениями (21) и (34), и из них же мы находим конечные уравнения (6) и (28) группы путем интегрирования системы

$\frac{dt'}{\tau(t',x')}=\frac{dx'}{\xi(t',x')}=\frac{dw'}{\eta(t',x',w')}=dp$

(36)

с начальными условиями:

$t'=t,\; x'=x,\; w'=w \;\;\; for \;\;\;p=p_{0}.$

(37)

Примечания

↑ Если потребуется, три переменных $\textstyle t, x, p$ должны быть ограничены на определенной части поверхности $\textstyle t, x, p$ -множества, которому должна принадлежать каждая система значений $\textstyle t, x, p,$ принимаемая далее во внимание

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

[0] Если потребуется, три переменных $\textstyle t, x, p$ должны быть ограничены на определенной части поверхности $\textstyle t, x, p$ -множества, которому должна принадлежать каждая система значений $\textstyle t, x, p,$ принимаемая далее во внимание

[1]

Франк Роте 1911 I

Материал из Synset

Примечания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты