Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Момент импульса и спин <<	Оглавление	>> Движение гироскопа по окружности

Введём три системы отсчёта $\textstyle K$ , $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ . Пусть скорость системы $\textstyle K'$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf{v}$ , а скорость системы $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K'$ равна $\textstyle d\mathbf{v}'$ . Соответственно, скорость $\textstyle K''$ относительно $\textstyle K$ равна $\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}$ .

Рисунок 13. Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$

Эти скорости связаны при помощи преобразования (20):

${\mathbf v} + d\mathbf{v} = \frac{d{\mathbf v}' + \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}')} {\gamma\, (1+{\mathbf v}d{\mathbf v}')}.$

(57)

Так как $\textstyle d\mathbf{v}'$ мало, разложим в ряд знаменатель:

$d\mathbf{v} \approx \frac{d{\mathbf v}'}{\gamma} + \frac{\Gamma}{\gamma}\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}') - \mathbf{v}({\mathbf v}d{\mathbf v}') = \frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1},$

(58)

где учтено тождество (8). Умножая левую и правую части на $\textstyle \mathbf{v}$ , имеем:

$\mathbf{v}d\mathbf{v}' \approx \gamma^2\,\mathbf{v}d\mathbf{v}.$

(59)

При помощи этого соотношения можно обратить выражение (58):

$d\mathbf{v}' \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1}.$

(60)

Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора $\textstyle S^\alpha$ , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости $\textstyle U^\alpha=\{\gamma_u,\,\mathbf{u}\gamma_u\}$ :

$U\cdot S = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0.$

(61)

Из этого соотношения следует, что $\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}$ . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в (7) $\textstyle t\mapsto S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}$ и $\textstyle \mathbf{r}\mapsto \mathbf{S}$ ):

$\mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}).$

(62)

Обратное преобразование получается заменой скорости $\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}$ :

$\mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'),$

(63)

так как в любой системе отсчёта $\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}$ .

Если гироскоп неподвижен ( $\textstyle \mathbf{u}'=0$ ) относительно системы $\textstyle K'$ , то:

$\mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}').$

(64)

Обратное преобразование получается при помощи тождества (8) из соотношения (62) после подстановки $\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}$ :

$\mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}).$

(65)

Применим преобразование (64) между ИСО $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ . Пусть в системе $\textstyle K''$ находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином $\textstyle \mathbf{S}''$ . В этом случае в преобразовании (64) необходимо добавить всем величинам штрих и заменить $\textstyle \mathbf{v}\mapsto d\mathbf{v}'$ . В результате в первом приближении по $\textstyle d\mathbf{v}'$ спин остаётся в системе $\textstyle K'$ без изменений:

$\mathbf{S}' = \mathbf{S}''.$

(66)

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе $\textstyle K'$ со спином $\textstyle \mathbf{S}'$ (рис.13). Когда начала систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы $\textstyle K''$ получается при изменении на $\textstyle d\mathbf{v}'$ скорости гироскопа системы $\textstyle K'$ . Спин гироскопа $\textstyle K''$ в соответствии с (63) и (66) относительно $\textstyle K$ равен:

$\mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}').$

(67)

Это значение спина гироскопа в момент времени $\textstyle t+dt$ после изменения им скорости на $\textstyle d\mathbf{v}'$ относительно системы $\textstyle K'$ . Вычитая из этого выражение значение спина (64) в момент времени $\textstyle t$ , получаем:

$d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}),$

(68)

где во втором равенстве $\textstyle d\mathbf{v}'$ , при помощи (60), выражено через $\textstyle d\mathbf{v}$ , а вместо $\textstyle \mathbf{S}'$ подставлено выражение (65). Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt$ , окончательно получаем:

$\frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}).$

(69)

Если ускорение $\textstyle \mathbf{a}$ остаётся перпендикулярным вектору спина ( $\textstyle \mathbf{a}\mathbf{S}=0$ ), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение (69) отличается от уравнения (25), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

Уравнению (69) можно придать ковариантную форму:

$\frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta,$

(70)

где $\textstyle V^\alpha=\{\gamma, \mathbf{v}\gamma\}$ — 4-скорость, а $\textstyle A^\alpha$ — 4-ускорение:

$A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4,\;\mathbf{a}\gamma^2+ \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4\}$

(71)

и $\textstyle d\tau=\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,dt$ — собственное время системы $\textstyle K'$ .

Дифференциальное уравнение (70) называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено ^[1] в предположении, что изменение 4-вектора спина $\textstyle dS^\alpha$ при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости $\textstyle V^\alpha$ . При таком переносе, в силу $\textstyle V\cdot S=0$ , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:

$\frac{d(S^\alpha S_\alpha)}{d\tau} = 0,$

(72)

хотя квадрат 3-вектора спина $\textstyle \mathbf{S}^2$ изменяется:

$\frac{d\mathbf{S}^2}{dt} = 2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{S})(\mathbf{a}\mathbf{S}),$

(73)

если спин не ортогонален скорости или ускорению. Отметим также уравнение для модифицированного спина $\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{S} M/\mathcal{E}=\mathbf{S}/\gamma$ , равного чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии:

$\frac{d\tilde{\mathbf{S}}}{dt} = \gamma^2 \,[\mathbf{a}\times[\mathbf{v}\times\tilde{\mathbf{S}}].$

(74)

При равноускоренном движении (27) из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии (69) приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

$S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}},$

(75)

где $\textstyle S_{x0}=S_x(0)$ — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (64). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость (75) получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой.

Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе $\textstyle K''$ находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса $\textstyle \mathbf{L}''$ и с центром энергии в начале координат: $\textstyle \mathbf{G}''=0$ . Записав преобразования (49), (50) между системами $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ с $\textstyle \mathbf{v}=d\mathbf{v}'$ , в первом порядке малости по $\textstyle d\mathbf{v}'$ , имеем:

$\mathbf{L'}=\mathbf{L}'',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G}'= [d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}''].$

(76)

Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом $\textstyle \mathbf{L}'$ , центр энергии которого расположен в начале системы $\textstyle K'$ ( $\textstyle \mathbf{G}'=0$ ). Когда начала систем $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$ совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы $\textstyle K''$ получается при изменении на $\textstyle d\mathbf{v}'$ скорости гироскопа системы $\textstyle K'$ . При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.

Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в $\textstyle K$ . Гироскоп $\textstyle K''$ имеет момент импульса:

$\mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}' -\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']]- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'),$

(77)

где учтено (49) и (76), а гироскоп $\textstyle K'$ :

$\mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}'- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}').$

(78)

Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа $\textstyle K'$ на $\textstyle d\mathbf{v}'$ .

Считая, что (78) соответствует моменту времени $\textstyle t$ , а (77) — бесконечно близкому моменту $\textstyle t+dt$ , имеем:

$d\mathbf{L}=-\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']] = -\gamma \,(\mathbf{v}\mathbf{L}')d\mathbf{v}' +\gamma \mathbf{L}' (\mathbf{v}d\mathbf{v}').$

(79)

Учтём инвариантность $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{L}'=\mathbf{v}\mathbf{L}$ , уравнение (59) и подставим $\textstyle \gamma\mathbf{L}'$ из (78). Выражая при помощи (60) скорость $\textstyle d\mathbf{v}'$ через $\textstyle d\mathbf{v}$ и вводя ускорение $\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt$ , получаем:

$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, \mathbf{L} - \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{L}) \mathbf{a}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}].$

(80)

Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны ( $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{a}=0$ ), например, при движении по окружности, уравнение (80) совпадает с уравнением (25) для ускоренного стержня.

Примчания

↑ Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)

Момент импульса и спин <<	Оглавление	>> Движение гироскопа по окружности

[0] Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)

[1]

Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты