Решения динамических уравнений

Материал из Synset

Сила <<	Оглавление (Глава 3)	>> Ковариантная динамика

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим динамическое уравнение для релятивистской частицы, движущейся в поле постоянной силы:

$\frac{d}{dt}\frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = \mathbf{F} = const.$

Несмотря на простоту уравнения, релятивистская динамика приводит к довольно громоздким решениям. Во второй главе, при рассмотрении равноускоренного движения, мы изучили частный случай движения вдоль прямой. Найдём теперь решение для произвольного направления начальной скорости $\textstyle \mathbf{u}_0$ частицы и вектора силы $\textstyle \mathbf{F}$ .

Интегрируя динамическое уравнение первый раз, получаем:

$\frac{\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}=\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t,$

где введен постоянный вектор $\textstyle \mathbf{a}=\mathbf{F}/m$ , а $\textstyle \mathbf{w}_0$ - константа интегрирования. Она может быть выражена через начальную скорость объекта $\textstyle \mathbf{u}_0$ в момент времени $\textstyle t=0$ :

$\mathbf{w}_0=\frac{\mathbf{u}_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2_0}}.$

Если возвести выражение для скорости в квадрат, можно выразить $\textstyle \mathbf{u}^2$ через время и переписать зависимость вектора скорости от времени в явном виде:

$\mathbf{u}(t) = \frac{\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t}{\sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2}}.$

Так как по определению $\textstyle \mathbf{u}(t)=d\mathbf{r}/dt$ , то, чтобы получить закон движения частицы, необходимо проинтегрировать функцию $\textstyle \mathbf{u}(t)$ :

$\mathbf{r} = \int \mathbf{u}(t)\,dt = \frac{\alpha}{a}\int \frac{\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t}{\sqrt{1 +\alpha^2 \left(t+\frac{\displaystyle\mathbf{w}_0\mathbf{a}}{\displaystyle a^2}\right)^2}}\,dt,$

где в знаменателе выделен полный квадрат по $\textstyle t$ , $\textstyle a=|\mathbf{a}|$ и

$\alpha = \frac{a} { \sqrt{ 1+\frac{\displaystyle[\mathbf{w}_0\times\mathbf{a}]^2}{\displaystyle a^2} }}.$

Сделаем замену $\textstyle \tau=t+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a^2$ :

$\mathbf{r} = \frac{\alpha}{a}\int \frac{\mathbf{a}\,\tau + [\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times\mathbf{a}]]/a^2}{\sqrt{1 +\alpha^2 \tau^2}}\,d\tau,$

где применена формула двойного векторного произведения.

Этот интеграл легко вычисляется при помощи следующих табличных интегралов:

$\int\frac{\tau\, d\tau}{\sqrt{1+\alpha^2\tau^2 }} = \frac{1}{\alpha^2}\sqrt{1+\alpha^2 \tau^2},\;\;\;\;\;\; \int\frac{ d\tau}{\sqrt{1+\alpha^2\tau^2 }} = \frac{1}{\alpha}\ln\left(\alpha \tau+ \sqrt{1+\alpha^2 \tau^2}\right),$

проверяемых прямым дифференцированием. В результате:

$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0+\frac{\displaystyle\mathbf{a}}{\displaystyle a^2}\, \left( \sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2} - \sqrt{1+\mathbf{w}_0^2}\right) +\frac{[\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]}{a^2}\,\tau_0(t),$

где $\textstyle \textstyle \mathbf{r}_0$ — положение тела в момент времени $\textstyle t=0$ . Константы интегрирования выбраны таким образом, чтобы $\textstyle \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0$ . Величина

$\tau_0(t) = \frac{1}{a}\, \ln\frac{\displaystyle \sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}t)^2}+at+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}{\displaystyle \sqrt{1+\mathbf{w}^2_0}+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}$

имеет смысл собственного времени объекта. Оно по определению равно:

$\tau_0(t) = \int\limits^t_0 \sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)}\,dt =\int\limits^t_0 \frac{dt}{\sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2}}.$

Если с движущейся под воздействием постоянной силы частицей связать часы, то за время движения $\textstyle t$ они покажут интервал времени $\textstyle \tau_0(t)$ . Выражение для $\textstyle \tau_0(t)$ , при известных начальной скорости частицы и её "ускорении" позволяет вычислить показания движущихся часов. В частном случае начально неподвижной частицы её собственное время равно:

$\tau_0(t) = \frac{1}{a}\, \ln\left(\displaystyle \sqrt{1+(at)^2}+at\right).$

Если собственное ускорение $\textstyle \mathbf{a}$ и начальная скорость $\textstyle \mathbf{u}_0$ параллельны друг другу, то векторное произведение $\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]$ равно нулю и выражение для траектории заметно упрощается. Тело движется по прямой линии. Если вдоль неё направить ось $\textstyle x$ , то получится уже известное нам выражение (), стр.\pageref{accel_length}:

$x(t) = x_0+\frac{1}{a} \left( \sqrt{1+(w_0+a\,t)^2} - \sqrt{1+w_0^2}\right).$

Если построить эту траекторию на плоскости $\textstyle (x, t)$ , то получится гипербола. Поэтому такое движение часто называют гиперболическим. Хотя мы видим, что в общее решение зависимость от времени входит более сложным образом, поэтому термин "гиперболическое движение" применим только для движения по прямой. В общем случае лучше просто говорить о релятивистском равноускоренном движении.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим ещё один пример решения релятивистских динамических уравнений. Пусть сила зависит от скорости следующим образом:

$\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{u}\times \mathbf{B},$

где $\textstyle \mathbf{u}$ — скорость частицы, а $\textstyle \mathbf{B}$ — некоторый постоянный вектор. Как мы увидим в следующей главе, подобное уравнение возникает при движении единичного заряда в постоянном однородном магнитном поле.

Производная энергии по времени равна произведению скорости на силу: $\textstyle dE/dt = \mathbf{u}\mathbf{F}$ , а скалярное произведение $\textstyle \mathbf{u}[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]=[\mathbf{u}\times \mathbf{u}]\mathbf{B}=0$ . Поэтому энергия движения $\textstyle E$ в таком поле сил не изменяется, а следовательно, не изменяется модуль скорости. Этим можно воспользоваться, записав связь импульса, энергии и скорости: $\textstyle \mathbf{p}=E\mathbf{u}$ . Постоянная энергия выносится из-под производной по времени, и уравнение движения принимает следующий вид:

$\frac{d\mathbf{u}}{dt} = \mathbf{u}\times \mathbf{\Omega},$

(EQN)

где введен постоянный вектор $\textstyle \mathbf{\Omega}=\mathbf{B}/E$ , пропорциональный силовому полю $\textstyle \mathbf{B}$ и постоянной энергии частицы, зависящей от начальной скорости частицы. Умножая это уравнение на $\textstyle \mathbf{\Omega}$ , приходим к выводу, что составляющая скорости в направлении вектора $\textstyle \mathbf{\Omega}$ не изменяется:

$\frac{d (\mathbf{u}\mathbf{\Omega})}{dt} = 0.$

Вдоль вектора $\textstyle \mathbf{\Omega}$ частица продолжает двигаться равномерно. Изменение направления скорости происходит в плоскости, перпендикулярной $\textstyle \mathbf{\Omega}$ .

Уравнение () достаточно просто решается при подходящем выборе системы координат. Для этого ось $\textstyle z$ направляется вдоль вектора $\textstyle \mathbf{\Omega}$ и получается система из двух дифференциальных уравнений. Мы тем не менее решим () в векторных обозначениях. Разложим вектор скорости на продольную $\textstyle \mathbf{u}_{\shortparallel}$ и поперечную составляющие $\textstyle \mathbf{u}_{\perp}=\mathbf{u}-\mathbf{u}_{\shortparallel}$ :

где введен модуль вектора $\textstyle \omega = |\mathbf{\Omega}|=|\mathbf{B}|/E$ .

Так как $\textstyle \mathbf{\Omega}\times\mathbf{\Omega}=0$ и $\textstyle \mathbf{\Omega}\mathbf{u}$ постоянна, то поперечная составляющая удовлетворяет уравнению ():

$\frac{d\mathbf{u}_{\perp}}{dt} = \mathbf{u}_{\perp}\times \mathbf{\Omega}.$

Возьмём от этого уравнения производную по времени и раскроем двойное векторное произведение, учитывая, что $\textstyle \mathbf{u}_{\perp}\mathbf{\Omega}=0$ :

$\frac{d^2\mathbf{u}_{\perp}}{dt^2} = \frac{d\mathbf{u}_{\perp}}{dt}\times \mathbf{\Omega} = [\mathbf{u}_{\perp}\times \mathbf{\Omega}]\times\mathbf{\Omega} = -\mathbf{\Omega}^2\, \mathbf{u_{\perp}}.$

В результате получается уравнение для осциллятора:

$\frac{d^2\mathbf{u}_{\perp}}{dt^2} + \omega^2 \mathbf{u}_{\perp} = 0.$

Решая его для каждой компоненты скорости, получаем:

$\mathbf{u}_{\perp}(t) = \mathbf{a}\,\cos(\omega t)+\mathbf{b}\,\sin(\omega t),$

где $\textstyle \mathbf{a}$ и $\textstyle \mathbf{b}$ — два постоянных вектора, перпендикулярных $\textstyle \mathbf{\Omega}$ . Они находятся из начальных условий:

$\mathbf{u}_{\perp}(0)=\mathbf{u}_0-\frac{\mathbf{\Omega}(\mathbf{\Omega}\mathbf{u}_0)}{\omega^2} = \frac{\mathbf{\Omega}\times[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2}=\mathbf{a},\;\;\;\;\;\; \frac{d\mathbf{u}_\perp(0)}{dt} = [\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]=\omega\mathbf{b},$

где $\textstyle \mathbf{u}(0)=\mathbf{u}_0$ — начальное значение скорости. В результате:

$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{\Omega}\,(\mathbf{\Omega}\mathbf{u}_0)}{\omega^2} \;+\; \frac{\mathbf{\Omega}\times[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2}\,\cos(\omega t) \;+\;\frac{[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega}\,\sin(\omega t).$

При записи этого решения мы выразили поперечную скорость $\textstyle \mathbf{u}_{\perp}$ через полную скорость $\textstyle \mathbf{u}$ и учли, что $\textstyle \mathbf{u}\mathbf{\Omega}=\mathbf{u}_0\mathbf{\Omega}=const$ .

Интегрируя скорость по времени, получаем уравнение для траектории:

$\mathbf{r} = \mathbf{r}_0+\frac{[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2} \;+\;\frac{\mathbf{\Omega}\,(\mathbf{\Omega}\mathbf{u}_0)}{\omega^2}\,t \;+\; \frac{\mathbf{\Omega}\times[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^3}\,\sin(\omega t) \;-\;\frac{[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2}\,\cos(\omega t),$

где $\textstyle \mathbf{r}_0=\mathbf{r}(0)$ — положение частицы в момент времени $\textstyle t=0$ . Это уравнение спирали. Частица с угловой скоростью $\textstyle \omega$ поворачивается в плоскости, перпендикулярной $\textstyle \Omega$ . Векторы при синусе и косинусе лежат в этой плоскости. Они перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину. Эта длина определяет радиус спирали $\textstyle R$ , "разматывающейся" вдоль $\textstyle \mathbf{\Omega}$ :

$R = \frac{\left|\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}\right|}{\omega^2} = \frac{|\mathbf{u}_0|}{\omega}\,\sin\alpha,$

где $\textstyle \alpha$ — угол между векторами $\textstyle \mathbf{u}_0$ и $\textstyle \mathbf{\Omega}$ . Если $\textstyle \alpha=\pi/2$ (начальная скорость перпендикулярна $\textstyle \mathbf{\Omega}$ ), радиус максимален и пропорционален начальному импульсу частицы: $\textstyle R=|\mathbf{u}_0|E/|\mathbf{B}|=|\mathbf{p}_0|/|\mathbf{B}|$ .

Сила <<	Оглавление (Глава 3)	>> Ковариантная динамика

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Решения динамических уравнений

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты