Стохастические уравнения

Материал из Synset

Стохастический мир <<	Оглавление	>> Случайные величины

$\textstyle \bullet$ Благодаря трудам Ньютона и Лейбница исследователи получили в своё распоряжение дифференциальные уравнения. Если некоторые величины изменяются во времени, то обычно существует система уравнений, описывающих эту динамику.

Простейший пример - часто встречающийся закон пропорциональности скорости изменения величины ей самой:

$\frac{dx}{dt} = \alpha\cdot x ~~~~~~~ => ~~~~~~~~~~~~ x(t)=x_0\, e^{\alpha t}.$

(1.1)

Функция $\textstyle x(t)>0$ может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если $\textstyle \alpha>0$ , то это уравнение называют уравнением роста, в противном случае -- уравнением распада. В решении присутствует произвольная константа $\textstyle x_0$ , для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов $\textstyle x_0=x(0)>0$ в момент времени $\textstyle t_0=0$ .

Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. Относительное изменение численности популяции $\textstyle dx/x = A\, dt$ в общем случае может быть функцией $\textstyle x$ . Разложим её в ряд $\textstyle A(x)=\alpha-\beta\, x + ...$ , ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к логистической функции, которая со временем выходит на стационарное значение $\textstyle \alpha/\beta$ (при $\textstyle \alpha>0$ ):

$\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x^2 ~~~~~~~~~~=>~~~~~~~~~~x(t)=\frac{\alpha }{\beta - (\beta - \alpha/x_0 ) \cdot e^{-\alpha t}}.$

(1.2)

Решение уравнения (1.2) получается после замены $\textstyle x(t)=1/y(t)$ . Асимптотически ( $\textstyle t\to\infty$ ) равновесное значение $\textstyle x_{\infty}=\alpha/\beta$ легко найти из уравнения, в котором $\textstyle dx/dt=0$ . Стоит напомнить, что (1.2) применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма.

$\textstyle \bullet$ Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила $\textstyle F(x)$ изменяет импульс $\textstyle p=m \dot{x}$ частицы:

$\left\{ \begin{array}{l} \dot{p} = F(x)\\ \dot{x} = p/m, \end{array} \right.$

(1.3)

где точка сверху означает производную по времени $\textstyle \dot{x}=dx/dt$ , а $\textstyle m$ -- массу частицы. К примеру, если сила линейна $\textstyle F(x)=-kx$ , то координата частицы совершает колебания $\textstyle x(t)=x_0\cos (wt)+(p_0/\omega m)\, \sin(wt)$ с частотой $\textstyle w=\sqrt{k/m}$ . Так как уравнений два, возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты $\textstyle x_0=x(0)$ и импульса $\textstyle p_0=p(0)$ .

Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:

$d\mathbf{x} = \mathbf{a}(\mathbf{x}, t)\, dt,$

(1.4)

где $\textstyle \mathbf{x}(t) = \{x_1(t),..., x_n(t)\}$ -- вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция $\textstyle \mathbf{a}(\mathbf{x}, t)$ определяет её динамику. Любые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе (1.4) введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона (1.3).

Мы записали (1.4) в виде изменения вектора $\textstyle \mathbf{x}(t)$ за бесконечно малый интервал времени $\textstyle dt$ . Такое представление даёт простой алгоритм численного интегрирования уравнений (1.4) в ситуации, когда аналитическое решение получить не удаётся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные $\textstyle \Delta\mathbf{x}=\mathbf{x}_{k+1}-\mathbf{x}_k$ , $\textstyle \Delta t = t_{k+1}-t_k$ . В результате (1.4) соответствует дискретной итерационной схеме:

$\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \mathbf{a}(\mathbf{x}_k, t_k)\, \Delta t.$

(1.5)

Задав начальный вектор $\textstyle \mathbf{x}_0$ , мы получаем его новое значение $\textstyle \mathbf{x}_1$ через интервал $\textstyle \Delta t$ . Затем $\textstyle \mathbf{x}_1$ подставляем вместо $\textstyle \mathbf{x}_0$ и находим $\textstyle \mathbf{x}_2$ . Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора $\textstyle \mathbf{x}(t)$ в дискретные моменты времени $\textstyle t_0$ , $\textstyle t_1=t_0+\Delta t$ , $\textstyle t_2=t_0+2\Delta t$ , и т.д. Чем меньше интервал времени $\textstyle \Delta t$ , тем ближе численные значения схемы (1.5) будут приближаться к истинному решению уравнения (1.4).

$\textstyle \bullet$ Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.

В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещё большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат $\textstyle \mathbf{x}(t)$ пыльцы в этом случае настолько велика, что её производную по времени уже нельзя определить.

По мере структурного усложнения природных систем роль стохастических (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за счёт случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (1.2), на самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция $\textstyle x_0e^{\alpha t}$ в реальности сильно искажается экономическими подъёмами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.

Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо -- вероятностное:

Обыкновенные дифференциальные уравнения -- это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения.

В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.

Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо стохастическое уравнение следующего вида:

$d\mathbf{x} = \mathbf{a}(\mathbf{x}, t)\, dt + \mathbf{Noise}(\mathbf{x}, t, dt).$

(1.6)

Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы $\textstyle \mathbf{x}$ . Так как $\textstyle d\mathbf{x}$ предполагается малым, соответственно, определённым образом при уменьшении интервала времени $\textstyle dt$ должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума $\textstyle \mathbf{Noise}(\mathbf{x}, t, dt)$ , обладающего теми или иными свойствами.

Решением стохастического уравнения является случайная функция $\textstyle \mathbf{x}(t)$ , которая зачастую существенно отличается от добропорядочной функции математического анализа. Если под увеличением рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная функция при любом увеличении может оставаться изломанной:

Несмотря на то, что случайная функция $\textstyle \mathbf{x}(t)$ предполагается непрерывной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение $\textstyle [\mathbf{x}(t+\Delta t)-\mathbf{x}(t)]/\Delta t$ при $\textstyle \Delta t \to 0$ . Сколь малый интервал времени мы ни взяли бы, за счёт случайных факторов направление изменения функции может иметь непредсказуемо различный знак. В результате мы не получаем сходимости к определённому пределу. Понятно, что для такого $\textstyle d\mathbf{x}$ многие факты математического анализа должны быть существенным образом пересмотрены.

Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (1.6). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитические соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном счёте разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.

Стохастический мир <<	Оглавление	>> Случайные величины

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Стохастические уравнения

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты