Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Приложение A: Вигнеровское вращение <<	Оглавление	>> Литература

Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора $\textstyle \mathbf{s}$ , связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.

Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А:

$\mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}].$

(123)

Этот угол является поворотом, выполняемым после лоренцевского буста со скоростью (120), равной $\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}$ . Фактор Лоренца для такой скорости равен:

$\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}=(1-(\mathbf{v}+d\mathbf{v})^2)^{-1/2}\approx (1-\mathbf{v}^2-2\mathbf{v}d\mathbf{v})^{-1/2} \approx \gamma + \gamma^3\mathbf{v}d\mathbf{v},$

(124)

где $\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}$ . Соответственно:

$\frac{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}}{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}+1}\approx\frac{\gamma}{\gamma+1} + \frac{\gamma^3 \,\mathbf{v}d\mathbf{v}}{(\gamma+1)^2}.$

(125)

Обозначим со штрихами координаты преобразования с $\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}$ . Делая в (10) замену $\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}$ ) и сохраняя первый порядок малости по $\textstyle d\mathbf{v}$ , получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:

$\mathbf{r}= \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}') + \mathbf{v}(d\mathbf{v}\,\mathbf{r}')+ d\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}')\bigr\} -\frac{\gamma^3 \,}{(\gamma+1)^2}\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}')\,(\mathbf{v}d\mathbf{v}).$

(126)

Поворот, на угол $\textstyle d\phi$ осуществляет преобразование $\textstyle \mathbf{r}'' = \mathbf{r}' - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}']\,d\phi$ . Обратное преобразование получается заменой $\textstyle d\phi\mapsto-d\phi$ :

$\mathbf{r}' = \mathbf{r}'' + [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'']\,d\phi,$

(127)

или, используя выражение для угла (123):

$\mathbf{r}' = \mathbf{r}''+ \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{r}''d\mathbf{v})-(\mathbf{r}''\mathbf{v})d\mathbf{v}\bigr\}.$

(128)

Подставляя $\textstyle \mathbf{r}'$ в (126), получаем:

$\mathbf{r}= \mathbf{r}'' -\frac{\gamma}{\gamma+1}\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}'') - \gamma (\mathbf{v}\mathbf{r}'')d\mathbf{v},$

(129)

где сохранён первый порядок малости по $\textstyle d\mathbf{v}$ .

До изменения скорости координаты были равны:

$\mathbf{r}= \bar{\mathbf{r}}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\bar{\mathbf{r}}').$

(130)

Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости $\textstyle \bar{\mathbf{r}}'$ и после изменения $\textstyle \mathbf{r}''$ остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma$ и вводя вектор, соединяющий концы стержня $\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}$ мы снова приходим к уравнению (25):

$\frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}.$

(131)

Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке 15. Если ИСО $\textstyle K'$ движется относительно $\textstyle K$ с произвольной скоростью $\textstyle \mathbf{v}$ , то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.

Рисунок 15. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.

Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система $\textstyle K''$ . Если с системой $\textstyle K$ она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если $\textstyle K''$ получается чистым бустом из системы $\textstyle K'$ , то относительно $\textstyle K$ будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.

Приложение A: Вигнеровское вращение <<	Оглавление	>> Литература

Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты