Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Заключение <<	Оглавление	>> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня

Обозначим через $\textstyle X=\{t,\,\mathbf{r}\}$ 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как $\textstyle X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X$ или в явной компонентной записи (см. раздел 2):

$t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}).$

(100)

Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора $\textstyle \mathbf{n}$ на угол $\textstyle \phi$ в матричном виде обозначим как $\textstyle X'=\mathbb{R}(\mathbf{n},\phi)\,X$ или

$\mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi$

(101)

при неизменности времени ( $\textstyle t'=t$ ).

Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора $\textstyle \mathbf{n}$ одна система координат относительно другой. Расписав преобразования (101) в компонентах $\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}$ и $\textstyle \mathbf{r}'=\{x',y',z'\}$ , мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора $\textstyle \mathbf{n}=\{n_x,n_y,n_z\}$ берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор $\textstyle \mathbf{r}$ . В этом случае, после замены $\textstyle \phi\mapsto -\phi$ , формула (101) устанавливает векторную связь двух различных векторов $\textstyle \mathbf{r}'$ и $\textstyle \mathbf{r}$ .

Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.

Инфинитезимальные преобразования Лоренца $\textstyle \mathbb{L}(d\mathbf{v})$ :

$t'=t-{\mathbf r}d{\mathbf v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - t d{\mathbf v}$

(102)

и вращения $\textstyle \mathbb{R}(\mathbf{n},d\phi)$ :

$\mathbf{r}' = \mathbf{r} - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] d\phi$

(103)

записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.

Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО $\textstyle K_1$ движется относительно $\textstyle K$ со скоростью $\textstyle \mathbf{v}_1$ , а $\textstyle K_2$ относительно $\textstyle K_1$ со скоростью $\textstyle \mathbf{v}_2$ . Тогда

$X_1=\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,X_1$

(104)

или

$X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X.$

(105)

Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.

Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:

$\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi) \,\mathbb{L}(\mathbf{w}).$

(106)

Угол поворота $\textstyle \phi$ и единичный вектор $\textstyle \mathbf{n}$ находятся из уравнения:

$\mathbf{n}\,\sin \phi = -[\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2]\, \frac{\gamma_1\gamma_2\,(1+\gamma_w+\gamma_1+\gamma_2)}{(1+\gamma_w)(1+\gamma_1)(1+\gamma_2)},$

(107)

а итоговая скорость $\textstyle \mathbf{w}$ имеет смысл скорости начала системы $\textstyle K_2$ относительно $\textstyle K$ :

$\mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1\gamma_1 + \Gamma_1\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}{\gamma_1\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}.$

(108)

Факторы $\textstyle \gamma_1$ и $\textstyle \Gamma_1$ относятся к скорости $\textstyle \mathbf{v}_1$ , а $\textstyle \gamma_2$ — к скорости $\textstyle \mathbf{v}_2$ . Фактор Лоренца $\textstyle \gamma_w$ для скорости $\textstyle \mathbf{w}$ равен:

$\gamma_w=\gamma_1\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2).$

(109)

Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. ^[1], а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением ^[2].

Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:

$\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{L}(\tilde{\mathbf{w}})\,\mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi),$

(110)

когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол $\textstyle \phi$ и единичный вектор $\textstyle \mathbf{n}$ (107) остаются без изменений, а итоговая скорость $\textstyle \tilde{\mathbf{w}}$ получается из (108) перестановкой индексов 1 и 2:

$\tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\gamma_2 + \Gamma_2\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_2\mathbf{v}_1)}{\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}.$

(111)

Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы $\textstyle K$ относительно $\textstyle K_2$ . Заметим, что $\textstyle |\tilde{\mathbf{w}}|=|\mathbf{w}|$ , поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение

$\frac{\tilde{\mathbf{w}}\times\mathbf{w}}{w^2} = \mathbf{n}\,\sin \phi,$

(112)

из которого следует, что угол между векторами скоростей $\textstyle \mathbf{w}$ и $\textstyle \tilde{\mathbf{w}}$ соответствует вигнеровскому повороту (107).

Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона ^[3] и Мёллера ^[4]. Пусть есть три системы отсчёта: $\textstyle K$ , $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ , описанные в первом разделе, где $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а $\textstyle K$ — лабораторная ИСО.

В ^[3] предполагается, что $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ связаны с $\textstyle K$ бустами:

$X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\,X,$

(113)

откуда, учитывая, что $\textstyle \mathbb{L}^{-1}(\mathbf{v})=\mathbb{L}(-\mathbf{v})$ , получаем:

$X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\mathbb{L}(-\mathbf{v})\, X'.$

(114)

Используя общие соотношения (107), (108) с $\textstyle \mathbf{v}_1=-\mathbf{v}$ , $\textstyle \mathbf{v}_2=\mathbf{v}+d\mathbf{v}$ , в первом приближении по $\textstyle d\mathbf{v}$ , находим бесконечно малый угол поворота:

$\mathbf{n}\,d\phi = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}],$

(115)

где учтено, что в векторном произведении (107) стоит малая величина $\textstyle d\mathbf{v}$ , поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по $\textstyle d\mathbf{v}$ : $\textstyle \gamma_1=\gamma_2=\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}$ , $\textstyle \gamma_w=\gamma^2(1-\mathbf{v}^2)=1$ . В явном виде преобразование между $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ записывается следующим образом:

$t'' = t' - \mathbf{r}'\Delta \mathbf{v},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}''=\mathbf{r}'-d\phi\, [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'] - t'\Delta \mathbf{v},$

(116)

где

$\Delta \mathbf{v} =\gamma(d\mathbf{v}+\Gamma (\mathbf{v}d\mathbf{v})\mathbf{v}).$

В первом приближении по $\textstyle d\mathbf{v}$ скорости $\textstyle \mathbf{w}$ и $\textstyle \tilde{\mathbf{w}}$ совпадают и равны $\textstyle \Delta \mathbf{v}$ .

Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ . При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (113). Таким образом, их оси "параллельны" $\textstyle K$ , а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.

В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.

Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера ^[4], который рассматривает последовательность преобразований:

$X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})X,\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')X',$

(117)

откуда

$X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v}) X.$

(118)

Подставляя $\textstyle \mathbf{v}_1=\mathbf{v}$ , $\textstyle \mathbf{v}_2=d\mathbf{v}'$ в соотношения (107), (108), в первом приближении по $\textstyle d\mathbf{v}'$ имеем:

$\mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}'] ,$

(119)

где учтено, что $\textstyle \gamma_2\approx 1$ и $\textstyle \gamma_w\approx\gamma_1=\gamma$ . Итоговая скорость (108) равна:

$\mathbf{w} = \frac{d\mathbf{v}'+\mathbf{v}\gamma + \Gamma \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma\,(1+\mathbf{v}d\mathbf{v}')}\approx \mathbf{v}+\frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1},$

(120)

где приближенное равенство записано в первом порядке малости по $\textstyle d\mathbf{v}'$ . Величина $\textstyle d\mathbf{v}'$ является скоростью $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K'$ и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения $\textstyle K'$ .

Скорость $\textstyle \mathbf{w}$ имеет смысл скорости системы $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K$ , поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:

$d\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{v}.$

(121)

Умножая её векторно на $\textstyle \mathbf{v}$ , несложно переписать (119) в виде:

$\mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}],$

(122)

что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы $\textstyle K$ в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении $\textstyle \mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v})=\mathbb{R}(\mathbf{n},d\phi)\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})$ участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от $\textstyle K$ к $\textstyle K'$ , а затем к $\textstyle K''$ . В правой части лоренцевское преобразование $\textstyle \mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})$ осуществляет переход от $\textstyle K$ к системе $\textstyle \tilde{K}''$ , из которой (в результате поворота) получается система $\textstyle K''$ . Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы $\textstyle K$ , а относительно $\textstyle \tilde{K}''$ .

Примчания

↑ Stapp H. P. — "Relativistic Theory of Polarization Phenomena", Phys.Rev. 103, 2, pp.425-434, (1956)
↑ Wigner E. P. — "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Ann. Math. 40, pp.149-204 (1939).
↑ ^3,0 ^3,1 Джексон Д. — "Классическая электродинамика", М. Мир. с.702, (1965)
↑ ^4,0 ^4,1 Мёллер К. — "Теория относительности", М. Атомиздат. с.400, (1975)

Заключение <<	Оглавление	>> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня

[0] Stapp H. P. — "Relativistic Theory of Polarization Phenomena", Phys.Rev. 103, 2, pp.425-434, (1956)

[1] Wigner E. P. — "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Ann. Math. 40, pp.149-204 (1939).

[Jekson-2] 3,0 ^3,1 Джексон Д. — "Классическая электродинамика", М. Мир. с.702, (1965)

[Myoler-3] 4,0 ^4,1 Мёллер К. — "Теория относительности", М. Атомиздат. с.400, (1975)

[1]

[2]

[3]

[4]

Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты