Распады и столкновения

Материал из Synset

Кинетическая энергия <<	Оглавление (Глава 3)	>> Космические полёты

$\textstyle \bullet$ Предположим, что в результате некоторых внутренних причин неподвижная частица массой $\textstyle M$ распадается на две частицы с массами $\textstyle m_1$ и $\textstyle m_2$ , имеющие скорости $\textstyle u_1$ и $\textstyle u_2$ :

Найдём энергии продуктов распада. Для этого запишем законы сохранения:

$E=E_1+E_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=p_1+p_2.$

Стандартный приём решения подобных задач состоит в использовании соотношения $\textstyle E^2-p^2=m^2$ , при помощи которого избавляются от одной из неизвестных скоростей (энергии и импульса). Перенесём $\textstyle E_1$ и $\textstyle p_1$ в законах сохранения влево, возведём их в квадрат и вычтем:

$(E-E_1)^2-(p-p_1)^2 = E^2_2-p^2_2=m^2_2.$

Раскрывая скобки и снова учитывая выражение для квадрата массы, имеем:

$M^2+m^2_1 - 2EE_1+ 2pp_1 = m^2_2.$

Так как начальная частица покоится, для неё $\textstyle E=M$ и $\textstyle p=0$ . Поэтому несложно получить выражение для энергии первого продукта распада $\textstyle E_1$ . Для $\textstyle E_2$ достаточно переставить местами индексы. В результате:

$E_1=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; E_2=\frac{M^2+m_2^2-m^2_1}{2M}.$

Таким образом, энергии полностью определяются массой начальной частицы и массами продуктов её распада. При желании, при помощи формулы $\textstyle E=m/\sqrt{1-u^2}$ можно найти и их скорости.

Когда такой распад возможен? Масса начальной частицы превращается в энергию разлетающихся после распада частиц:

$M=\frac{m_1}{\sqrt{1-u^2_1}}+\frac{m_2}{\sqrt{1-u^2_2}} > m_1+m_2.$

Если $\textstyle M<m_1+m_2$ , то такой самопроизвольный распад невозможен по энергетическим соображениям и требуется некоторое внешнее воздействие, чтобы разрушить энергию связи, равную $\textstyle m_1+m_2-M$ .

Требование $\textstyle M>m_1+m_2$ запрещает испускание частицей некоторой другой частицы при сохранении своей исходной массы. Например, равномерно движущийся электрон не может излучить фотон, оставшись электроном. На самом деле он не может и превратиться в другую частицу в процессе такого распада, но это уже другая история.

Почему вообще частицы распадаются? Обычно к этому приводят некоторые эволюционные процессы, происходящие внутри исходной частицы. Простейшим примером может служить взрыв в результате химических реакций. В квантовом мире распады обычно связаны с туннелированием квантовой частицы через потенциальный барьер, непреодолимый для классической частицы. В квантово-релятивистском мире элементарных частиц ситуация ещё менее наглядна. Например, свободный нейтрон в среднем за 15 минут распадается на протон, электрон и нейтрино, которые "в нём не находились". Этот же нейтрон внутри ядер, в окружении других нейтронов и протонов, вполне стабилен и не подвержен распаду.

Распад обратен ситуации "слипания", когда в результате столкновения двух частиц возникает третья. Рассмотрим такую реакцию в лабораторной системе отсчёта, где первая частица с массой $\textstyle m_1$ имеет скорость $\textstyle v$ и энергию $\textstyle E_1=m_1/\sqrt{1-v^2}$ , а вторая с массой $\textstyle m_2$ покоится. Результат их столкновения имеет массу $\textstyle M$ и движется со скоростью $\textstyle u$ :

Запишем законы сохранения энергии и импульса:

$E_1+m_2=E,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p_1=p.$

Возводя в квадрат и вычитая, находим квадрат массы результирующей частицы, которая, естественно, больше, чем сумма исходных:

$M^2=m^2_1+m^2_2+\frac{2m_1m_2}{\sqrt{1-v^2}}=(m_1+m_2)^2 +2m_1m_2\,\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1\right).$

Её скорость можно найти из сохранения импульса $\textstyle p_1=p$ , однако более быстрый путь — воспользоваться связью импульса, энергии и скорости:

$u = \frac{p}{E} = \frac{p_1}{E_1+m_2}=\frac{v}{1+(m_2/m_1)\sqrt{1-v^2}}.$

Если $\textstyle v\to 1$ , то к скорости света стремится и скорость результирующей частицы.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь ситуацию, когда частица, имеющая энергию $\textstyle E_1$ и массу $\textstyle m_1$ , налетает на неподвижную частицу с массой $\textstyle m_2$ и массы частиц после этого взаимодействия не изменяются (упругое столкновение):

Если столкновение было "не лобовое", то частицы разлетятся под некоторыми углами к скорости $\textstyle \mathbf{u}_1$ налетающей частицы. Обозначим все величины после столкновения штрихами и запишем законы сохранения:

$E_1+E_2=E'_1+E'_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{p}'_1+\mathbf{p}'_2,$

где $\textstyle E_2=m$ , $\textstyle \mathbf{p}_2=0$ . Избавимся от энергии и импульса одной из частиц:

$(E_1+m_2-E'_1)^2-(\mathbf{p}_1-\mathbf{p}'_1)^2 = m^2_2.$

Возводя в квадрат, получаем:

$\mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1 = (E_1+m_2)\,E'_1-m_1^2 - E_1m_2.$

Скалярное произведение импульсов выражается через их модули и угол: $\textstyle \mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1=p_1p'_1\cos\theta_1$ . Поэтому угол вылета частиц равен:

$\cos\theta_1 = \frac{(E_1+m_2)\,E'_1 - m_1^2 - E_1m_2}{p_1p'_1},\;\;\;\;\;\;\;\cos\theta_2 = \frac{(E_1+m_2)(E'_2 - m_2)}{p_1p'_2}.$

Второй угол получается совершенно аналогично. При этом необходимо избавиться от энергии и импульса первой частицы после столкновения.

Сам по себе угол рассеивания зависит от прицельного расстояния и характера взаимодействия между частицами. Однако независимо от последнего энергия рассеявшейся частицы, благодаря законам сохранения, связана с этим углом. Чем сильнее теряет энергию первая частица, тем на больший угол она рассеивается. Заметим, что так как $\textstyle E'_2>m_2$ , $\textstyle E_2=m_2$ , то из закона сохранения энергии следует, что $\textstyle E'_1<E_1$ , т.е. энергия уменьшается, переходя к покоящейся частице.

Подставив в выражение для $\textstyle \cos\theta_1$ зависимость импульса от энергии $\textstyle p'=\sqrt{E'\,^2_1-m^2_1}$ и взяв производную по $\textstyle E'_1$ , можно ( $\textstyle \lessdot$ H) найти максимальное значение угла рассеяния:

$(\sin\theta_{1})_{max}=\frac{m_2}{m_1}.$

Естественно, максимум, отличный от $\textstyle \theta=\pi/2$ , существует, если масса налетающей частицы $\textstyle m_1$ больше, чем масса частицы $\textstyle m_2$ .

Особенно просто выражение для результирующей энергии выглядит, если налетающая частица является безмассовой $\textstyle m_1=0$ . Например, в эффекте Комптона (1923 г.) фотон рассеивается на электроне. В этом случае $\textstyle p_1=E_1$ , $\textstyle p'_1=E'_1$ , и энергия фотона после столкновения равна: \parbox{8cm}{

$\frac{1}{E'_1}= \frac{1}{E_1} + \frac{1}{m_2}\,(1-\cos\theta_1).$

} \parbox{6cm}{

} C фотоном по формуле Планка связаны частота $\textstyle E=h\nu$ и длина волны $\textstyle \lambda=1/\nu$ . Относительное изменение $\textstyle \Delta \lambda = \lambda'-\lambda$ последней имеет вид:

$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \;=\; \frac{E_1}{m_2}\,(1-\cos\theta_1).$

Таким образом, чем больше угол рассеивания, тем сильнее увеличивается длина волны (уменьшается энергия). Чтобы относительное изменение длины волны было заметным, необходимы энергии фотона $\textstyle E_1$ , сравнимые с массой электрона $\textstyle E_1\sim m_2$ . Постоянная Планка в электрон-вольтах равна:

$\hbar = \frac{h}{2\pi} =6.582\,118\,99(16)\cdot 10^{-22}\;МэВ\cdot c.$

Поэтому частоты фотона, соответствующие массе электрона $\textstyle m_e=0.511$ МэВ, равны $\textstyle 10^{20}$ герц. Длина волны при этом составляет $\textstyle \sim 10^{-12}$ м. Это фотоны жесткого рентгеновского излучения, которые могут быть получены при помощи рентгеновской трубки, в которой ускоренные электрическим полем электроны при резком ударе об анод испускают рентгеновские лучи (тормозное излучение). Дополнительно они выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов. Замещающие их электроны с верхних энергетических уровней также испускают фотоны рентгеновского спектра. Величина $\textstyle h/mc=2.4263\cdot 10^{-12}$ м называется комптоновской длиной волны электрона. Изменение длины волны (частоты) фотона при рассеивании на электроне — это чисто квантовый эффект. В классической электродинамике при рассеивании электромагнитной волны на заряженной частице частота волны не изменится.

Выше рассмотрено столкновение в лабораторной системе отсчёта, когда одна частица покоится, а другая налетает на неё с импульсом $\textstyle p_1$ . Термин "лабораторная система отсчёта" мы уже несколько раз использовали. Он происходит от экспериментов, в которых один вид частиц разгоняют при помощи ускорителя и направляют на неподвижную мишень, состоящую из частиц другого вида. Естественно, это достаточно условный термин, потому что в тех же лабораториях проводят и эксперименты со встречными пучками, разгоняя каждый из них в ускорителе.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь упругое столкновение двух частиц в системе отсчёта центра масс, в которой их суммарный импульс равен нулю.

На первом рисунке изображено это столкновение в динамике и нарисованы траектории частиц. Когда они сближаются, начинает сказываться сила взаимодействия между ними и траектории искривляются. Когда частицы достаточно удалились друг от друга, они снова становятся свободными и движутся с постоянной скоростью.

По определению системы центра масс модули импульсов частиц равны друг другу до и после соударения. В силу закона сохранения импульса угол рассеивания обеих частиц один и тот же, равный $\textstyle \chi$ . Энергии частиц при столкновении не изменяются, так как из закона сохранения при одинаковых начальных импульсах имеем:

$\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}^2+m^2_1}+\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}^2+m^2_2}=\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}'^2+m^2_1}+\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}'^2+m^2_2},$

откуда $\textstyle \tilde{\mathbf{p}}^2=\tilde{\mathbf{p}}'^2$ , и, следовательно, $\textstyle \tilde{E}_i=\tilde{E}'_i$ . Энергия и импульс в системе центра масс помечены тильдой, чтобы отличать их от лабораторной системы. Скорости при одинаковых импульсах подчиняются соотношению:

$|\tilde{\mathbf{p}}|=\tilde{E}_1\tilde{u}_1=\tilde{E}_2\tilde{u}_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{m_2}{m_1}=\frac{\tilde{u}_1/\sqrt{1-\tilde{u}_1^2}}{\tilde{u}_2/\sqrt{1-\tilde{u}_1^2}},$

и при различных массах также различны.

Выразим энергии в лабораторной системе отсчёта через угол $\textstyle \chi$ в системе центра масс. Для этого перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью $\textstyle \mathbf{v}=\tilde{\mathbf u}_2$ . В этой системе вторая частица до столкновения покоится. Воспользуемся формулой преобразования энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}. Энергия первой частицы и модуль импульса до и после столкновения в системе центра масс не меняются: $\textstyle \tilde{E}_1=\tilde{E}'_1=\tilde{E}$ , $\textstyle |\tilde{\mathbf{p}}_1|=|\tilde{\mathbf{p}}'_1|=\tilde{p}$ . В лабораторной системе энергии равны:

$E_1=\frac{\tilde{E}_1+\tilde{u}_2\tilde{p}_1}{\sqrt{1-\tilde{u}_2^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_1=\frac{\tilde{E}_1+\tilde{u}_2\tilde{p}_1\cos\chi}{\sqrt{1-\tilde{u}_2^2}},$

(EQN)

где учтено, что после столкновения энергия не изменяется и скалярное произведение $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{p}$ равно произведению модулей на косинус угла $\textstyle \chi$ .

Поэтому переданная энергия в лабораторной системе равна:

$E'_1-E_1= -\frac{\tilde{p}_1 \tilde{u}_2}{\sqrt{1-\tilde{u}_2^2}}\,(1-\cos\chi) = - \frac{\tilde{p}^2}{m_2}\,(1-\cos\chi),$

где $\textstyle \tilde{u}_2$ выражена через $\textstyle \tilde{p}_2$ , равный $\textstyle \tilde{p}$ (в системе центра масс). Чтобы его найти, воспользуемся первым соотношением (), в которое подставим связь энергии и импульса $\textstyle \tilde{E}_1=\sqrt{\tilde{p}^2+m^2_1}$ , а также импульса и скорости $\textstyle 1+\tilde{p}^2/m^2_2 = 1/(1-\tilde{u}^2_2)$ :

$E_1=\frac{\tilde{E}_1}{\sqrt{1-\tilde{u}^2_2}}+\frac{\tilde{p}^2}{m_2} =\sqrt{\tilde{p}^2+m^2_1}\;\sqrt{1+\tilde{p}^2/m^2_2}+\frac{\tilde{p}^2}{m_2}.$

Решая это уравнение относительно $\textstyle \tilde{p}$ , получаем:

$\frac{\tilde{p}^2}{m_2} = \varepsilon = \frac{(E^2_1-m^2_1)\,m_2}{m^2_1+m^2_2 + 2m_2\,E_1},$

Что даёт $\textstyle E'_1$ , а при помощи закона сохранения и $\textstyle E'_2=E_1+m_2-E'_1$ :

$E'_1=E_1 - \varepsilon\,(1-\cos\chi),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_2=m_2+\varepsilon\,(1-\cos\chi).$

Таким образом, энергии рассеянных частиц в лабораторной системе достаточно просто связаны с углом $\textstyle \chi$ поворота импульсов в системе центра масс. Величина $\textstyle \varepsilon\,(1-\cos\chi)$ является энергией, переданной первой частицей, и она тем больше, чем больше $\textstyle \chi$ . При "лобовом" столкновении, когда $\textstyle \chi=\pi$ , эта энергия максимальна и равна $\textstyle 2\varepsilon$ .

В заключение рассмотрим один важный аспект, связанный с законами сохранения \cite{Fock}. Если частицы взаимодействуют, то скорость конкретной частицы изменяется. Поэтому её энергия и импульс должны вычисляться в конкретный момент времени. При записи закона сохранения, например, импульса мы суммируем импульсы частиц, вычисленные в данный момент времени в конкретной системе отсчёта. Однако, так как частицы находятся в различных точках пространства, в другой системе такая сумма будет соответствовать не одновременным моментам времени!

В результате, вообще говоря, закон сохранения имеет однозначный смысл, только когда частицы ещё не взаимодействовали или после этого взаимодействия. В этом случае они движутся с постоянными скоростями (импульсами), и даже не одновременные значения импульсов, дадут одинаковую сумму. Мы подробнее рассмотрим этот вопрос в последнем разделе главы.

Кинетическая энергия <<	Оглавление (Глава 3)	>> Космические полёты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Распады и столкновения

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты