Ускоренное движение гироскопа

Материал из Synset

Момент импульса и спин <<	Оглавление (Глава 3)	>> Нелокальность законов сохранения

Во второй главе (стр. \pageref{prec_line_sec}) мы рассмотрели ускоренное движение стержня, который при изменении своей скорости перемещается параллельно своему предыдущему положению с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В релятивистской теории такой стержень при движении поворачивается относительно наблюдателей в неподвижной (лабораторной) системе отсчёта.

Аналогичный эффект возникает и со спином вращающейся системы. Пусть на гироскоп действует сила, изменяющая его скорость, но при этом отсутствует момент силы. В классической механике собственный момент вращения при этом должен остаться без изменения (хотя, возможно, изменится полный момент за счёт "орбитального движения"). В теории относительности в таких условиях собственный момент вращения (спин) в общем случае изменяется (прецессирует).

Введём три системы отсчёта $\textstyle K$ , $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ . Пусть скорость системы $\textstyle K'$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf{v}$ , а скорость системы $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K'$ равна $\textstyle d\mathbf{v}'$ . Соответственно, скорость $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}$ . Эти скорости связаны при помощи закона сложения скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}:

$d\mathbf{v}' = \frac{({\mathbf v} + d\mathbf{v}) - \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}({\mathbf v} + d\mathbf{v}))} {\gamma\, (1-{\mathbf v}({\mathbf v} + d\mathbf{v}))} \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1},$

(EQN)

где приближённое равенство записано с точностью до первого порядка малости по $\textstyle d\mathbf{v}$ .

Последующие рассуждения будут справедливы для любого 4-вектора $\textstyle S^\alpha$ , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости $\textstyle U^\alpha=\{\gamma_u,\,\mathbf{u}\gamma_u\}$ :

$\mathrm{U}\cdot \mathrm{S} = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0.$

(EQN)

Из этого соотношения следует, что $\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}$ . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () $\textstyle t\mapsto \mathbf{u}\mathbf{S}$ и $\textstyle \mathbf{r}\mapsto \mathbf{S}$ ):

$\mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}).$

(EQN)

Обратное преобразование получается заменой скорости $\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}$ :

$\mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'),$

(EQN)

так как в любой системе отсчёта $\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}$ .

Если гироскоп неподвижен ( $\textstyle \mathbf{u}'=0$ ) относительно системы $\textstyle K'$ , то:

$\mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}').$

(EQN)

Обратное преобразование получается из соотношения () после подстановки $\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}$ :

$\mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}).$

(EQN)

Применим преобразование () между системами $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ . Пусть в системе $\textstyle K''$ находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином $\textstyle \mathbf{S}''$ . В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить $\textstyle \mathbf{v}\mapsto d\mathbf{v}'$ . В результате в первом приближении по $\textstyle d\mathbf{v}'$ спин остаётся в системе $\textstyle K'$ без изменений: $\textstyle \mathbf{S}' = \mathbf{S}''.$

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе $\textstyle K'$ со спином $\textstyle \mathbf{S}'$ (см. выше рисунок). Когда начала систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ совпадают, аналогично стержням (стр. \pageref{prec_line_sec}) "совпадают" и гироскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы $\textstyle K''$ получается при изменении на $\textstyle d\mathbf{v}'$ скорости гироскопа системы $\textstyle K'$ . Спин гироскопа $\textstyle K''$ в соответствии с () относительно $\textstyle K$ равен:

$\mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}').$

(EQN)

Это выражение даёт значение спина гироскопа в момент времени $\textstyle t+dt$ после изменения им скорости на $\textstyle d\mathbf{v}'$ относительно системы $\textstyle K'$ . Вычитая из него значение спина () в момент времени $\textstyle t$ , получаем:

$d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}),$

(EQN)

где во втором равенстве $\textstyle d\mathbf{v}'$ выражено через $\textstyle d\mathbf{v}$ при помощи (), а вместо $\textstyle \mathbf{S}'$ подставлено выражение ().

Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt$ , окончательно получаем:

$\frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}).$

(EQN)

Если ускорение $\textstyle \mathbf{a}$ остаётся перпендикулярным вектору спина ( $\textstyle \mathbf{a}\mathbf{S}=0$ ), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Это изменение приводит как к повороту спина (прецессии), так и к изменению модуля вектора $\textstyle \mathbf{S}$ .

Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), стр.\pageref{main}, описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

$\textstyle \bullet$ Уравнению () можно придать ковариантную форму:

$\frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta,$

(EQN)

где $\textstyle V^\alpha=\{\gamma, \mathbf{v}\gamma\}$ — 4-скорость, а $\textstyle A^\alpha$ — 4-ускорение (стр. \pageref{acsel_4vec}):

$A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{\gamma^4\,(\mathbf{v}\mathbf{a}),\;\gamma^2\,\mathbf{a}+ \gamma^4\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\}$

(EQN)

и $\textstyle d\tau=\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,dt$ — собственное время системы $\textstyle K'$ . Действительно, свёртка 4-ускорения и 4-спина равна:

$A^\beta S_\beta = A^0 S^0 - \mathbf{A}\mathbf{S} = \gamma^4\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, (\mathbf{v}\mathbf{S}) -\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S}) - \gamma^4\,(\mathbf{v}\mathbf{S})\,(\mathbf{v}\mathbf{a}) = -\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S}).$

Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено из следующих соображений. Пусть изменение спина в ковариантной форме может зависеть только от 4-скорости, 4-ускорения и 4-спина. Тогда из соображений ковариантности:

$\frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \lambda\, \mathrm{V}+\sigma\,\mathrm{A} + \kappa\,\mathrm{S},$

(EQN)

где $\textstyle \lambda$ , $\textstyle \sigma$ $\textstyle \kappa$ , — некоторые коэффициенты. Будем считать, что в мгновенно сопутствующей инерциальной системе, в которой частица покоится ( $\textstyle \mathrm{V}=\{1,\mathbf{0}\}$ , $\textstyle \mathrm{A}=\{0,\mathbf{a}\}$ , $\textstyle \mathrm{S}=\{0,\mathbf{S}\}$ ) изменение спина нулевое $\textstyle (d\mathbf{S}/dt=0)$ , т.е. спин переносится параллельно своему предыдущему положению. В этом случае несложно видеть, что $\textstyle \sigma=\kappa=0$ . Продифференцируем теперь условие ортогональности 4-спина и 4-скорости $\textstyle \mathrm{S\cdot V}=0$ :

$\frac{d(\mathrm{S\cdot V})}{d\tau} =\frac{d\mathrm{S}}{d\tau} \cdot \mathrm{V} + \mathrm{S}\cdot\frac{d\mathrm{V}}{d\tau} = \lambda + \mathrm{S}\cdot\frac{d\mathrm{V}}{d\tau} = 0,$

где учтено, что квадрат 4-скорости равен единицы ( $\textstyle \mathrm{V}^2=1$ ). Находя из этого уравнения $\textstyle \lambda$ и подставляя в (), мы приходим к уравнению ().

При переносе Ферми, в cилу $\textstyle \mathrm{V}\cdot \mathrm{S}=0$ , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина: $\textstyle \mathrm{S}^2=const$ , хотя квадрат 3-вектора спина $\textstyle \mathbf{S}^2$ изменяется, если спин не ортогонален скорости или ускорению.

Отметим также уравнение, описывающее изменение модифицированного спина $\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{S} M/\mathcal{E}=\mathbf{S}/\gamma$ относительно лабораторной системы отсчёта.

$\frac{d\tilde{\mathbf{S}}}{dt} = \gamma^2 \,[\mathbf{a}\times[\mathbf{v}\times\tilde{\mathbf{S}}].$

(EQN)

Модифицированный спин равен чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии: $\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{L}-\mathbf{R}\times\mathbf{P}$ .

При равноускоренном движении (стр. \pageref{lorenz_v}) из состояния покоя интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

$S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;S_y(t)=S_{y0},$

(EQN)

где $\textstyle S_{x0}=S_x(0)$ — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:

$\frac{dS_x}{S_x} = \frac{va\,dt}{1-v^2(t)} = -\frac{1}{2} \,d \bigl[\ln (1-v^2(t))\bigr].$

Его интегрирование приводит к ().

Можно рассмотреть равномерное движение центра энергии гироскопа по окружности. В этом случае поворот стержня и прецессия спина ведут себя схожим образом. При малых скоростях $\textstyle v$ при каждом обороте по окружности спин, как и стержень, поворачивается на небольшой угол, равный $\textstyle \pi v^2$ \cite{Stepsnov_Thomas}.

Аналогично спину получается уравнение, описывающее изменение полного момента импульса $\textstyle \mathbf{L}$ гироскопа, записанное относительно неподвижной (лабораторной) системы отсчёта. Так как проекции вектора $\textstyle \mathbf{L}$ являются компонентами 4-тензора, его трансформационные свойства отличаются от свойств спина. Поэтому результирующее уравнение также отличается от () и имеет вид:

$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}].$

Если ускоренное движение происходит вдоль прямой (векторы $\textstyle \mathbf{v}$ и $\textstyle \mathbf{a}$ параллельны), изменение компонент момента импульса совпадает с соответствующими преобразованиями Лоренца для мгновенно сопутствующей гироскопу инерциальной системы отсчёта.

Отметим, что исходная формула Томаса для прецессии спина отличалась от уравнения (). Это было связано с тем, что Томас учёл только вигнеровское вращение, которое мы рассмотрим в 5-й главе. Однако это не единственный эффект, приводящий к прецессии векторов, связанных с неинерциальной системой отсчёта \cite{Stepsnov_Thomas}.

Момент импульса и спин <<	Оглавление (Глава 3)	>> Нелокальность законов сохранения

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Ускоренное движение гироскопа

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты