Произвольно движущийся заряд

Материал из Synset

Немного комплексных чисел <<	Оглавление (Глава 5)	>> Ковариантная электродинамика

Пусть заряд движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf{v}=\mathbf{v}(t)$ . Найдём электромагнитное поле, создаваемое зарядом в момент времени $\textstyle t$ в точке пространства $\textstyle \mathbf{x}=\{x,y,z\}$ . Рассмотрим момент времени $\textstyle T=t-R$ в прошлом, когда заряд находился на расстоянии $\textstyle R$ от точки наблюдения и имел скорость $\textstyle \mathbf{V}=\mathbf{v}(T)$ . Выделенность этого момента состоит в том, что информация об изменении скорости заряда, распространяясь с фундаментальной единичной скоростью, к текущему моменту времени как раз проходит расстояние $\textstyle R=t-T$ . Все величины, относящиеся к прошлому, будем обозначать заглавными буквами. Так, $\textstyle \mathbf{N}=\mathbf{R}/R$ — единичный вектор от заряда в точку наблюдения в момент времени $\textstyle T$ .

Из решения уравнений для потенциалов (), () следует, что их значения в момент времени $\textstyle t$ определяются положением заряда и его скоростью в момент времени $\textstyle T$ и не зависят от ускорения заряда. Поэтому заряд, движущийся с переменной скоростью $\textstyle \mathbf{v}(t)$ в момент времени $\textstyle t$ , неотличим от совпадающего с ним в прошлом (время $\textstyle T$ ) заряда, движущегося далее равномерно и прямолинейно со скоростью $\textstyle \mathbf{V}=\mathbf{v}(T)$ . Такое движение будем называть "фантомным". Ниже на рисунке оно представлено в виде пунктирной прямой линии. Сам заряд движется по, вообще говоря, искривлённой траектории с переменной скоростью. Однако, так как от ускорения заряда в момент времени $\textstyle T$ потенциалы не зависят, удобно считать, что в этот момент от заряда "отрывается" его двойник-фантом, который движется равномерно и прямолинейно, проходя за время $\textstyle R=t-T$ расстояние $\textstyle \mathbf{V}R$ . Основные соотношения, следующие из геометрии введенных величин, приведены справа от рисунка:

где $\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{r}/r$ . Последняя формула проверяется возведением в квадрат и подстановкой $\textstyle \mathbf{R}-\mathbf{V} R$ вместо $\textstyle \mathbf{r}$ .

Заметим, что $\textstyle T=T(\mathbf{x},t)$ является функцией текущего времени и точки наблюдения. Её вид определяется траекторией $\textstyle \mathbf{x}_0(t)$ заряда и получается из решения уравнения (). При этом $\textstyle R=R(\mathbf{x},t)=t-T(\mathbf{x},t)$ .

Свяжем с фантомным зарядом в момент времени $\textstyle t$ инерциальную систему отсчёта $\textstyle S'$ . Так как в ней он покоится, для потенциалов поля справедливы кулоновские выражения:

$\varphi' = \frac{Q}{r'},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{A}'=0.$

Подставим их в обратные преобразования Лоренца для потенциалов [(), стр.\pageref{transf_poten}] переставим местами штрихованные и нештрихованные величины и сделаем замену $\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}$ ]:

$\varphi = \gamma\,\frac{Q}{r'} = \frac{Q\,\gamma}{\sqrt{r^2+\gamma^2(\mathbf{V}\mathbf{r})^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{A} = \gamma \mathbf{V}\varphi' = \mathbf{V}\varphi,$

(EQN)

где для расстояния от фантомного заряда в момент времени $\textstyle t=0$ до точки наблюдения использовано преобразование для модуля радиус-вектора (см. стр. \pageref{force_transf_electro}). При помощи () потенциалы можно также переписать следующим образом:

$\varphi(\mathbf{r},t) = \frac{Q}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{Q\, \mathbf{V}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}}.$

(EQN)

Эти потенциалы для произвольно движущегося заряда называют потенциалами Лиенара-Вихерта. В качестве полезного упражнения по работе с дельта-функцией стоит вывести эти же соотношения непосредственно из общего решения (), (). Например, для плотности заряда необходимо записать выражение $\textstyle \rho(\mathbf{x},t)=Q\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(t))$ .

Отметим один любопытный момент. Уравнения Максвелла были получены для системы равномерно движущихся зарядов. Затем постулировалось, что они справедливы и для ускоренного движения зарядов. Хотя уравнения Максвелла явно не зависят от ускорений, это не означает, что от ускорений не зависят напряжённости поля. Дело в том, что уравнения Максвелла в исходной записи являются системой дифференциальных уравнений первого порядка. Из этой системы можно исключить, например, магнитное поле, получив для электрического поля уравнение второго порядка:

$\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \Delta \mathbf{E} = -4\pi\,\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t} - 4\pi\,\nabla\rho.$

Оно имеет форму уравнения Д'Аламбера, однако источники, стоящие в правой части, содержат производную по времени от тока. Именно это и приводит к тому, что напряжённости окажутся зависящими от ускорения заряда (в то время как потенциалы - нет).

$\textstyle \bullet$ Найдём напряженности электрического и магнитного полей

$\mathbf{E}=-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.$

Производные потенциалов берутся по координатам фиксированной точки пространства $\textstyle \mathbf{x}=\{x,y,z\}$ и по текущему моменту времени $\textstyle t$ , а выражения для потенциалов () зависят (в правых частях) от величин в момент времени $\textstyle T$ . Поэтому потребуются определённые математические хитрости. Возьмём дифференциал от условия запаздывания: $\textstyle t = T+R = T + \sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T))^2}.$

$dt = dT + \frac{\mathbf{R}\,d\mathbf{x}-\mathbf{V}\mathbf{R}\,dT}{R}\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\; dT = \frac{R dt}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}} - \frac{\mathbf{R} d\mathbf{x}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},$

где $\textstyle \mathbf{V}=d\mathbf{x}_0(T)/dT$ — скорость в момент времени $\textstyle T$ , а $\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T)$ . По определению дифференциала функции $\textstyle T=T(t, \mathbf{x})$ имеем:

$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{R}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}} = - \frac{\mathbf{R}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}}.$

Потенциалы зависят от $\textstyle \mathbf{x}$ явно и неявно через $\textstyle T=T(t, \mathbf{x})$ . Например, скалярный потенциал () имеет вид:

$\varphi = \frac{Q}{ \sqrt{\{\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T)\}^2}-\mathbf{V}\,\{\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T)\}}.$

Поэтому градиент и производная по $\textstyle t$ равны:

$\nabla\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial \mathbf{x}} + \frac{\partial\varphi}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial t}.$

Для получения ротора векторного потенциала

$\nabla\times\mathbf{A} =\nabla\times(\mathbf{V}\varphi) = \varphi \,\nabla\times \mathbf{V}-\mathbf{V}\times\nabla \phi$

необходимо найти также ротор от скорости

$\nabla\times \mathbf{V} =\frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}}\frac{\partial }{\partial T}\times \mathbf{V} =-\frac{\mathbf{R}\times\mathbf{W}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},$

где $\textstyle \mathbf{W}=d\mathbf{V}/dT$ — ускорение частицы в момент времени $\textstyle T$ . Вычисляя все производные и проводя несложные алгебраические преобразования ( $\textstyle \lessdot$ H), получим:

$\mathbf{E} = \frac{Q}{R^2}\,\frac{(1-V^2)(\mathbf{N}-\mathbf{V})}{ (1 - \mathbf{V}\mathbf{N})^{3}} + \frac{Q}{R}\,\frac{\mathbf{N}\times[(\mathbf{N}-\mathbf{V})\times \mathbf{W}]} { (1 - \mathbf{V}\mathbf{N})^{3}},$

(EQN)

$\mathbf{B} = \mathbf{N}\times\mathbf{E},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf{N}=\mathbf{R}/R$ . Магнитное поле оказывается перпендикулярным электрическому и радиус-вектору $\textstyle \mathbf{R}$ от заряда в момент времени $\textstyle T=T(\mathbf{x},t)$ .

При помощи радиус-вектора $\textstyle \mathbf{r}$ от фантомного заряда к точке наблюдения электрическое поле можно записать в следующем виде:

$\mathbf{E} = Q\,\frac{\gamma\mathbf{r}}{(r^2+\gamma^2(\mathbf{V}\mathbf{r})^2)^{3/2}} + Q\,\frac{\gamma^3[\mathbf{R}\times[\mathbf{r}\times \mathbf{W}]]}{(r^2+\gamma^2(\mathbf{V}\mathbf{r})^2)^{3/2}}.$

Первое слагаемое является напряжённостью электрического поля равномерно движущегося со скоростью $\textstyle \mathbf{V}$ фантомного заряда. Если бы заряд не менял свою скорость, он совпадал бы с этим фантомом.

Напряжённость электрического поля можно также переписать в следующем изящном виде, найденном Ричардом Фейнманом ( $\textstyle \lessdot$ H):

$\mathbf{E} = Q\,\frac{\mathbf{N}}{R^2}+ QR\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{N}}{R^2}\right) + Q \frac{d^2 \mathbf{N}}{dt^2}.$

Обратим внимание, что все производные вычисляются по текущему времени $\textstyle t=T+R(T)$ , а не по $\textstyle T$ , к которому относятся величины $\textstyle R$ и $\textstyle \mathbf{N}$ .

Если скорость заряда мала, то напряжённость электрического поля можно приближённо записать следующим образом:

$\mathbf{E} \approx \frac{Q}{ R^{2}}\,\mathbf{N} \;+\; \frac{Q}{R}\;[\mathbf{N}\times[\mathbf{N}\times \mathbf{W}]].$

Второе слагаемое убывает, как $\textstyle 1/R$ . Первый же ("кулоновский") член убывает, как $\textstyle 1/R^2$ , т.е. существенно быстрее. Пренебрегая на больших расстояниях первым слагаемым, найдём импульс электромагнитной волны. Так как второе слагаемое перпендикулярно $\textstyle \mathbf{R}$ , т.е. $\textstyle \mathbf{E}\mathbf{R}=0$ , имеем:

$\mathbf{P} = \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{4\pi}= \frac{\mathbf{E}\times[\mathbf{R}\times{\mathbf{E}}]}{4\pi R} = \frac{\mathbf{E}^2}{4\pi}\,\mathbf{N} \approx \frac{Q}{4\pi}\,\frac{\mathbf{W}^2-(\mathbf{W}\mathbf{N})^2}{R^2}\, \mathbf{N}.$

Интенсивность излучения $\textstyle dI$ в направлении телесного угла $\textstyle d\Omega$ определяется, как поток энергии, проходящий в единицу времени через элемент поверхности $\textstyle dS=R^2 d\Omega$ сферы радиуса $\textstyle R$ (см. стр.\pageref{intens_dipol_rad}).

$\frac{dI}{d\Omega} = R^2 \,(\mathbf{N}\mathbf{P}) \approx \frac{Q^2}{4\pi}\, W^2 \, \sin^2\theta,$

где $\textstyle \theta$ — угол между ускорением и направлением в точку наблюдения из запаздывающего положения заряда $\textstyle \mathbf{N}$ . Интеграл по всему телесному углу $\textstyle d\Omega = d\phi \,\sin\theta d\theta$ даёт полное излучение заряда (формула Лармора):

$I\approx \frac{2}{3}\,Q^2 \,\mathbf{W}^2.$

Его можно сравнить с излучением в дипольном приближении (стр.\pageref{intens_dipol_rad}). Для одиночного заряда $\textstyle \mathbf{d}(T)=Q\mathbf{x}_0(T)$ и, соответственно, $\textstyle \ddot{\mathbf{d}}=Q\mathbf{W}$ .

$\textstyle \bullet$ Изучим теперь излучение заряда, не считая его скорость маленькой. На больших расстояниях от заряда напряжённости поля равны:

$\mathbf{E} = \frac{Q}{R}\,\frac{\mathbf{N}\times[(\mathbf{N}-\mathbf{V})\times \mathbf{W}]} { (1 - \mathbf{V}\mathbf{N})^{3}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{B} = \mathbf{N}\times\mathbf{E}.$

Пусть скорость $\textstyle \mathbf{V}$ и ускорение $\textstyle \mathbf{W}$ параллельны, так что $\textstyle \mathbf{V}\times\mathbf{W}=0$ . В этом случае интенсивность излучения равна:

$\frac{dI}{d\Omega} = R^2\frac{\mathbf{E}^2}{4\pi} = \frac{Q^2 W^2}{4\pi}\,\frac{\sin^2\theta}{(1-V\cos\theta)^6}.$

Для медленного заряда излучение максимально в направлении, перпендикулярном ускорению. Чем ближе скорость заряда к скорости света, тем сильнее максимум излучения смещается в направлении движения (см. ниже первые два рисунка). Похожим свойством обладает движущийся изотропный (в собственной системе отсчёта) источник света в результате аберрации (стр.\pageref{aberr_isotr_source}).

Найдём суммарную интенсивность излучения. Интеграл по $\textstyle \phi$ даст $\textstyle 2\pi$ , а для интегрирования по $\textstyle \theta$ сделаем замену $\textstyle z=\cos\theta$ :

$I = \frac{Q^2 W^2}{2}\int\limits^1_{-1}\frac{1-z^2}{(1-V z)^6}\,dz = \frac{2Q^2 W^2}{15}\,\frac{5+V^2}{(1-V^2)^4}.$

(EQN)

Интеграл по $\textstyle z$ находится при помощи дифференцирования определённого интеграла по параметру. Эти вычисления несложны, но сравнительно громоздки ( $\textstyle \lessdot$ H).

Найдём энергию, теряемую зарядом при излучении за единицу времени. Её величина для движущегося заряда отличается от $\textstyle I$ . Действительно, проследим за излучённой в прошлом энергией между моментами времени $\textstyle T$ и $\textstyle T+dT$ . Если бы заряд был неподвижен, к текущему моменту эта энергия была бы сконцентрирована между двумя сферами с радиусами $\textstyle R$ и $\textstyle R-dT$ и совпадающими центрами. При движении заряда за время $\textstyle dT$ центр внутренней сферы смещается на $\textstyle \mathbf{V}dT$ , а её поверхность прижимается к внешней сфере в направлении движения (3-й рисунок).

В результате толщина зазора между сферами в направлении $\textstyle \mathbf{N}$ уменьшается на $\textstyle \mathbf{N}\mathbf{V}dT$ . Если $\textstyle \mathbf{V}=0$ , то толщина зазора равна $\textstyle dT$ . При $\textstyle \mathbf{V}\neq 0$ она равна $\textstyle dT\,(1-\mathbf{V}\mathbf{N})$ . Соответственно, в $\textstyle (1-\mathbf{V}\mathbf{N})$ раз изменяется элемент объёма сферического слоя в направлении $\textstyle \mathbf{N}$ (хотя суммарный объём между сферами, конечно, не меняется). Энергия, расположенная между слоями в телесном углу $\textstyle d\Omega$ , равна:

$d\mathcal{E} = \frac{\mathbf{E}^2+\mathbf{B}^2}{8\pi}\,R^2d\Omega dT\,(1-\mathbf{V}\mathbf{N}) \;\;\;\;=>\;\;\;\; \frac{d\tilde{I}}{d\Omega} = \frac{d\mathcal{E}}{dTd\Omega} = R^2\,\frac{\mathbf{E}^2}{4\pi}\,(1-\mathbf{V}\mathbf{N}).$

Поэтому интенсивность теряемой энергии $\textstyle \tilde{I}$ отличается от $\textstyle I$ множителем $\textstyle 1-\mathbf{V}\mathbf{N}$ . Интегрирование по всем телесным углам даёт ( $\textstyle \lessdot$ H):

$\tilde{I} = \frac{Q^2 W^2}{2}\int\limits^1_{-1}\frac{1-z^2}{(1-V z)^5}\,dz = \frac{2}{3}\,\frac{Q^2W^2}{(1-V^2)^3}.$

Кроме линейного торможения (например, рентгеновское излучение при ударе электрона об электрод) существует ещё одна важная разновидность излучения. В магнитном поле заряд движется по окружности (или спирали). В этом случае скорость и ускорение перпендикулярны. При малой скорости заряда излучение направлено перпендикулярно плоскости орбиты и называется циклотронным. Если же скорость заряда ультрарелятивистская, то максимум излучения сконцентрирован в направлении текущего (с учётом запаздывания) мгновенного вектора скорости. Подобное излучение (касательное к окружности или спирали) называют синхротронным. Оно возникает в круговых ускорителях частиц (отсюда и происходит название). Его же регулярно наблюдают астрономы в окрестности самых разнообразных космических объектов.

Для произвольной ориентации скорости и ускорения теряемая в единицу времени энергия даётся формулой Льенара (1898 г.):

$\tilde{I} = \frac{2}{3}\,Q^2 \, \frac{\mathbf{W}^2 - [\mathbf{V}\times\mathbf{W}]^2}{(1-V^2)^3}.$

(EQN)

Вывести её предлагается самостоятельно ( $\textstyle \lessdot$ H). Стоит также проверить, что формула Льенара может быть записана в следующем инвариантном виде:

$\tilde{I}=\frac{2}{3}\,\frac{e^2}{m^2}\, \left(\frac{d\mathrm{p}}{d\tau}\right)^2,$

где $\textstyle \mathrm{p}$ — 4-импульс частицы с компонентами $\textstyle p^\nu=\{\mathbb{E},\mathbf{p}\}$ , а $\textstyle d\tau =dT\sqrt{1-\mathbf{V}^2}$ — её собственное время с учётом эффекта запаздывания.

Немного комплексных чисел <<	Оглавление (Глава 5)	>> Ковариантная электродинамика

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Произвольно движущийся заряд

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты