Прецессия ускоренного стрежня

Материал из Synset

Ускоренное движение <<	Оглавление (Глава 2)	>> Четырёхмерное пространство-время

В 1926 г. Люэлин Хиллет Томас \cite{Thomas1926} для объяснения расщепления линий в спектрах атомов рассмотрел движение по криволинейной траектории вращающегося шарика. Такой шарик представлял собой классическую модель электрона. Томас учёл релятивистский кинематический эффект поворота системы координат, возникающий при композиции лоренцевских преобразований, и получил правильные коэффициенты в гамильтониане взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Математику такого поворота мы рассмотрим в 5-й главе.

В настоящее время классическая модель электрона имеет только историческое значение, а правильный гамильтониан получается в квантовой теории из уравнения Дирака. Тем не менее, релятивистский эффект поворота ускоренного движущегося стержня или собственного момента вращения гироскопа представляет определённый интерес. В этом разделе мы рассмотрим движение по произвольной траектории стержня, а вопросы, связанные с гироскопом, отложим до следующей главы. Стоит отметить, что уравнения, которые мы выведем, отличаются от томасовских, так как в последних было учтено вращение системы отсчёта, но проигнорировано лоренцевское сокращение длины \cite{Stepsnov_Thomas}.

Пусть стержень движется с небольшим ускорением (но, возможно, с большой скоростью) так, что его условно можно считать жёстким. Если на такой стержень действует сила (но не момент силы), то с точки зрения классической механики он должен перемещаться в пространстве, не меняя своей ориентации. В теории относительности это не так.

Рассмотрим неподвижный относительно системы отсчёта $\textstyle S'$ стержень, один конец которого находится в начале системы (точка $\textstyle A$ далее на рисунке). Пусть другой, "точно такой же" стержень движется относительно него с небольшой постоянной скоростью $\textstyle \mathbf{u}'$ так, что в момент времени $\textstyle t'=0$ оба стержня совпадают. Можно считать, что существует один стержень, все точки которого в момент времени $\textstyle t'=0$ одновременно приобретают одинаковую скорость $\textstyle \mathbf{u}'$ . Такой стержень ускоряется, перемещаясь параллельно относительно своего предыдущего положения.

Относительно системы $\textstyle S$ в момент времени $\textstyle t=0$ концы стержней в точке $\textstyle A$ и начала систем отсчёта совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней совпадать не будут. Для неподвижных наблюдателей они оказываются повёрнутыми вокруг точки $\textstyle A$ . Точно так же будет выглядеть изменение стержня, который приобретает дополнительную скорость $\textstyle \mathbf{u}'$ , сдвигаясь параллельно себе (с собственной точки зрения).

Найдём величину изменения радиус-вектора, связанного со стержнем.

Траектории точки, движущейся с постоянной скоростью в системах $\textstyle S'$ и $\textstyle S$ , имеют вид:

$\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t', \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + \mathbf{u} t.$

Подставим их в обратные преобразования Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_vec0}:

$t = \gamma\,(t' + \mathbf{v}\mathbf{r}'_0 + (\mathbf{v}\mathbf{u}') t' )$

(EQN)

$\mathbf{r}_0+\mathbf{u}t=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t' + \mathbf{v}\gamma t' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0')+\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}')t'.$

(EQN)

В левую часть уравнения () подставим время $\textstyle t$ из () и сгруппируем слагаемые при $\textstyle t'$ :

$\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_0' + \gamma\mathbf{u}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}'_0) - \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0') = \bigl[\mathbf{u}' + \gamma\mathbf{v} +\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}') - \gamma\mathbf{u}\,(1 + \mathbf{v}\mathbf{u}') \bigr]t'.$

Это соотношение выполняется при любом $\textstyle t'$ , если его левая и правая части равны нулю. В результате получается связь скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}, и начальных положений:

$\mathbf{r}_0= \mathbf{r}'_0 - \gamma \mathbf{u}( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') + \Gamma \mathbf{v}( \mathbf{v} \mathbf{r}'_0).$

(EQN)

В момент времени $\textstyle t=t'=0$ точки $\textstyle A$ первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта ( $\textstyle \mathbf{r}_0=\mathbf{r}'_0=0$ ). Точка $\textstyle B$ первого стержня имеет скорость $\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}$ и $\textstyle \mathbf{u}'=0$ . Поэтому из () следует, что в момент времени $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle S$ она имеет координаты:

$\mathbf{r}_{0_1}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0'),$

(EQN)

Это соотношение совпадает с (), стр.\pageref{shape_coord_sys}, при $\textstyle t=0$ .

Точка $\textstyle B$ второго стержня имеет скорости $\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}+d\mathbf{v}$ и $\textstyle \mathbf{u}'=d\mathbf{v}'$ . Из () получаем её положение в момент $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle S$ :

$\mathbf{r}_{0_2}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{r}_0')d\mathbf{v}.$

(EQN)

Вычитая из () уравнение (), мы получим изменение положения точки $\textstyle B$ относительно точки $\textstyle A$ (смещение конца $\textstyle B$ второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе $\textstyle S$ .

Введём вектор $\textstyle \mathbf{s}$ , соединяющий концы стержня $\textstyle A$ и $\textstyle B$ . Так как радиус-вектор точки $\textstyle A$ нулевой, имеем $\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}_{0_1}$ . После изменения стержнем скорости в () $\textstyle \mathbf{r}_{0_2}=\mathbf{s}+d\mathbf{s}$ . Поэтому:

$d\mathbf{s} = - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{s}')d\mathbf{v} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,d\mathbf{v},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf{s}'=\mathbf{r}'_{0_1}=\mathbf{r}'_{0_2}$ — положение точки $\textstyle B$ стержней в системе $\textstyle S'$ . Во втором равенстве, c учётом (), стр. \pageref{shape_coord_sys1}, подставлено $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{s}'=\gamma(\mathbf{v}\mathbf{s})$ . Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt$ , окончательно приходим к уравнению: \parbox{7.5cm}{ <center>

} \parbox{8cm}{

$\frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}.$

(EQN)

} </center> Так как точки $\textstyle A$ обоих стержней совпадали, в уравнении () производная по времени от $\textstyle \mathbf{s}$ имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки $\textstyle B$ относительно $\textstyle A$ ). Сама же точка $\textstyle A$ независимо движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf{v}(t)$ . Предлагается самостоятельно ( $\textstyle \lessdot$ H) восстановить в () константу " $\textstyle c$ ".

Рассмотрим несколько частных случаев ускоренного движения. Ниже на рисунке представлены различные ориентации стержня, скорости и ускорения. В первых двух случаях поворота стержня не происходит.

Например, если стержень перпендикулярен скорости ( $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{s}=0$ ), то при изменении её величины (но не направления) стержень не изменит ни ориентации, ни длины. Так и должно быть. В этом случае все точки стержня одновременно изменяют свою скорость как в системе $\textstyle S$ , так и в системе $\textstyle S'$ , а поперечные к скорости расстояния неизменны. Поэтому, если в $\textstyle S'$ начинают сдвигать (ускорять) вертикальный стержень в горизонтальном направлении, то он поворачиваться не будет. Аналогично, если в движущейся в горизонтальном направлении системе отсчёта вверх поднимают вертикальный стержень, то он также не должен повернуться (оба его конца имеют совпадающие координаты $\textstyle x$ ). Однако, если в системе $\textstyle S'$ оба конца горизонтального стержня поднимают вверх, то в системе $\textstyle S$ концы поднимутся неодновременно и возникнет поворот (). Его угол можно ( $\textstyle \lessdot$ H) также получить из соображений относительности одновременности.

Полученное уравнение () справедливо только при небольшом ускорении стержня, когда его можно считать жёстким. В этом случае в каждый момент времени со стержнем связывается "мгновенно инерциальная" (сопутствующая) система отсчёта. В рамках такого предположения и получено уравнение (). Рассмотрим равноускоренное движение стержня, когда скорость и ускорение направлены вдоль стержня. Пусть один из концов стержня движется со следующими скоростью и ускорением:

$v = \frac{wt}{\sqrt{1+(wt)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\gamma=\sqrt{1+(wt)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;a=\frac{w}{\gamma^3},$

где $\textstyle w$ — некоторая константа (собственное ускорение). Длина стержня $\textstyle l=\sqrt{\mathbf{s}^2}$ удовлетворяет уравнению:

$\frac{dl}{dt} = \frac{\mathbf{s}(d\mathbf{s}/dt)}{l} = -\gamma^2\frac{(\mathbf{s}\mathbf{v})(\mathbf{s}\mathbf{a})}{l}= -\gamma^2 v(t)a(t) l(t)=- \frac{w^2 t}{1+(wt)^2}.$

Интегрируя его с начальным условием $\textstyle l(0)=l_0$ , получаем:

$l(t) = \frac{l_0}{\sqrt{1+(wt)^2}} = l_0 \sqrt{1-v^2(t)}.$

(EQN)

Это выражение совпадает с мгновенным лоренцевским сокращением движущегося со скоростью $\textstyle v(t)$ стержня.

Как мы увидим в шестой главе, посвящённой неинерциальным системам отсчёта, физика в ускоренной системе выглядит "хитрее", чем физика в последовательности сопутствующих к ней инерциальных систем. В частности, если ускоренно движущиеся наблюдатели "выдерживают" одинаковое расстояние друг между другом, время у них будет идти по-разному. Стержень, связанный с такой системой, относительно неподвижных наблюдателей изменяет свою длину следующим образом:

$l(t) = \frac{\sqrt{\gamma^2+ 2wl_0+ (w l_0)^2}-\gamma}{w} \approx\frac{l_0}{\gamma}\,\Bigl(1+\frac{v^2}{2}\,wl_0 +...\Bigr),$

где приближенное равенство записано для малых $\textstyle w$ . Видно, что это соотношение стремится к мгновенному лоренцевскому сжатию () только при $\textstyle v^2w l_0 =v^2\gamma^3 al_0 \ll 1$ . Это приближение будет справедливым при относительно небольшом ускорении (точнее, при $\textstyle a\ll a_0=c^4/(v^2\gamma^3l_0)$ , где восстановлена скорость света $\textstyle c$ ). Именно эта комбинация длины стержня, скорости и ускорения должна быть мала, чтобы можно было не учитывать "эффекты неинерциальности" и пользоваться уравнением (). Впрочем, для метрового стержня, движущегося со скоростью $\textstyle v=0.8\,c$ , имеем достаточно большое значение $\textstyle a_0=3\cdot10^{16}\;м/с^2$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта $\textstyle S'$ по окружности радиуса $\textstyle R$ с постоянной по модулю скоростью $\textstyle v$ . При периоде обращения $\textstyle T$ скорость равна $\textstyle v=2\pi R/T=\omega R$ , где $\textstyle \omega$ — круговая частота. Модуль ускорения равен $\textstyle a=v^2/R=\omega v$ .

Вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости $\textstyle \mathbf{a}\mathbf{v}=0$ . Если $\textstyle \mathbf{n}$ — постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты, то справедливы следующие соотношения:

$\mathbf{a} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{v}],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d\mathbf{a}}{dt} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{a}] =-\omega^2\,\mathbf{v}.$

(EQN)

Запишем уравнение () и умножим его на $\textstyle \mathbf{v}$ :

$\frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt} = \mathbf{a}\mathbf{s}.$

(EQN)

Дифференцируя это уравнение по времени:

$\frac{d^2(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt^2} = \mathbf{a}\frac{d\mathbf{s}}{dt}+\mathbf{s}\frac{d\mathbf{a}}{dt}=-(\gamma^2 a^2+\omega^2)\,(\mathbf{v}\mathbf{s})$

и подставляя $\textstyle a=\omega v$ , получаем осцилляторное уравнение:

$\frac{d^2(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s}) = 0$

со следующим решением:

$\mathbf{v}\mathbf{s} = (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t)+\frac{(\mathbf{a}\mathbf{s})_0}{\omega\gamma}\,\sin(\omega\gamma t),$

(EQN)

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярного произведения в момент времени $\textstyle t=0$ , а значение $\textstyle d(\mathbf{v}\mathbf{s})/dt$ при $\textstyle t=0$ записано при помощи уравнения ().

Умножая теперь () на ускорение $\textstyle \mathbf{a}$ и учитывая (), получаем:

$\frac{d(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt} = \mathbf{s}\frac{d\mathbf{a}}{dt} -\gamma^2 a^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s}) = -\omega^2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{s}).$

Правая часть известна (), поэтому уравнение легко интегрируется:

$\mathbf{a}\mathbf{s} = (\mathbf{a}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t) - (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\omega \gamma\,\sin(\omega\gamma t).$

(EQN)

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах $\textstyle \mathbf{v}$ , $\textstyle \mathbf{a}$ , конец стержня вращается с угловой скоростью $\textstyle \omega\gamma$ .

Найдём зависимость координат конца стержня $\textstyle \mathbf{s}=\{s_x,s_y\}$ относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть стержень движется по окружности против часовой стрелки $\textstyle \mathbf{r}(t)=R\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}$ . Тогда компоненты скорости и ускорения равны:

$\mathbf{v} = R\omega\,\{-\sin(\omega t),\;\cos(\omega t)\},\;\;\;\;\;\;\mathbf{a} = -R\omega^2\,\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}.$

В момент времени $\textstyle t=0$ имеем $\textstyle \mathbf{v}=R\omega\,\{0,1\}$ , $\textstyle \mathbf{a}=-R\omega^2\,\{1,0\}$ , поэтому $\textstyle (\mathbf{v}\mathbf{s})_0=R\omega s_{y0}$ , $\textstyle (\mathbf{a}\mathbf{s})_0=-R\omega^2 s_{x0}$ и решения (), () приводят к системе:

$\left\{ \begin{array}{l} s_x\cos(\omega t) + s_y\sin(\omega t) = s_{x0}\cos(\omega\gamma t) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(\omega\gamma t)\\ -s_x\sin(\omega t) + s_y\cos(\omega t) = s_{y0}\cos(\omega\gamma t) - (s_{x0}/\gamma)\sin(\omega\gamma t).\\ \end{array} \right.$

Из этого решения следует, что длина стержня восстанавливается в моменты времени $\textstyle \omega t = \pi k/\gamma$ , где $\textstyle k=1, 2,....$ ( $\textstyle \lessdot$ H). Если $\textstyle \gamma$ — рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный $\textstyle n$ -угольник. При этом $\textstyle (\gamma-1)/\gamma$ равно несократимой дроби $\textstyle 2k/n$ . При малых скоростях после каждого оборота по окружности стержень поворачивается на малый угол $\textstyle \pi v^2$ \cite{Stepsnov_Thomas}.

Ниже изображены траектории конца стержня относительно его начала при различной скорости движения по окружности и начальной ориентации. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности, и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка — это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа. Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращения по окружности. \includegraphics{pic/thomas_cicle.eps}

Ускоренное движение <<	Оглавление (Глава 2)	>> Четырёхмерное пространство-время

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Прецессия ускоренного стрежня

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты