Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня

Материал из Synset

Версия для печати: pdf

Неинерциальные системы отсчёта <<	Оглавление	>> Момент импульса и спин

Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта $\textstyle K'$ по окружности радиуса $\textstyle R$ с постоянной по модулю скоростью $\textstyle v$ . При периоде обращения $\textstyle T$ скорость равна $\textstyle v=2\pi R/T=\omega R$ , где $\textstyle \omega$ — круговая частота. Модуль ускорения равен $\textstyle a=v^2/R=\omega v$ .

Рисунок 8. Вращение стержня по окружности. На центральном рисунке, горизонтальный при $\textstyle t=0$ , стержень после оборота по окружности ( $\textstyle t=T$ ) повернётся и станет короче. На последнем рисунке этот же стержень при $\textstyle t=0$ расположен вертикально и после оборота удлиняется.

При равномерном движении по окружности ускорение всегда перпендикулярно скорости ( $\textstyle \mathbf{a}\mathbf{v}=0$ ), и справедливы следующие соотношения:

$\mathbf{a} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{v}],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d\mathbf{a}}{dt} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{a}] =-\omega^2\,\mathbf{v},$

(33)

где $\textstyle \mathbf{n}$ — постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты.

При помощи этих соотношений и уравнения (25):

$\frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}$

(34)

несложно получить следующие уравнения:

$\frac{d(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt} = \mathbf{a}\mathbf{s}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt} = -\omega^2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{s}).$

(35)

По-отдельности величины $\textstyle \mathbf{v}\mathbf{s}$ и $\textstyle \mathbf{a}\mathbf{s}$ удовлетворяют уравнениям:

$\frac{d^2(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s}) = 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d^2(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{s}) = 0.$

(36)

Поэтому решения (34) при движении по окружности имеют вид:

$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{v}\mathbf{s} = (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t)+\frac{\displaystyle(\mathbf{a}\mathbf{s})_0}{\displaystyle \omega\gamma}\,\sin(\omega\gamma t),\\[4mm] \mathbf{a}\mathbf{s} = (\mathbf{a}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t) - (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\omega \gamma\,\sin(\omega\gamma t), \end{array} \right.$

(37)

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярных произведений в момент времени $\textstyle t=0$ , а значение производных при $\textstyle t=0$ записано при помощи уравнений (35).

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах $\textstyle \mathbf{v}$ , $\textstyle \mathbf{a}$ , конец стержня вращается с угловой скоростью $\textstyle \omega\gamma$ .

Найдём зависимость координат конца стержня $\textstyle \mathbf{s}=\{s_x,s_y\}$ относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть движение по окружности происходит против часовой стрелки. Координаты начала стержня при этом равны: $\textstyle \{x,y\}=R\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}$ . Поэтому компоненты скорости и ускорения имеют вид:

$\mathbf{v} = R\omega\,\{-\sin(\omega t),\;\cos(\omega t)\},\;\;\;\;\;\;\mathbf{a} = -R\omega^2\,\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}.$

(38)

В момент времени $\textstyle t=0$ имеем $\textstyle \mathbf{v}_0=R\omega\,\{0,1\}$ , $\textstyle \mathbf{a}_0=-R\omega^2\,\{1,0\}$ , поэтому $\textstyle (\mathbf{v}\mathbf{s})_0=R\omega s_{y0}$ , $\textstyle (\mathbf{a}\mathbf{s})_0=-R\omega^2 s_{x0}$ и решения (37) приводят к системе:

$\left\{ \begin{array}{l} s_x\cos(\omega t) + s_y\sin(\omega t) = s_{x0}\cos(\omega\gamma t) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(\omega\gamma t)\\ -s_x\sin(\omega t) + s_y\cos(\omega t) = s_{y0}\cos(\omega\gamma t) - (s_{x0}/\gamma)\sin(\omega\gamma t).\\ \end{array} \right.$

(39)

Сумма квадратов уравнений даёт квадрат длины стержня $\textstyle l^2=s_x^2+s_y^2$ . Если угол с осью $\textstyle x$ при $\textstyle t=0$ равен $\textstyle \phi_0$ и $\textstyle s_{x0}=\bar{l}_0c_0$ , $\textstyle s_{y0}=\bar{l}_0s_0$ , то:

$\frac{l^2}{\bar{l}^2_0} = 1 + \gamma v^2\, s_0c_0\sin(2\omega\gamma t)+\frac{v^2}{2}\,(\gamma^2s^2_0-c^2_0)(1-\cos(2\omega\gamma t)),$

(40)

где $\textstyle s_0=\sin\phi_0$ , $\textstyle c_0=\cos\phi_0$ .

При помощи соотношения (11), можно найти связь начальной длины стержня $\textstyle \bar{l}_0$ в неподвижной системе с собственной длинной стержня $\textstyle l_0$ :

$\bar{l}_0 = \frac{l_0}{\sqrt{1+(\gamma^2-1)\sin^2\phi_0}}.$

(41)

Длина восстанавливается ( $\textstyle l=\bar{l}_0$ ) в моменты времени $\textstyle \omega t = \pi k/\gamma$ , где $\textstyle k=1, 2,....$ Если $\textstyle \tan\phi_0=s_{y0}/s_{x0}$ — начальная ориентация стержня, то через время $\textstyle \omega t=\pi/\gamma$ его угол $\textstyle \phi$ будет таким, что $\textstyle \tan (\phi-\pi/\gamma)=\tan\phi_0$ , или $\textstyle \phi-\phi_0=-\pi k+\pi/\gamma$ . Начало стержня движется против часовой стрелки. При этом стержень поворачивается по часовой стрелке, поэтому $\textstyle \phi-\phi_0$ отрицательно, и необходимо выбрать $\textstyle k=1$ . Таким образом, минимальный угол поворота, при котором длина стержня восстанавливается, по модулю равен:

$|\Delta \phi| = \frac{\gamma-1}{\gamma} \,\pi.$

(42)

Если $\textstyle \gamma$ — рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный $\textstyle n$ -угольник. При этом $\textstyle (\gamma-1)/\gamma$ равно несократимой дроби $\textstyle 2k/n$ .

После $\textstyle m$ оборотов по окружности ( $\textstyle \omega t = 2\pi m$ ) координаты конца стержня будут равны:

$\left\{ \begin{array}{l} s_x = s_{x0}\cos(2\pi m\gamma ) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(2\pi m\gamma )\\ s_y = s_{y0}\cos(2\pi m \gamma ) - (s_{x0}/\gamma)\sin(2\pi m\gamma ).\\ \end{array} \right.$

(43)

При малых скоростях $\textstyle \gamma \approx 1+ v^2/2$ , поэтому:

$\left\{ \begin{array}{l} s_x \approx s_{x0} + s_{y0}\,\pi m v^2\\ s_y \approx s_{y0} - s_{x0}\,\pi m v^2.\\ \end{array} \right.$

(44)

Таким образом, после каждого оборота по окружности ( $\textstyle m=1$ ) стержень поворачивается на малый угол $\textstyle \pi v^2$ .

К такому же результату при малых скоростях приводит и формула Томаса (3), для которой $\textstyle d\phi\approx va dt/2=\pi v^2 dt/T$ . Подобное совпадение решений уравнений (3) и (25) происходит только при малых скоростях и в случае равномерного движения по окружности.

Если же скорости большие, то угол поворота зависит от начальной ориентации стержня (начинает сказываться лоренцевское сокращение длины). При одном обороте по окружности ( $\textstyle m=1$ ), стержень повернётся на угол $\textstyle \phi_1$ , где $\textstyle \tan\phi_1=s_y/s_x$ :

$\tan(\phi_1-\phi_0) =-\tan(2\pi \gamma) \, \frac{1-v^2 + \tan^2\phi_0}{v^2 \tan\phi_0\tan(2\pi \gamma)+1/(\gamma\cos^2\phi_0)}.$

(45)

В ультрарелятивистском случае $\textstyle v\sim 1$ , множество раз повернувшись, стержень отклонится от первоначального положения на угол $\textstyle k\pi$ для целых и полуцелых $\textstyle \gamma=k/2$ и на $\textstyle k\pi -\phi_0$ в остальных случаях.

На рисунках 9 - 12 изображены траектории конца стержня относительно его начала (расположенного в центре графика) при различной скорости движения по окружности. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка — это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа.

Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращении по окружности. Если начало стержня движется против часовой стрелки, то его конец — по часовой. Горизонтальный стержень ( $\textstyle \phi_0=0$ ) при изменении скорости сначала укорачивается, а вертикальный ( $\textstyle \phi_0=\pi/2$ ), наоборот, начинает с удлинения, так как длина минимальна, когда стержень направлен по скорости. На рисунке 10 приведен пример иррационального значения $\textstyle \gamma$ . Конец стержня при движении постепенно заполняет на плоскости кольцо с радиусами $\textstyle l_0/\gamma$ и $\textstyle l_0$ , где $\textstyle l_0$ — собственная длина стержня.

Рисунок 9. $\textstyle v=4/5=0.8$ , $\textstyle \gamma=5/3=1.667$ ; $\textstyle \phi_0=0$ .

Рисунок 10. $\textstyle v=0.75$ , $\textstyle \gamma=1.512$ ; $\textstyle \phi_0=0$ .

Рисунок 11. $\textstyle v=0.866$ , $\textstyle \gamma=2$ ; $\textstyle \phi_0=0$ .

Рисунок 12. $\textstyle v=0.901$ , $\textstyle \gamma=23/10=2.3$ ; $\textstyle \phi_0=0$ .

Неинерциальные системы отсчёта <<	Оглавление	>> Момент импульса и спин

Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты