Прецессия Томаса/Уравнение для стержня

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Лоренцевское сокращение <<	Оглавление	>> Неинерциальные системы отсчёта

Пусть в НИСО находится стержень, один из концов которого (точка $\textstyle A$ ) расположен в начале системы отсчёта. Это начало НИСО движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf{v}(t)$ и ускорением $\textstyle \mathbf{a}(t)$ относительно неподвижной (лабораторной) системы $\textstyle K$ . Стержень перемещается параллельно с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей к стержню ИСО. Нас интересует: как такое движение выглядит для наблюдателей в системе $\textstyle K$ ? Для них положение второго конца стержня (точка $\textstyle B$ ) относительно точки $\textstyle A$ будет изменяться. Что бы описать это изменение можно рассмотреть две ИСО $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ , сопутствующих к НИСО, учесть вигнеровское вращение и результаты предыдущего раздела (см. приложение B). Однако в этом разделе мы будем использовать более простые рассуждения.

Рассмотрим неподвижный относительно ИСО $\textstyle K'$ стержень, один конец которого находится в начале системы (точка $\textstyle A$ на рисунке 6). Пусть другой "точно такой же" стержень движется относительно первого с небольшой постоянной скоростью $\textstyle d\mathbf{v}'$ (относительно $\textstyle K'$ ) так, что в момент времени $\textstyle t'=0$ все точки обоих стержней совпадают. Можно считать, что второй стержень эквивалентен первому стержню, который в момент времени $\textstyle t'=0$ (в системе $\textstyle K'$ ) приобрел небольшую поступательную скорость $\textstyle d\mathbf{v}'$ в произвольном направлении. Разница ориентации этих двух стержней для наблюдателей в лабораторной системе $\textstyle K$ даст требуемый поворот ускоренно движущегося стержня.

Пусть система отсчёта $\textstyle K'$ движется относительно "неподвижной" системы отсчёта $\textstyle K$ со скоростью $\textstyle \mathbf{v}$ . В момент времени $\textstyle t=0$ концы стержней в точке $\textstyle A$ и начала систем отсчёта $\textstyle K$ и $\textstyle K'$ совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней (точки $\textstyle B$ ) совпадать не будут (хотя это так в системе $\textstyle K'$ ). Для неподвижных наблюдателей в $\textstyle K$ стержни оказываются повёрнутыми вокруг точки $\textstyle A$ .

Рисунок 6. Левый рисунок выполнен с точки зрения наблюдателя в системе $\textstyle K'$ , в которой находятся два совпадающих при $\textstyle t'=0$ стержня, один из которых неподвижен, а второй движется со скоростью $\textstyle d\mathbf{v}'$ . На правом рисунке для наблюдателей в $\textstyle K$ стержни не совпадают.

Уравнения движения некоторой точки, имеющей постоянную скорость в системах $\textstyle K'$ и $\textstyle K$ , имеют вид:

$\mathbf{r}'=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t', \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + \mathbf{u} t.$

(16)

Найдём связь скоростей $\textstyle \mathbf{u}$ , $\textstyle \mathbf{u}'$ и начальных положений $\textstyle \mathbf{r}_0$ , $\textstyle \mathbf{r}_0'$ точки в момент времени $\textstyle t=0$ и $\textstyle t'=0$ соответственно. Подставим уравнения движения в обратные преобразования Лоренца (9):

$t = \gamma\,(t' + \mathbf{v}\mathbf{r}'_0 + (\mathbf{v}\mathbf{u}') t' )$

(17)

$\mathbf{r}_0+\mathbf{u}t=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t' + \mathbf{v}\gamma t' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0')+\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}')t'.$

(18)

В левую часть уравнения (18) подставим время $\textstyle t$ из (17) и сгруппируем слагаемые при $\textstyle t'$ :

$\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_0' + \gamma\mathbf{u}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}'_0) - \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0') = \bigl[\mathbf{u}' + \gamma\mathbf{v} +\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}') - \gamma\mathbf{u}\,(1 + \mathbf{v}\mathbf{u}') \bigr]t'.$

(19)

Это соотношение выполняется при любом $\textstyle t'$ , если его левая и правая части равны нулю. В результате приходим к известной формуле сложения скоростей:

$\mathbf{u} = \frac{ \mathbf{u}'+ \mathbf{v}\gamma+\Gamma \mathbf{v}( \mathbf{v} \mathbf{u}')}{\gamma\,(1+ \mathbf{v} \mathbf{u}')}$

(20)

и получаем связь начальных положений точки в двух системах отсчёта:

$\mathbf{r}_0= \mathbf{r}'_0 - \gamma \mathbf{u}( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') + \Gamma \mathbf{v}( \mathbf{v} \mathbf{r}'_0).$

(21)

В момент времени $\textstyle t=t'=0$ точки $\textstyle A$ первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта ( $\textstyle \mathbf{r}_0=\mathbf{r}'_0=0$ ). Точка $\textstyle B$ первого стержня имеет скорость $\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}$ и $\textstyle \mathbf{u}'=0$ . Поэтому из (21) следует, что в момент времени $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle K$ она имеет координаты:

$\mathbf{r}_{0_1}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0'),$

(22)

где учтено (8). Как и следовало ожидать, это соотношение совпадает с (10) при $\textstyle t=0$ .

Точка $\textstyle B$ второго стержня имеет скорости $\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}+d\mathbf{v}$ и $\textstyle \mathbf{u}'=d\mathbf{v}'$ . Из (21) получаем её положение в момент $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle K$ :

$\mathbf{r}_{0_2}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{r}_0')d\mathbf{v}.$

(23)

Вычитая из (23) уравнение (22), мы получим изменение положения точки $\textstyle B$ относительно точки $\textstyle A$ (смещение конца $\textstyle B$ второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе $\textstyle K$ . Значение $\textstyle \mathbf{r}'_0$ точек $\textstyle B$ для обоих стержней в системе $\textstyle K'$ одинаковы (стержни при $\textstyle t'=0$ совпадают).

Введём вектор $\textstyle \mathbf{s}$ , соединяющий концы стержня $\textstyle A$ и $\textstyle B$ . Так как радиус-вектор точки $\textstyle A$ нулевой, имеем $\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}_{0_1}$ . После изменения стержнем скорости в (23) $\textstyle \mathbf{r}_{0_2}=\mathbf{s}+d\mathbf{s}$ . Поэтому:

$d\mathbf{s} = - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{s}')d\mathbf{v} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,d\mathbf{v},$

(24)

где $\textstyle \mathbf{s}'=\mathbf{r}'_{0_1}=\mathbf{r}'_{0_2}$ — положение точки $\textstyle B$ стержней в системе $\textstyle K'$ . Во втором равенстве, c учётом (11), подставлено $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{s}'=\gamma(\mathbf{v}\mathbf{s})$ . Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt$ , окончательно приходим к уравнению:

(25)

Так как точки $\textstyle A$ обоих стержней совпадали, в уравнении (25) производная по времени от $\textstyle \mathbf{s}$ имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки $\textstyle B$ относительно $\textstyle A$ ). Сама же точка $\textstyle A$ независимо движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf{v}(t)$ .

В результате изменения скорости происходит как изменение длины стержня, так и его ориентации. Можно разделить эти два эффекта. Вводя длину стержня $\textstyle l=\sqrt{\mathbf{s}^2}$ и единичный вектор в его направлении $\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{s}/l$ , из (25) несложно получить:

$\frac{d\ln l}{dt} = -\gamma^2(\mathbf{v}\mathbf{n})(\mathbf{a}\mathbf{n}), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d\mathbf{n}}{dt} = \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{n}) [\mathbf{a}\times\mathbf{n}]\times\mathbf{n}.$

(26)

Из последнего уравнения следует, что угловая скорость поворота зависит от ориентации стержня $\textstyle \mathbf{n}$ . Это существенно отличает полученные уравнения от формулы Томаса (3).

При помощи уравнения (25) несложно проанализировать рассмотренное во введении изменение вертикальной скорости стержня, который движется в горизонтальном направлении. Если стержень перед началом ускорения был ориентирован горизонтально вдоль его скорости, то $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{n}=v$ и угловая скорость поворота будет перпендикулярна рисунку. Угол поворота равен $\textstyle d\phi = \gamma^2 v dv$ , где $\textstyle dv$ — приращение вертикальной составляющей скорости. Угол же поворота в соответствии с формулой Томаса составит $\textstyle \gamma^2\, v dv/(\gamma+1)$ и при малых скоростях оказывается в два раза меньше.

Если стержень ориентирован перпендикулярно к движению, то $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{n}=0$ , и никакого поворота не будет. Этот же результат следует из соображений, основанных на относительности одновременности. Как отмечалось во введении, формула Томаса в этом случае, тем не менее, предсказывает вращение стержня.

Лоренцевское сокращение <<	Оглавление	>> Неинерциальные системы отсчёта

Прецессия Томаса/Уравнение для стержня

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты