Сила

Материал из Synset

Космические полёты <<	Оглавление (Глава 3)	>> Решения динамических уравнений

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим движение частицы под воздействием внешней, не зависящей от времени силы. В классической физике для предсказания траектории частицы $\textstyle \mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ достаточно знать её положение и скорость в начальный момент времени. Если траектория является гладкой (дифференцируемой) функцией времени, то с математической точки зрения это означает, что уравнения движения должны быть дифференциальными уравнениями второго порядка:

$\mathbf{f}(\ddot{\mathbf{r}}, \dot{\mathbf{r}}, \mathbf{r})=0,$

где точка над вектором означает производную по времени. Знание уравнений движения, начальных значений скорости $\textstyle \mathbf{u}_0=\dot{\mathbf{r}}(0)$ и положения $\textstyle \mathbf{r}_0=\mathbf{r}(0)$ объекта позволяет предсказать его траекторию. Естественно, для этого необходим явный вид уравнений, которые обычно получаются на основе эмпирических наблюдений. Например, при движении небольшого ("пробного") заряда $\textstyle q$ в окрестности неподвижного заряда $\textstyle Q$ выполняется закон Кулона:

$\frac{d\mathbf{p}}{dt} =\frac{qQ}{r^3}\,\mathbf{r}.$

В левой части уравнения находится производная релятивистского импульса $\textstyle \mathbf{p}=m\mathbf{u}/\sqrt{1-\mathbf{u}^2}$ . Векторная функция координат в правой части называется силой. Таким образом, по определению сила равна скорости изменения импульса объекта:

$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{m\mathbf{a}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}+\frac{m\mathbf{u}\,(\mathbf{u}\mathbf{a})}{(1-\mathbf{u}^2)^{3/2}},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf{a}=\dot{\mathbf{u}}$ . Можно было бы определить силу, как $\textstyle m\mathbf{a}$ или $\textstyle m\mathbf{a}/\sqrt{1-\mathbf{u}^2}$ . Однако в этом случае эмпирическое выражение для кулоновского уравнения движения привело бы к тому, что сила оказалась зависящей не только от положения пробного заряда, но и от его скорости и, что совсем нехорошо, — от ускорения.

Поэтому определение () выбрано таким образом, чтобы вектор силы, приводящий к эмпирическим уравнениям движения, выглядел наиболее просто.

Отдельный вопрос, почему "простота" возникает, если сила равна производной импульса? Оставляя этот вопрос пока без ответа, примем () как определение и рассмотрим некоторые общие свойства динамики, не зависящие от явного вида взаимодействия $\textstyle \mathbf{F}$ .

$\textstyle \bullet$ Скалярное произведение силы на скорость равно изменению энергии движения частицы:

$\frac{dE}{dt}=\mathbf{u}\mathbf{F}.$

(EQN)

Кроме прямой проверки, эту формулу легко получить дифференцированием связи энергии, импульса и массы $\textstyle E^2=\mathbf{p}^2+m^2$ с последующей подстановкой $\textstyle \mathbf{p}=\mathbf{u}E$ .

Найдём ускорение пробного тела:

$\mathbf{a}=\dot{\mathbf{u}} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{p}}{E}\right) = \frac{\mathbf{F}-\mathbf{u}(\mathbf{u}\mathbf{F})}{E}.$

(EQN)

Такое представление не содержит в явном виде массу частицы, поэтому применимо и для безмассовых объектов, например, фотонов. Как известно, в гравитационном поле траектория света отклоняется от прямой линии. Смещение положения звёзд, видимых в момент затмения Солнца возле края его поверхности (относительно их положения в отсутствие Солнца), стало триумфом теории гравитации Эйнштейна:

В последней этот эффект связан с кривизной четырёхмерного пространства и времени. Однако если сила гравитационного притяжения зависит не от массы частицы $\textstyle m$ , а от её энергии $\textstyle E$ , подобные искривления траектории можно достаточно просто описать в рамках плоского пространства. Подробнее мы рассмотрим эти вопросы во второй части книги.

При помощи () можно записать изменение со временем квадрата скорости:

$\frac{d\mathbf{u}^2}{dt} = \frac{2(\mathbf{u}\mathbf{F})}{E}\, (1-\mathbf{u}^2).$

Такое уравнение движения приводит к тому, что при приближении скорости $\textstyle \mathbf{u}$ к скорости света её модуль перестаёт изменяться, так как множитель $\textstyle (1-\mathbf{u}^2)$ "замораживает" динамику. В частности, "светоподобные" объекты, имеющие изначально единичный модуль скорости $\textstyle \mathbf{u}^2=1$ , не меняют этого значения. Хотя, конечно, они могут изменить направление скорости под воздействием силы $\textstyle \mathbf{F}$ (если она зависит, например, от энергии объекта $\textstyle E$ ).

$\textstyle \bullet$ Найдём общее выражение для силы, согласующееся с законами сохранения энергии и момента импульса. Пусть вокруг неподвижного, "точечного" источника силы пространство изотропно. В этом случае сила, действующая на пробную частицу, может зависеть только от вектора расстояния от центра поля $\textstyle \mathbf{r}$ и скорости пробной частицы $\textstyle \mathbf{u}$ :

$\mathbf{F} = f_1\, \mathbf{r}+f_2\, \mathbf{u}\,(\mathbf{r}\mathbf{u})+f_3\, [\mathbf{r}\times\mathbf{u}],$

где $\textstyle f_i$ — скалярные функции, которые могут зависеть от расстояния до источника силы $\textstyle r=\sqrt{\mathbf{r}}$ , модуля скорости $\textstyle u=\sqrt{\mathbf{u}^2}$ и скалярного произведения $\textstyle \mathbf{r}\mathbf{u}$ . Множитель $\textstyle (\mathbf{r}\mathbf{u})$ при функции $\textstyle f_2$ выбран для удобства.

При наличии такого силового воздействия может сохраняться (не меняться во времени) скалярная функция координат и скорости, называемая полной энергией. Простейший выбор такой функции соответствует классической сумме энергии движения $\textstyle E$ и потенциальной энергии $\textstyle V(r)$ :

$\mathcal{E}=E+V(r) = const.$

Учитывая (), возьмём производную полной энергии по времени:

$\frac{d\mathcal{E}}{dt} = \mathbf{u}\mathbf{F}+V'(r) \frac{\mathbf{r}\mathbf{u}}{r} = f_1\, (\mathbf{r}\mathbf{u})+f_2\, (\mathbf{r}\mathbf{u})\, \mathbf{u}^2+V'(r) \frac{(\mathbf{r}\mathbf{u})}{r}=0.$

Из этого уравнения следует, что $\textstyle f_1=-f_2\,\mathbf{u}^2-V'/r$ . Видно, что на сохранение полной энергии пробной частицы не оказывает влияние компонента силы $\textstyle f_3$ , перпендикулярная скорости. Итак, энергия сохраняется, если сила имеет следующий вид:

$\mathbf{F} = -\frac{V'(r)}{r}\, \mathbf{r}-f_2\, [\mathbf{u}\times[\mathbf{r}\times \mathbf{u}]]+f_3\, [\mathbf{u}\times\mathbf{r}],$

(EQN)

где для компактности мы воспользовались формулой "бац минус цаб": $\textstyle [\mathbf{u}\times[\mathbf{r}\times \mathbf{u}]]=\mathbf{r} \mathbf{u}^2-\mathbf{u}(\mathbf{r}\mathbf{u})$ . Вторая и третья компоненты силы всегда остаются перпендикулярными скорости, поэтому, изменяя её направление, не изменяют абсолютную величину (т.е. энергию).

Заметим, что полная энергия может и не быть суммой энергии движения $\textstyle E$ и потенциального воздействия $\textstyle V(r)$ . В качестве упражнения предлагается проверить, что следующая величина:

$\mathcal{E} = E\, e^{V(r)} = const$

сохраняется, если сила имеет вид:

$\mathbf{F} = -E\,\frac{V'(r)}{r}\, \mathbf{r}-f_2\, [\mathbf{u}\times[\mathbf{r}\times \mathbf{u}]]+f_3\, [\mathbf{u}\times\mathbf{r}].$

(EQN)

Отличие () от силы (), приводящей к аддитивному закону сохранения энергии, состоит в появлении энергии движения $\textstyle E$ , зависящей от скорости в первом слагаемом.

$\textstyle \bullet$ Кроме полной энергии, может также сохраняться момент импульса $\textstyle \mathbf{L}$ , перпендикулярный скорости $\textstyle \mathbf{u}$ и радиус-вектору $\textstyle \mathbf{r}$ . Благодаря этому траектория частицы всегда остаётся в одной плоскости, проходящей через начальные значения векторов $\textstyle \mathbf{r}$ и $\textstyle \mathbf{u}$ . Классическая формула $\textstyle \mathbf{L}=m[\mathbf{r}\times\mathbf{u}]$ в релятивистском случае может быть обобщена различным образом. Наиболее простое выражение для момента

$\mathbf{L}=[\mathbf{r}\times\mathbf{p}] = E\, [\mathbf{r}\times\mathbf{u}]$

сохраняется

$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=[\mathbf{u}\times\mathbf{p}]+[\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{p}}]=[\mathbf{r}\times\mathbf{F}]= f_2\,(\mathbf{r}\mathbf{u})[\mathbf{r}\times\mathbf{u}]+f_3\,(\mathbf{r}(\mathbf{r}\mathbf{u})-\mathbf{u}\mathbf{r}^2)=0$

только, если $\textstyle f_2=f_3=0$ (векторы $\textstyle \mathbf{u}$ , $\textstyle \mathbf{r}$ в общем случае имеют произвольное направление, а $\textstyle [\mathbf{r}\times\mathbf{u}]$ им перпендикулярен).

Однако это не означает, что нельзя построить соответствующий интеграл движения при $\textstyle f_2\neq 0$ . Несложно видеть, что вектор $\textstyle [\mathbf{u}\times[\mathbf{r}\times \mathbf{u}]]$ в выражениях (), () остаётся в плоскости ( $\textstyle \mathbf{r}$ , $\textstyle \mathbf{u}$ ), не выводя из неё траекторию движения частицы (в отличие от третьей компоненты силы $\textstyle f_3$ ). Поэтому при наличии $\textstyle f_2$ сохраняется следующая величина:

$\mathbf{L}=g(E)\,[\mathbf{r}\times\mathbf{p}],$

где $\textstyle g(E)$ — некоторая функция энергии движения. Действительно, например, для () c $\textstyle f_3=0$ уравнение:

$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=g'(E)(\mathbf{u}\mathbf{F})[\mathbf{r}\times\mathbf{p}]+ g(E)\,f_2\,(\mathbf{r}\mathbf{u})[\mathbf{r}\times\mathbf{u}] =0$

выполняется, если

$f_2 = -E\, \frac{g'(E)}{g(E)}\,\frac{(\mathbf{u}\mathbf{F})}{(\mathbf{r}\mathbf{u})} =E^2\, \frac{g'(E)}{g(E)}\,\frac{V'(r)}{r}.$

В наиболее простом случае линейной зависимости от энергии $\textstyle g(E)=E$ "модифицированный момент импульса" $\textstyle \mathbf{L}=E\,[\mathbf{r}\times\mathbf{p}]$ сохраняется (движение происходит в плоскости) для следующей силы:

$\mathbf{F} = -E\,\frac{V'(r)}{r}\, \bigl\{\mathbf{r}+ [\mathbf{u}\times[\mathbf{r}\times \mathbf{u}]]\bigr\}.$

Общий множитель $\textstyle E$ возникает для мультипликативной полной энергии и отсутствует в случае аддитивной полной энергии. Для гравитационного взаимодействия при малых скоростях это выражение должно переходить в закон гравитации Ньютона, поэтому $\textstyle V(r)=-\alpha/r$ . Как мы увидим во второй части, такая сила в первом приближении по $\textstyle \alpha$ приводит к таким же выражениям для смещения перигелия Меркурия и отклонения света, как и теория гравитации Эйнштейна.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь, как связаны векторы силы для наблюдателей в двух инерциальных системах отсчёта. Для этого запишем преобразования Лоренца (см. стр. \pageref{lorenz_vec0}) для интервала времени $\textstyle dt$ между двумя последовательными положениями объекта в пространстве:

$dt'=\frac{dt-\mathbf{v}\,d\mathbf{r}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}=\frac{1-\mathbf{v}\,\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}\, dt,$

где $\textstyle \mathbf{v}$ — относительная скорость систем отсчёта, а $\textstyle \mathbf{u}=d\mathbf{r}/dt$ — скорость объекта. Используя формулу для преобразования квадратов скорости (), стр. \pageref{transf_u2}:

$\frac{\sqrt{1-\mathbf{u}'^2}}{\sqrt{ 1-\mathbf{u}^2}} = \frac{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}{1-\mathbf{v}\mathbf{u}},$

(EQN)

это соотношение можно переписать в более симметричном виде:

$dt'\, \sqrt{1-\mathbf{u}'^2}=dt\, \sqrt{1-\mathbf{u}^2}.$

(EQN)

В левой и правой части стоит одно выражение, записанное с точки зрения каждой инерциальной системы. Поэтому его называют инвариантом преобразований. В данном случае это бесконечно малое собственное время объекта $\textstyle dt_0$ , одинаковое для обеих систем отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ . Действительно, если часы движутся со скоростью $\textstyle \mathbf{u}$ , то прошедшее на них время относительно системы отсчёта $\textstyle S$ равно $\textstyle dt_0=dt\sqrt{1-\mathbf{u}^2}$ (см. стр \pageref{time_delay}). Эту же формулу можно записать и для системы $\textstyle S'$ , поставив в правой части штрихованную скорость и время. В левой же части в обоих случаях стоит одна и та же величина — собственное время частицы.

Возьмём дифференциалы от преобразования импульса и энергии (стр. \pageref{transform_energey_moment}), считая относительную скорость систем отсчёта $\textstyle \mathbf{v}$ постоянной:

$dE'=\frac{dE-vdp_x}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dp'_x=\frac{dp_x-vdE}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dp'_y=dp_y.$

Разделим эти соотношения на дифференциалы времени () и, учитывая, что $\textstyle dE/dt=\mathbf{u}\mathbf{F}$ , получаем:

$\frac{\mathbf{u}'\mathbf{F}'}{\sqrt{1-\mathbf{u}'^2}} = \frac{\mathbf{u}\mathbf{F}-v\,F_x}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}\,\sqrt{1-v^2}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{F'_x}{\sqrt{1-\mathbf{u}'^2}} = \frac{F_x-v\,(\mathbf{u}\mathbf{F})}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}\,\sqrt{1-v^2}}.$

Эти преобразования связывают компоненты силы, измеряемой наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта $\textstyle S'$ и $\textstyle S$ . Для поперечных к направлению скорости $\textstyle v$ проекций силы неизменными оказываются комбинации $\textstyle F_y/\sqrt{1-\mathbf{u}^2}$ и $\textstyle F_z/\sqrt{1-\mathbf{u}^2}$ . Это следует из $\textstyle dp'_y=dp_y$ и $\textstyle dp'_z=dp_z$ .

$\textstyle \bullet$ Мы уже отмечали, что четвёрка величин скалярной энергии и векторного импульса $\textstyle (E,\mathbf{p})$ преобразуется так же, как и время с радиус-вектором $\textstyle (t,\mathbf{r})$ . Аналогичная ситуация и с силой. В этом случае соответствующими четырьмя величинами (4-вектор силы) являются:

$f^\alpha = \left(\frac{\mathbf{u}\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\;\frac{\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}\right).$

В первой главе преобразования для координат и времени были записаны в векторном виде (стр. \pageref{lorenz_vec0}):

$\mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + \Gamma\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}).$

(EQN)

Аналогичные векторные преобразования справедливы и для силы:

$\frac{{\mathbf F}'}{\sqrt{1-\mathbf{u}'^2}} = \frac{{\mathbf F} -\gamma\mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{F})+\Gamma\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{F})}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}.$

Отметим также соотношение:

$\mathbf{u}'\mathbf{F}' = \frac{(\mathbf{u}-\mathbf{v})\mathbf{F}}{1-\mathbf{u}\mathbf{v}},$

которое следует из преобразования для нулевых компонент 4-силы. В нём дополнительно учтено преобразование для квадрата скорости ().

В дальнейшем нам понадобится обратное преобразование для силы. Как обычно, оно получается перестановкой штрихованных и нештрихованных величин с заменой $\textstyle \mathbf{v}\mapsto -\mathbf{v}$ :

$\frac{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}{1-\mathbf{v}\mathbf{u}}\,\mathbf{F} = \mathbf{F}' + \gamma\mathbf{v} (\mathbf{u}'\mathbf{F}') + \Gamma\,\mathbf{v} (\mathbf{v}\,\mathbf{F}').$

(EQN)

В этом преобразовании также произведено небольшое упрощение при помощи соотношения ().

Преобразования силы между инерциальными системами отсчёта позволяют найти силу взаимодействия между двумя движущимися объектами, если известна "статическая сила", в ситуации, когда один из объектов неподвижен. Мы воспользуемся этим фактом в следующей главе, чтобы при помощи закона Кулона взаимодействия неподвижного заряда $\textstyle Q$ на пробный заряд $\textstyle q$

$\mathbf{F}=\frac{qQ}{r^3}\,\mathbf{r}$

найти силу воздействия со стороны движущегося со скоростью $\textstyle \mathbf{v}$ заряда. В результате возникнет специфическая компонента силы, имеющая смысл магнитного поля. В конечном счёте это приведёт нас к уравнениям Максвелла и классической электродинамике, в основе которой на самом деле лежат "лишь" закон Кулона и преобразования Лоренца.

Космические полёты <<	Оглавление (Глава 3)	>> Решения динамических уравнений

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Сила

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты