Прецессия Томаса/Движение спина во внешнем поле

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Заключение

До сих пор мы рассматривали прецессию Томаса как кинематическую задачу. В реальности, чтобы НИСО двигалась с ускорением, необходимо силовое поле или другой способ изменения скорости изучаемого объекта. Наблюдение за поворотом и изменением длины движущегося с ускорением стержня является очень непростой задачей. Поэтому мы ограничимся обсуждением движения классического спина во внешних полях.

Экспериментально наиболее доступны две физические ситуации: 1) микрочастица (электрон, протон, атомное ядро) движется во внешнем электромагнитном поле; 2) макроскопический гироскоп движется по орбите вокруг Земли. В обоих ситуациях спин объекта изменяется, как в результате кинематического эффекта Томаса, так и в силу динамических причин.

Проще всего кинематика и динамика разделяются при движении спина в электромагнитном поле. В этом случае поведение классического спина удовлетворяет уравнению Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) ^[1]. Пусть в системе покоя частицы изменение спина, находящегося в магнитном поле, удовлетворяет уравнению Лармора (ларморовская прецессия):

$\frac{d\mathbf{S}}{dt} = \frac{gQ}{2m}\, \mathbf{S}\times \mathbf{B},$

(97)

где $\textstyle Q$ , $\textstyle m$ — заряд и масса частицы, а $\textstyle g$ — гиромагнитный фактор (для электрона $\textstyle Q=-e$ , $\textstyle g\approx 2$ ). Кроме этого, пусть производная 4-вектора спина по собственному времени частицы $\textstyle d\tau=dt\sqrt{1-\mathbf{v}^2}$ линейна по тензору электромагнитного поля $\textstyle \mathrm{F}\equiv F^{\alpha\beta}$ и спину $\textstyle \mathrm{S}\equiv S^\alpha$ . Кроме этого производная спина может зависеть от 4-скорости $\textstyle \mathrm{V}$ :

$\frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \alpha_1\,\mathrm{S}+\alpha_2\,\mathrm{V}+\alpha_3\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{S} +\alpha_4\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}+\alpha_5\,(\mathrm{S}\cdot\mathrm{F}\cdot\mathrm{V})\,\mathrm{V},$

(98)

где $\textstyle \alpha_i$ — некоторые константы. Предполагается также, что на частицу действует сила Лоренца:

$\mathrm{A} = \frac{d\mathrm{V}}{d\tau} = \frac{Q}{m}\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}.$

(99)

Производная условия ортогональности 4-спина и 4-скорости $\textstyle \mathrm{S}\cdot\mathrm{V}=0$ с учётом уравнений (98), (99) даёт $\textstyle \alpha_2=0$ , $\textstyle \alpha_5=\alpha_3-Q/m$ . Уравнение Лармора (97) в системе покоя частицы ( $\textstyle \mathrm{V}=\{1,\mathbf{0}\}$ ) позволяет найти оставшиеся коэффициенты: $\textstyle \alpha_1=\alpha_4=0$ , $\textstyle \alpha_3=gQ/2m$ .

В результате получается BMT уравнение:

$\frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \frac{gQ}{2m}\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{S} -\bigl(1-\frac{g}{2}\Bigr)\, (\mathrm{A}\cdot\mathrm{S})\,\mathrm{V},$

(100)

где 4-ускорение $\textstyle \mathrm{A}$ определяется силой Лоренца (99). Запишем BMT уравнение в 3-мерных обозначениях. Учитывая, что $\textstyle \mathrm{F}\cdot\mathrm{S}=\{\mathbf{E}\mathbf{S},\;S^0\mathbf{E}+\mathbf{S}\times\mathbf{B}\}$ , где $\textstyle \mathbf{E}$ и $\textstyle \mathbf{B}$ — электрическое и магнитное поле, имеем

$\frac{d\mathbf{S}}{dt} =\frac{gQ}{2m \gamma}\, \Bigl((\mathbf{v}\mathbf{S})\,\mathbf{E} +\mathbf{S}\times\mathbf{B}\Bigr)+\bigl(1-\frac{g}{2}\Bigr)\,\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S})\,\mathbf{v}.$

(101)

Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует ( $\textstyle g=0$ ), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из (101) следует уравнение (69). На самом деле частицы, имеющие заряд и спин, но не имеющие магнитного момента, неизвестны. Однако, например, ядро урана $\textstyle \,^{235}_{92}U$ имеет достаточно малый g-фактор ( $\textstyle g=-0.26$ ), что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона. Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.

При движении в однородном магнитном поле модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен:

$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{Q}{m\gamma}\,[\mathbf{v}\times\mathbf{B}] = \omega [\mathbf{v}\times\mathbf{n}],$

(102)

где $\textstyle \mathbf{n}$ — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота $\textstyle \omega=QB/m\gamma$ , в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Из (101), (102) следует, что при движении по окружности в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, выполняются уравнения аналогичные (82):

$\frac{d(\mathbf{v}\mathbf{S})}{dt} = -\gamma^2 \,\frac{g-2}{2}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d(\mathbf{a}\mathbf{S})}{dt} = \omega^2 \,\frac{g-2}{2}\,(\mathbf{v}\mathbf{S}).$

(103)

Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают осцилляторные колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:

$\omega_a = \frac{g-2}{2}\,\gamma\,\omega =\frac{g-2}{2}\,\frac{QB}{m}.$

(104)

Для электрона $\textstyle g\approx 2$ и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением $\textstyle g$ -фактора от двойки. Это позволяет измерять аномальные магнитные моменты ^[2].

Заметим, что иногда (см., например, ^[3] ) уравнение (101) записывается не для спина $\textstyle \mathbf{S}$ , измеряемого в лабораторной системе отсчёта, а для спина в системе покоя частицы $\textstyle \mathbf{S}'$ . Для этого берётся производная по времени лабораторной системы от преобразования (64):

$\mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}').$

(105)

Учитывая уравнение (69), справедливое для частицы без магнитного момента ( $\textstyle g=0$ , спиновая кинематика), получаем:

$\frac{d\mathbf{S}'}{dt} + \Gamma\, \mathbf{v}\,\Bigl(\mathbf{v}\frac{d\mathbf{S}'}{dt}\Bigr) = \gamma\Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}') - \Gamma\,\mathbf{a}\,(\mathbf{v}\mathbf{S}') - \Gamma^2\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})(\mathbf{v}\mathbf{S}').$

(106)

Умножим обе части уравнения на скорость $\textstyle \mathbf{v}$ :

$\mathbf{v}\frac{d\mathbf{S}'}{dt} = \Gamma v^2 (\mathbf{a}\mathbf{S}') - \Gamma\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\,(\mathbf{v}\mathbf{S}').$

(107)

Используя это соотношение, уравнение (106) можно переписать в следующем виде:

$\frac{d\mathbf{S}'}{dt} = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1} \,[\mathbf{v}\times\mathbf{a}]\times\mathbf{S}'.$

(108)

Для сравнения с \cite{Landau4} необходимо иметь ввиду, что сила Лоренца для релятивистской частицы с импульсом $\textstyle \mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}$ приводит к следующему 3-мерному ускорению $\textstyle \mathbf{a}$ :

$m\gamma \mathbf{a} = Q(\mathbf{E}+ \mathbf{v}\times\mathbf{B}) - Q \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{E}),$

(109)

а $\textstyle \mathbf{S}'$ в обозначениях \cite{Landau4} — это $\textstyle \boldsymbol{\zeta}$ .

Уравнение (108) совпадает с уравнением Томаса (3). Однако уравнение (108), как и (3), имеет специфический смысл. Все величины в нём (за исключением спина) относятся к лабораторной системе отсчёта. Спин же $\textstyle \mathbf{S}'$ измеряется наблюдателями в сопутствующей к частице системе отсчёта. Поэтому фактически (108), как и (3), не являются уравнениями прецессии ни относительно лабораторной системы отсчёта, ни относительно сопутствующей.

Примчания

↑ Bargmann V., Michel L. Telegdi V. L. — "Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field", Phys.Rev.Lett. 2, 435-436 (1959)
↑ Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. — "Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными лептонами", УФН 127, 4, c.553-598 (1979).
↑ Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. — "Квантовая электродинамика", М.: Наука, 179-186, (1989)

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Заключение

[0] Bargmann V., Michel L. Telegdi V. L. — "Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field", Phys.Rev.Lett. 2, 435-436 (1959)

[1] Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. — "Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными лептонами", УФН 127, 4, c.553-598 (1979).

[Landau4-2] Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. — "Квантовая электродинамика", М.: Наука, 179-186, (1989)

[1]

[2]

[3]

Прецессия Томаса/Движение спина во внешнем поле

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты