Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Введение <<	Оглавление	>> Лоренцевское сокращение

Пусть начало инерциальной системы отсчёта $\textstyle K'$ движется относительно "неподвижной" системы $\textstyle K$ со скоростью $\textstyle {\mathbf v}$ . Время и координаты некоторого события, наблюдаемого из системы $\textstyle K$ , обозначим как $\textstyle (t,\mathbf{r})$ . Это же событие в системе $\textstyle K'$ имеет время и координаты со штрихами $\textstyle (t',\mathbf{r}')$ . Рассмотрим сначала одномерное движение вдоль оси $\textstyle x$ со скоростью $\textstyle v$ . Будем считать, что в момент времени $\textstyle t=t'=0$ начала систем отсчёта совпадают: $\textstyle x=x'=0$ . Чтобы связь между наблюдениями события имела смысл, необходимо согласовать единицы измерения длины и времени в обоих системах отсчёта. Единицы длины можно согласовать при помощи "сравнения линеек" в перпендикулярном к относительной скорости направлении. Такими "линейками" может быть, например, расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно оси $\textstyle x$ .

Постулируется, что координаты $\textstyle y$ и $\textstyle y'$ будут одинаковыми в обоих системах отсчёта: $\textstyle y'=y$ . Единицы времени выбираются в результате соглашения о значении относительной скорости систем отсчёта. В частности, если начало системы $\textstyle K'$ ( $\textstyle x'=0$ ) имеет уравнение движения $\textstyle x=vt$ , то начало $\textstyle K$ ( $\textstyle x=0$ ) относительно системы $\textstyle K'$ , движется следующим образом: $\textstyle x'=-vt'$ . После такого согласования единиц измерения, используя аксиоматику Эйнштейна ^[1] или групповой подход ^[2], ^[3], ^[4], можно получить преобразования Лоренца в следующем виде:

$t'=\gamma\, (t- vx),\;\;\;\;\;\;\;x' = \gamma\, (x- vt),\;\;\;\;\;\;\;y'=y,$

(5)

где $\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}$ — фактор Лоренца.

При движении вдоль оси $\textstyle x$ координатные оси обоих систем отсчёта предполагаются параллельными друг другу. Обратные преобразования получаются перестановкой "штрихованных" и "нештрихованных" величин местами и заменой $\textstyle v\mapsto -v$ .

Пусть теперь относительная скорость $\textstyle \mathbf{v}$ двух систем отсчёта направлена произвольным образом. Фиксирование значений компонент вектора $\textstyle \mathbf{v}=\{v_x,v_y,v_z\}$ (и с обратным знаком для $\textstyle K'$ ), означает также выбор определённой ориентации координатных осей в каждой системе отсчета. Пусть наблюдатели в системе $\textstyle K$ при данном выборе координатных осей получают, например, следующие компоненты относительной скорости: $\textstyle \mathbf{v}=\{0.1,\,0.3,\,0.5\}$ . Тогда наблюдатели в системе $\textstyle K'$ должны выбрать направление координатных осей таким образом, чтобы относительная скорость для них имела компоненты: $\textstyle \mathbf{v}'=\{-0.1,\,-0.3,\,-0.5\}$ . Такая процедура позволяет ориентировать координатные оси систем отсчёта так, чтобы они были в некотором смысле "параллельны" друг другу.

В 3-мерном пространстве компоненты скорости не изменятся, если координатный базис повернуть вокруг вектора $\textstyle \mathbf{v}$ . Поэтому для однозначной фиксации осей, вообще говоря, требуется ещё одно направление. Например, наблюдатели могут согласовать координаты двух параллельных "линеек", расположенных ортогонально к относительной скорости (аналогично, параллельны оси $\textstyle y$ , $\textstyle y'$ и $\textstyle z$ , $\textstyle z'$ при движении вдоль оси $\textstyle x$ ).

Рисунок 3. Согласование единиц измерения двумя системами отсчёта.

Для вывода преобразований Лоренца в векторном виде, радиус-вектор $\textstyle {\mathbf r}$ раскладывается по двум векторам $\textstyle {\mathbf r}={\mathbf r}_{\shortparallel}+{\mathbf r}_{\perp}$ : параллельному к скорости $\textstyle {\mathbf r}_{\shortparallel}=(\mathbf{r}\mathbf{v})\mathbf{v}/v^2$ и перпендикулярному $\textstyle {\mathbf r}_{\perp}$ . Для них выполняются обычные преобразования Лоренца (5):

$t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}_{\shortparallel}),\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf r}'_\shortparallel = \gamma\, ({\mathbf r}_{\shortparallel}-{\mathbf v } t),\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}'_{\perp}={\mathbf r}_{\perp}.$

(6)

Подставляя их в $\textstyle {\mathbf r}'={\mathbf r}'_{\shortparallel}+{\mathbf r}'_{\perp}$ и заменяя $\textstyle {\mathbf r}_{\perp}$ на $\textstyle {\mathbf r}-{\mathbf r}_\shortparallel$ , несложно записать преобразования Лоренца в векторном виде:

$t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}),$

(7)

где кроме фактора $\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}$ , $\textstyle v=|\mathbf{v}|$ введено обозначение для величины $\textstyle \Gamma$ , которая обладает следующими свойствами:

$\Gamma = \frac{\gamma-1}{v^2} = \frac{\gamma^2}{\gamma+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma-\Gamma = \frac{\gamma}{\gamma+1}.$

(8)

Обратные преобразования Лоренца получаются заменой $\textstyle {\mathbf v}\mapsto -{\mathbf v}$ .

Преобразования Лоренца являются пассивными (см. приложение А), т.к. связывают результаты наблюдения одного и того же события относительно различных систем отсчёта. Учитывая процедуру согласования `'параллельности" координатных осей двух систем отсчёта, соотношения (7) можно расписать по компонентам для $\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}$ , $\textstyle \mathbf{r}'=\{x',y',z'\}$ и скорости $\textstyle \mathbf{v}=\{v_x,v_y,v_z\}$ (компоненты которой заданы относительно $\textstyle K$ ). В результате получится связь времени и координат одного и того же события, регистрируемого различными наблюдателями.

Пусть наблюдатели в системе $\textstyle K$ одновременно (по своим часам) фиксируют положение осей системы $\textstyle K'$ . В следующем разделе мы покажем, что эти оси (в общем случае) оказываются не только не параллельными к осям системы $\textstyle K$ , но даже и не являются ортогональным базисом (с точки зрения неподвижных наблюдателей). Поэтому "параллельность" координатных осей в преобразованиях Лоренца (7) необходимо понимать только в том смысле, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения и после этого независимо (по компонентам скорости $\textstyle \mathbf{v}$ ) задали ориентацию координатных осей.

Примчания

↑ Einstein A. — "Zur Elektrodynamik der bewegter Korper", Ann. Phys. 17 pp.891-921 (1905).
↑ von Ignatowsky W. A. — "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit\"atsprinzip", Archiv der Mathematik und Physik, 17. p. 1 ff. (1910). Перевод: http://synset.com
↑ Frank P. and Rothe H. — "\"Ober die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme", Ann. Phys. 34, pp.825-853 (1911). Перевод: http://synset.com
↑ Степанов С. С. — "100 лет без второго постулата Эйнштейна", (2010), http://synset.com

Введение <<	Оглавление	>> Лоренцевское сокращение

[Einst1905-0] Einstein A. — "Zur Elektrodynamik der bewegter Korper", Ann. Phys. 17 pp.891-921 (1905).

[Ignatoskiy1910-1] von Ignatowsky W. A. — "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit\"atsprinzip", Archiv der Mathematik und Physik, 17. p. 1 ff. (1910). Перевод: http://synset.com

[2] Frank P. and Rothe H. — "\"Ober die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme", Ann. Phys. 34, pp.825-853 (1911). Перевод: http://synset.com

[3] Степанов С. С. — "100 лет без второго постулата Эйнштейна", (2010), http://synset.com

[1]

[2]

[3]

[4]

Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты