Равноускоренная система отсчета

Материал из Synset

Мир элементарных частиц <<	Оглавление	>> Время и расстояние в равноускоренной системе

Рассмотрим систему $\textstyle S'$ , точка $\textstyle x'=0$ которой движется равноускоренно относительно инерциальной системы $\textstyle S$ . Будем считать, что оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

$x(t)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(at)^2}-1\bigr].$

(4.1)

Будем считать, что начало системы $\textstyle S'$ (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)

Основная особенность неинерциальной системы — это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости $\textstyle (y',z')$ , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси $\textstyle x'$ .

Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ ). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы $\textstyle S'$ , по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости $\textstyle (y',z')$ в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение $\textstyle g=9.8\;m/s^2$ , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости $\textstyle (y',z')$ . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси $\textstyle x'$ под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость".

Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (см. Глава 1.). Например, координата $\textstyle y'$ свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости $\textstyle (y',z')$ , за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное допущение о том, что

темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.

Если в момент времени $\textstyle t'=t=0$ начала систем совпадали и скорость $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов $\textstyle t'$ (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь вид:

$t'=\frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,(at)\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{ch}(at').$

(4.2)

Каким бы ни было значение $\textstyle a$ , всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе ^[1] в пределах относительной ошибки $\textstyle 2\cdot 10^{-3}$ увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет $\textstyle v=0.9994$ и время замедляется в $\textstyle 1/\sqrt{1-v^2}=29$ раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений $\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g$ , где $\textstyle g=9.8\,m/s^2$ .

$\textstyle \bullet$ Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием $\textstyle x_0$ , которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта $\textstyle S$ . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе $\textstyle S$ . Время на часах первого корабля, стартовавшего из $\textstyle x=0$ , обозначим через $\textstyle t'$ , а второго, стартовавшего из $\textstyle x=x_0$ , через $\textstyle t''$ . В инерциальной системе отсчёта время единое и равно $\textstyle t$ . При $\textstyle t=t'=t''=0$ корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы $\textstyle S'$ изменяется со временем в соответствии с (4.1)

$x(t)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(at)^2}-1\bigr]=\frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at')-1\bigr],$

(4.3)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию $\textstyle x(t)$ начала системы отсчёта $\textstyle S'$ . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы $\textstyle S$ , то это ускорение не будет синхронным в $\textstyle S'$ , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта $\textstyle S'$ — понятие относительное. Если наблюдатели в $\textstyle S'$ "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе $\textstyle S$ будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе $\textstyle S'$ происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. Время), и второй корабль в системе $\textstyle S$ разгоняется медленнее.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории $\textstyle f(t)$ должен двигаться второй корабль относительно системы $\textstyle S$ , чтобы система отсчёта $\textstyle S'$ для её экипажей была жесткой.

Расчёты проведём в неподвижной системе $\textstyle S$ . Пусть первый корабль в момент времени $\textstyle t_1$ отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени $\textstyle t$ , отражается и возвращается обратно в момент времени $\textstyle t_2$ :

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта $\textstyle S$ . Координата первого корабля равна $\textstyle x(t)$ , см. (4.3), второго — $\textstyle f(t)$ . Запишем время ухода $\textstyle t_1=\mathrm{ch}(at'_1)/a$ и возвращения $\textstyle t_2=\mathrm{ch}(at'_2)/a$ сигнала по часам первого корабля ( $\textstyle t'_1$ и $\textstyle t'_2$ ):

$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle f(t)-t =x(t_1) - t_1= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_1)-1\bigr]-\frac{1}{a}\,\mathrm{ch}(at'_1)=\frac{1}{a}\,\left(e^{-at'_1}-1\right)\\[4mm] \displaystyle f(t)+t =x(t_2) + t_2= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_2)-1\bigr]+\frac{1}{a}\,\mathrm{ch}(at'_2)=\frac{1}{a}\,\left(e^{+at'_2}-1\right). \end{array} \right.$

Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" $\textstyle \tau_0=t'_2-t'_1=const$ не зависит от момента его посылки $\textstyle t'_1$ . Вычитая уравнения системы, находим:

$2at=e^{at'_2}-e^{-a\,(t'_2-\tau_0)}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;e^{at'_2}=at+\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}.$

В качестве решения квадратного уравнения относительно $\textstyle e^{at'_2}$ выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию $\textstyle f(t)$ :

$a\,f(t)=\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}-1=\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}-1,$

(4.4)

где в последнем равенстве учтено начальное условие $\textstyle f(0)=x_0$ . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени $\textstyle \tau_0$ от движения сигнала в обе стороны:

$x'_0 = \frac{t'_2-t'_1}{2} =\frac{\tau_0}{2} = \frac{1}{a}\ln(1+ax_0).$

(4.5)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта $\textstyle S$ равна $\textstyle u_2(t)=df(t)/dt$ , поэтому:

$u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}.$

(4.6)

Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением $\textstyle a_2=a/(1+a x_0)$ .

Литература

↑ Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

Мир элементарных частиц <<	Оглавление	>> Время и расстояние в равноускоренной системе

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

[0] Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

[1]

Равноускоренная система отсчета

Материал из Synset

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты