Прецессия Томаса/Момент импульса и спин

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Движение по окружности стержня <<	Оглавление	>> Прецессия спина и момента импульса

До сих пор мы рассматривали поворот стержня, движущегося по криволинейной траектории. Иногда вектор спина (собственного момента импульса) гироскопа отождествляют с таким стержнем (или осью координат НИСО). Ниже мы покажем, что это, в общем случае, неверно.

Как известно ^[1], в теории относительности момент импульса $\textstyle \mathbf{L}$ точечной частицы не является векторной частью 4-вектора. Чтобы записать преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта, необходимы два вектора:

$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G} = E\,\mathbf{r}-\mathbf{p}\,t,$

(46)

где $\textstyle \mathbf{p}$ — импульс частицы, а $\textstyle E$ — её энергия. Эти векторы являются компонентами антисимметричного тензора

$L^{\alpha\beta}=x^\alpha p^\beta - x^\beta p^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & -G_x & -G_y & -G_z \\ G_x & 0 & L_z & -L_y \\ G_y & -L_z & 0 & L_x \\ G_z & L_y & -L_x & 0 \\ \end{pmatrix},$

(47)

где $\textstyle x^\alpha=\{t,\mathbf{r}\}$ — 4-вектор положения частицы в данный момент времени, а $\textstyle p^\alpha=\{E,\mathbf{p}\}$ — её 4-импульс.

Используя преобразования Лоренца для координат-времени (7) и аналогичные для энергии-импульса:

$E'=\gamma\, (E-{\mathbf v}{\mathbf p}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf p}' = {\mathbf p} - \gamma{\mathbf v} E + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf p}),$

(48)

можно получить преобразования для $\textstyle \mathbf{L}$ и $\textstyle \mathbf{G}$ , которые мы запишем в обращённом виде:

$\mathbf{L}=\gamma\,(\mathbf{L}'-\mathbf{v}\times\mathbf{G}') - \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'),$

(49)

$\mathbf{G}=\gamma\,(\mathbf{G}' +\mathbf{v}\times\mathbf{L}' )- \Gamma \,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{G}').$

(50)

Прямые преобразования получаются перестановкой штрихованных и нештрихованных величин и сменой знака относительной скорости $\textstyle \mathbf{v}\mapsto -\mathbf{v}$ .

Продольные компоненты векторов $\textstyle \mathbf{L}$ и $\textstyle \mathbf{G}$ при преобразованиях Лоренца не изменяются: $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{L}=\mathbf{v}\mathbf{L}'$ , $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{G}=\mathbf{v}\mathbf{G}'$ . Кроме этого, для точечной частицы эти векторы ортогональны в любой системе отсчёта ( $\textstyle \mathbf{L}\mathbf{G}=0$ ).

Суммарная энергия движения, импульс и момент импульса системы частиц определяют суммированием по всем частицам:

$\mathcal{E}=\sum E,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{P}=\sum \mathbf{p} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{L}=\sum \mathbf{r}\times\mathbf{p},$

(51)

где опущены индексы, нумерующие частицы.

В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю ( $\textstyle \mathbf{P}=0$ ), вектор $\textstyle \mathbf{G}$ делённый на суммарную энергию $\textstyle \mathcal{E}$ имеет смысл центра энергии системы ^[1] (в нерелятивистском случае центра масс):

$\mathbf{R}=\frac{\sum E\mathbf{r}}{\sum E} \approx \frac{\sum m\mathbf{r}}{\sum m},$

(52)

где приближенное равенство записано в нерелятивистском пределе, в котором энергия частицы $\textstyle E$ приблизительно равна её массе $\textstyle m$ .

Для системы частиц вводится также 4-вектор собственного момента импульса системы или классического (не квантового) спина ^[2]:

$S_\nu = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}\,L^{\alpha\beta}\,U^\gamma,$

(53)

где $\textstyle \varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}$ — символ Леви-Чевиты, а $\textstyle U^\alpha$ — суммарная 4-скорость системы частиц, определяемая при помощи суммарного 4-импульса $\textstyle P^\alpha=\{\mathcal{E},\mathbf{P}\}$ :

$U^\alpha=\frac{P^\alpha}{M}= \{U^0,\mathbf{U}\}=\frac{\{1,\mathbf{u}\}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},$

(54)

где $\textstyle \mathbf{u}$ — 3-мерный вектор "суммарной скорости", а $\textstyle M=\sqrt{\mathcal{E}^2-\mathbf{P}^2}$ — масса системы частиц (без учёта энергии их взаимодействия). Мы используем сигнатуру $\textstyle g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ и $\textstyle \varepsilon_{0123}=1$ .

Физический смысл классического спина становится ясным, если его определение (53) записать в 3-мерных обозначениях $\textstyle S^\alpha=\{S^0,\,\mathbf{S}\}$ . Оказывается, что 3-вектор спина $\textstyle \mathbf{S}$ пропорционален разнице полного момента импульса $\textstyle \mathbf{L}$ и момента суммарного импульса $\textstyle \mathbf{P}$ к радиус-вектору центра энергии системы $\textstyle \mathbf{R}$ :

$\mathbf{S} = \frac{\mathcal{E}}{M} \,(\mathbf{L} - \mathbf{R}\times \mathbf{P}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S^0 = \mathbf{u}\mathbf{S}.$

(55)

Таким образом, спин имеет смысл собственного момента импульса и равен разнице полного момента импульса и момента движения системы как целого. В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю, 3-мерный вектор спина совпадает с моментом импульса $\textstyle \mathbf{S}=\mathbf{L}$ .

В силу антисимметричности символа Леви-Чевиты, произведение спина на 4-вектор скорости в любой системе отсчёта равно нулю:

$S\cdot U = S_\alpha U^\alpha = 0.$

(56)

Поэтому в системе покоя $\textstyle U^\alpha=\{1,\mathbf{0}\}$ спин обладает только векторными компонентами $\textstyle S^\alpha=\{0,\mathbf{S}\}$ .

Для точечной частицы $\textstyle \mathbf{L}=\mathbf{R}\times \mathbf{P}$ , поэтому всегда $\textstyle \mathbf{S}=\mathbf{0}$ . В случае системы частиц, суммарный момент импульса непропорционален суммарному импульсу (51), и спин, в общем случае, не равен нулю.

Примчания

↑ ^1,0 ^1,1 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. — "Теоретическая физика. Теория поля", Т.2, М.:Наука (1988)
↑ Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)

Движение по окружности стержня <<	Оглавление	>> Прецессия спина и момента импульса

[Landau-0] 1,0 ^1,1 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. — "Теоретическая физика. Теория поля", Т.2, М.:Наука (1988)

[1] Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)

[1]

[2]

Прецессия Томаса/Момент импульса и спин

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты