Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Уравнение для стержня

Из преобразований Лоренца следует, что если одновременно зафиксировать положение всех точек движущегося объекта, то он будет выглядеть сжатым в направлении движения. Например, квадрат (в собственной системе отсчета), движущийся со скоростью $\textstyle \mathbf{v}$ в плоскости $\textstyle (x,y)$ вдоль одной из граней, будет короче в $\textstyle \gamma$ раз (рисунки 4a, 4b). Если же квадрат движется под углом 45 градусов, то его диагональ вдоль направления движения будет сокращаться, а вторая диагональ — нет. Результат изображён на рисунке 4c.

Представим, что стороны квадрата — это координатные оси $\textstyle (x',y')$ движущейся системы отсчёта. Тогда, при произвольном направлении её скорости, эти оси будут не ортогональны друг другу и некоторым образом повёрнуты относительно неподвижной системы отсчёта.

Рисунок 4. Движение квадрата со скоростью $\textstyle v=0.8$ в различных направлениях. Пунктир — координатная сетка неподвижной системы.

На рисунке 5a изображены координатные оси восьми систем отсчёта и стрелками указаны направления их скорости. Хотя системы расположены по окружности, это ещё не томасовская прецессия, так как каждая система отсчёта движется прямолинейно с постоянной скоростью в указанном стрелкой направлении, а не вдоль окружности.

Рисунок 5. Координатные оси систем отсчёта, имеющих одинаковый модуль скорости $\textstyle v=0.8$ и разное направление (левый рисунок). Правый рисунок определяет три угла осей движущейся системы отсчёта относительно неподвижной: $\textstyle \alpha=\alpha_x+\alpha_y+\pi/2$ .

Задавая координаты $\textstyle \mathbf{r}'$ точек в системе отсчёта $\textstyle K'$ , связанной с телом, при помощи преобразований Лоренца можно получить координаты точек $\textstyle \mathbf{r}$ в неподвижной системе $\textstyle K$ . Нас интересует мгновенная форма движущегося тела в момент времени $\textstyle t$ в системе $\textstyle K$ . Поэтому необходимо так переписать преобразования Лоренца, чтобы радиус-вектор $\textstyle \mathbf{r}$ зависел от $\textstyle t$ и $\textstyle \mathbf{r}'$ . Для этого запишем обратные преобразования Лоренца ( $\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}$ ):

$t=\gamma\, (t'+{\mathbf v}{\mathbf r}'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r} = {\mathbf r}' + \gamma{\mathbf v} t' + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}')$

(9)

и исключим из них время $\textstyle t'$ :

$\mathbf{r}=\mathbf{v}t + \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}').$

(10)

Это соотношение позволяет вычислять положение точек движущегося тела в данный момент времени $\textstyle t$ в системе $\textstyle K$ .

Первое слагаемое $\textstyle \mathbf{v}t$ в (10) указывает на то, что все точки движутся параллельно с постоянной скоростью $\textstyle \mathbf{v}$ . Когда $\textstyle t=0$ , начала систем отсчёта совпадают и форма движущегося тела определяется вторым и третьим слагаемыми (10). При $\textstyle t=0$ , из (10) следует, что:

$\mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\mathbf{r}'/\gamma,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}^2 = \mathbf{r}'^2 - (\mathbf{v}\mathbf{r}')^2,$

(11)

т.е. продольные размеры испытывают лоренцевское сокращение, а поперечные (если $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}'=0$ ) остаются неизменными. Рассмотрим две фиксированные точки тела. Для радиус-векторов к каждой из них запишем соотношение (10). Их скалярное произведение в двух системах отсчёта связаны следующим образом:

$\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2 = \mathbf{r}'_1\mathbf{r}'_2 - (\mathbf{v}\mathbf{r}'_1)(\mathbf{v}\mathbf{r}'_2).$

(12)

Пусть движение происходит в плоскости $\textstyle (x,y)$ . Выберем одну точку на оси $\textstyle x'$ , а вторую — на оси $\textstyle y'$ (см. рис.5b). В системе $\textstyle K'$ их координаты равны: $\textstyle \mathbf{r}'_1=\{1,0\}$ , $\textstyle \mathbf{r}'_2=\{0,1\}$ . Координаты $\textstyle \mathbf{r}_i=\{x_i,\;y_i\}$ этих же точек в неподвижной системе отсчёта получаются из уравнения (10):

$x_1 = 1 - \frac{\gamma v^2_x}{\gamma+1},\;\;\;\;y_1 = - \frac{\gamma v_xv_y}{\gamma+1};\;\;\;\;\;\;\; x_2 = - \frac{\gamma v_xv_y}{\gamma+1},\;\;\;\;y_2 = 1 - \frac{\gamma v^2_y}{\gamma+1},$

(13)

где $\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}=1/\sqrt{1-v^2_x-v^2_y}$ . В результате синус угла $\textstyle \alpha_x$ между осями $\textstyle x'$ и $\textstyle x$ и аналогично для $\textstyle \alpha_y$ между осями $\textstyle y'$ и $\textstyle y$ (см. рис.5b) равны:

$\sin\alpha_x=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,\frac{v_xv_y}{\sqrt{1-v^2_x}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\alpha_y=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,\frac{v_xv_y}{\sqrt{1-v^2_y}},$

(14)

где модули $\textstyle \mathbf{r}_1$ и $\textstyle \mathbf{r}_2$ найдены при помощи второго соотношения (11).

Косинус угла между осями движущейся системы отсчёта находится из соотношения (12):

$\cos\alpha=-\frac{v_xv_y}{\sqrt{(1-v^2_x)(1-v^2_y)}}.$

(15)

Таким образом, координатные оси системы $\textstyle K'$ будут ортогональными для наблюдателей в $\textstyle K$ , только если одна из компонент скорости равна нулю. Это происходит при движении вдоль координатной оси.

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Уравнение для стержня

Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты