Скорость

Материал из Synset

Преобразования Лоренца <<	Оглавление (Глава 1)	>> Аксиоматика Эйнштейна

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ . Пусть их оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ направлены параллельно друг к другу относительной скорости. Скорость системы $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ равна $\textstyle v$ , а скорость $\textstyle S$ относительно $\textstyle S'$ , соответственно, " $\textstyle -v$ ":

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением $\textstyle \{x,y\}$ и моментом времени $\textstyle t$ . Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения $\textstyle \{t,x,y\}$ для $\textstyle S$ и $\textstyle \{t',x',y'\}$ для $\textstyle S'$ . Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ , которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени $\textstyle t_1$ (в системе $\textstyle S$ ) и конца в момент $\textstyle t_2$ . Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками $\textstyle \{x_1,y_1\}$ и $\textstyle \{x_2,y_2\}$ . Интервал времени между событиями и разности координат равны:

$\Delta t=t_2-t_1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x= x_2-x_1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y= y_2-y_1.$

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга.

В силу линейности преобразований и постоянства скорости $\textstyle v$ для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

$\Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y.$

(1.13)

Часто мы будем записывать все соотношения для 2-мерного пространства $\textstyle \{x,y\}$ , помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось $\textstyle z$ будет такой же, как и на ось $\textstyle y$ .

Рассмотрим движущийся объект. Можно измерить его положение, т.е. координаты $\textstyle \{x_1,y_1\}$ в момент времени $\textstyle t_1$ , а затем положение $\textstyle \{x_2,y_2\}$ в момент времени $\textstyle t_2$ . По определению проекции его скорости $\textstyle \mathbf{u}=\{u_x, u_y\}$ в системе $\textstyle S$ равны

$u_x=\frac{\Delta x}{\Delta t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{\Delta y}{\Delta t},$

и, аналогично, со штрихами в $\textstyle S'$ . Если скорость объекта постоянна, то величина интервала времени роли не играет. Для движения с переменной скоростью предполагается, что $\textstyle \Delta t$ сколь угодно мал (производная координаты по времени).

Из преобразований для приращений (1.13) несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ :

$u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2}}{1-u_xv}.$

(1.14)

Обратные преобразования скорости получаются прямыми вычислениями. Впрочем, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета можно сразу изменить знак у скорости $\textstyle v$ и переставить местами штрихованные и нештрихованные величины:

$u_x =\frac{u'_x+v}{1+u'_xv},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{u'_y\sqrt{1-v^2}}{1+u'_xv}.$

(1.15)

Если, например, мы стоим на перроне и $\textstyle \mathbf{u}'=\{u'_x,u'_y\}$ — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью $\textstyle v$ , то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

$u_x\approx u'_x+v,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y\approx u'_y.$

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости $\textstyle c=1$ . Чем быстрее движется муха или поезд, тем сильнее "сложение" их скоростей (1.15) отличается от классического.

$\textstyle \bullet$ Попрактикуемся в восстановлении фундаментальной константы $\textstyle c$ . Для всех скоростей необходимо сделать замену $\textstyle v\mapsto v/c$ , поэтому преобразование скоростей, например, вдоль оси $\textstyle x$ принимает вид:

$u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2}.$

Рассмотрим объект, движущийся вдоль оси $\textstyle x$ с фундаментальной скоростью $\textstyle u_x=c$ . Тогда в другой системе $\textstyle S'$ его скорость будет равна:

$c' = \frac{c-v}{1-cv/c^2} = c.$

Таким образом, объект, движущийся со скоростью, равной " $\textstyle c$ ", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому " $\textstyle c$ " можно также назвать инвариантной скоростью.

При помощи преобразований (1.14) несложно ( $\textstyle \lessdot$ H) проверить, что квадрат длины скорости $\textstyle \mathbf{u}^2=u_x^2+u_y^2$ преобразуется следующим образом:

$1-\mathbf{u}'^2 = \frac{\left( 1-\mathbf{u}^2 \right)\,(1-\mathbf{v}^2)}{(1-\mathbf{u}\mathbf{v})^2},$

(1.16)

где $\textstyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x\,v$ — проекция скорости объекта $\textstyle \mathbf{u}$ на скорость системы $\textstyle \mathbf{v}$ . Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью $\textstyle \mathbf{u}^2=c^2=1$ , то и в другой инерциальной системе $\textstyle \mathbf{u}'^2=1$ , поэтому " $\textstyle c$ " является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца (см. следующий раздел). Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

Запишем при помощи векторных преобразований Лоренца (1.12), стр. \pageref{lorenz_vec0}, преобразование для скорости также в векторном виде. Разделив $\textstyle \Delta\mathbf{r}'$ на $\textstyle \Delta t'$ , получаем:

$\mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\gamma\mathbf{v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf u})} {\gamma\,(1-\mathbf{u}\mathbf{v})}.$

(1.17)

При помощи двойного векторного произведения (тождество "бац минус цаб", стр.\pageref{abc_bac_cab}) это преобразование можно переписать в таком виде:

$\mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\mathbf{v} + [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{u}]]\,\Gamma/\gamma }{1-\mathbf{u}\mathbf{v}}.$

(1.18)

Если скорость системы отсчёта $\textstyle S'$ параллельна скорости тела, то произведение $\textstyle \mathbf{v}\times\mathbf{u}=0$ и (1.18) совпадает с одномерным преобразованием скорости вдоль оси $\textstyle x$ (1.14).

$\textstyle \bullet$ Фундаментальная инвариантная скорость " $\textstyle c$ " является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе $\textstyle S$ создаёт своего клона и отправляет его в полет со скоростью $\textstyle v$ (система $\textstyle S_1$ ). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система $\textstyle S_2$ ), и т.д. до бесконечности. В классической физике $\textstyle n$ -тый клон относительно системы $\textstyle S$ имел бы скорость $\textstyle u_n=n\,v$ , которая при $\textstyle n\to\infty$ также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость $\textstyle n$ -того и $\textstyle (n-1)$ -го клонов относительно системы отсчета $\textstyle S$ связаны следующим образом:

Если протабулировать это соотношение, начиная с $\textstyle u_0=0$ , $\textstyle v=1/2$ , то получится график, приведенный на рисунке справа. Скорость $\textstyle u_n$ при $\textstyle n\to\infty$ стремится к $\textstyle c=1$ . Хотя $\textstyle u_n$ постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в $\textstyle S$ каждая добавка становится всё меньше. При $\textstyle n\to\infty$ можно положить $\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_\infty$ и получить асимптотическое значение, не зависящее от $\textstyle v$ : $\textstyle u_\infty = (u_\infty + v)/(1+u_\infty \,v),$ откуда $\textstyle u_\infty = 1.$

Найдём явную зависимость $\textstyle u_n$ от $\textstyle n$ . Закон сложения скоростей (1.15) можно записать следующим образом:

$\frac{1+u_x}{1-u_x} = \frac{1+u'_x}{1-u'_x}\cdot\frac{1+v}{1-v}.$

Вводя гиперболический арктангенс (стр. \pageref{m_hyperbol}), имеем:

$\mathrm{ath}(u_x)=\mathrm{ath}(u'_x)+\mathrm{ath}(v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}(v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.$

Поэтому $\textstyle \mathrm{ath}(u_{n})=n \,\mathrm{ath}\,(v)$ , или:

$u_n = \frac{1-w^n}{1+w^n},\;\;\;\;\;\;\;\;\;w=\frac{1-v}{1+v} < 1.$

Понятно, что при $\textstyle n\to \infty$ , $\textstyle u_n\to 1$ . Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим при рассмотрении пространства Лобачевского (стр. \pageref{sec_spher_geometr}).

Кроме рассмотренного мысленного эксперимента с клонами, существуют также веские энергетические причины предельности скорости " $\textstyle c$ ", которые будут рассмотрены чуть позже.

$\textstyle \bullet$ При помощи преобразований (1.13) несложно ( $\textstyle \lessdot$ H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

(Δ s) 2 = (Δ t') 2 - (Δ x') 2 - (Δ y') 2 = (Δ t) 2 - (Δ x) 2 - (Δ y) 2 .

Величина $\textstyle \Delta s$ называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке $\textstyle (x_1,y_1)$ произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью $\textstyle c=1$ , то за время $\textstyle \Delta t$ её радиус $\textstyle R$ станет равным $\textstyle \Delta t$ :

Следовательно, $\textstyle (\Delta s)^2=0$ , и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть сферической из любой инерциальной системы отсчета.

Если $\textstyle (\Delta s)^2>0$ , то интервал называется времениподобным. В частности, если $\textstyle \Delta x=\Delta y=0$ , то $\textstyle \Delta s$ равен времени $\textstyle \Delta t$ , прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью $\textstyle \mathbf{u}$ , меньшей единицы ( $\textstyle c=1$ ):

$(\Delta s)^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2 = (\Delta t)^2\cdot (1-{\mathbf u}^2)>0,$

где $\textstyle {\mathbf u}^2$ — квадрат скорости перемещения на $\textstyle \Delta x$ , $\textstyle \Delta y$ за время $\textstyle \Delta t$ . Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если $\textstyle (\Delta s)^2<0$ , то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых $\textstyle (\Delta s)^2<0$ , нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина $\textstyle \Delta s$ является расстоянием в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

$\textstyle \bullet$ Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости " $\textstyle c$ ", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость " $\textstyle c$ ". Например, преобразования Лоренца при $\textstyle v=c$ обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость " $\textstyle c$ ", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен так, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью " $\textstyle c$ ". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире " $\textstyle c$ " являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью $\textstyle c$ . "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости " $\textstyle c$ ". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости " $\textstyle c$ " сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока рассматривать не будем.

Преобразования Лоренца <<	Оглавление (Глава 1)	>> Принцип параметрической неполноты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Скорость

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты