Потенциалы поля

Материал из Synset

Законы сохранения <<	Оглавление (Глава 5)	>> Дипольное излучение

$\textstyle \bullet$ Уравнения Максвелла состоят из двух пар уравнений. Одна пара (закон Гаусса для магнитного поля и закон Фарадея) не зависит от плотности заряда и тока. Поэтому возможно сразу построить решение этих уравнений. Начнём с закона Гаусса. Так как дивергенция ротора равна нулю, из равенства нулю дивергенции магнитного поля следует:

$\nabla \mathbf{B} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;<=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},$

где $\textstyle \mathbf{A}$ называется векторным потенциалом. Заметим, что стрелка следования направлена в обе стороны. Следование справа налево проверяется просто ( $\textstyle \nabla[\nabla\times\mathbf{A}]=[\nabla\times\nabla]\mathbf{A}$ =0). Обратное следование требует, вообще говоря, убывания полей на бесконечности \cite{StepanovVec}.

Возьмём ещё одно уравнение Максвелла, в котором нет зарядов (закон электромагнитной индукции Фарадея). При помощи векторного потенциала его можно переписать в следующем виде:

$\nabla\times \mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \;=\; \nabla\times \Bigl(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\Bigr) = 0.$

Аналогично дивергенции, если ротор некоторого векторного поля равен нулю, то это поле выражается через градиент скалярной функции. В одну сторону это утверждение доказывается элементарно. Можно показать, что оно справедливо и в обратную сторону \cite{StepanovVec}. Таким образом, решение двух уравнений Максвелла для дивергенции магнитного поля и ротора электрического поля выражается через четыре функции: скалярный потенциал $\textstyle \mathbf{\varphi}$ и три компоненты векторного потенциала $\textstyle \mathbf{A}$ :

$\mathbf{E}=-\nabla\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.$

(EQN)

Решения для электрического и магнитного поля, выраженные через скалярный и векторный потенциалы, можно подставить в оставшуюся пару уравнений $\textstyle \nabla\mathbf{E}=4\pi\rho$ и $\textstyle \nabla\times\mathbf{B}=4\pi\mathbf{j}+\partial\mathbf{E}/\partial t$ :

$\partial^2\,\varphi - \frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A}\Bigl) = 4\pi\rho,\;\;\;\;\;\; \partial^2\,\mathbf{A} + \nabla \Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A}\Bigl) = 4\pi\mathbf{j},$

(EQN)

где $\textstyle \partial^2$ — дифференциальный оператор Д'Аламбера:

$\partial^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta,$

а $\textstyle \Delta=\nabla^2$ - как обычно, оператор Лапласа. Уравнения () вместе с определениями () эквивалентны исходным уравнениям Максвелла.

$\textstyle \bullet$ Введенные выше потенциалы определены неоднозначно. Точнее, если провести следующие замены:

$\mathbf{A}\mapsto \mathbf{A}+\nabla f,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi\mapsto \varphi - \frac{\partial f}{\partial t},$

где $\textstyle f$ - произвольная функция координат и времени, то значения электрического и магнитного полей () не изменятся. Проверим это для напряжённости электрического поля:

$\mathbf{E} =-\nabla\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \;\;\;\mapsto \;\;\; -\nabla\left(\varphi - \frac{\partial f}{\partial t}\right)- \frac{\partial }{\partial t}\left(\mathbf{A} + \frac{\nabla f}{\partial t} \right) = \mathbf{E},$

где учтено, что частные производные по времени и координатам ( $\textstyle \nabla$ ) могут быть переставлены местами. Подобная неоднозначность позволяет наложить на потенциалы дополнительное условие:

$\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A} = 0,$

(EQN)

которое называется калибровкой Лоренца. Разберёмся, почему это можно сделать. Предположим, что данному электрическому и магнитному полю соответствуют потенциалы, которые не удовлетворяют этому условию. Точнее, в правой части калибровочного условия оказывается не ноль, а некоторая функция $\textstyle g=g(\mathbf{r}, t)$ . Тогда, проведя замены потенциалов, при помощи функции $\textstyle f$ , которая удовлетворяет уравнению $\textstyle \partial^2 f = g$ , можно добиться равенства нулю калибровочного условия Лоренца:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\varphi- \frac{\partial f}{\partial t}\right) + \nabla(\mathbf{A}+\nabla f) = \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A} - \partial^2 f = g - \partial^2 f = 0.$

Итак, без нарушения общности можно считать, что выполняется (). В этом случае уравнения для потенциалов принимают простой вид:

$\partial^2\,\varphi = 4\pi\rho,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial^2\,\mathbf{A} = 4\pi\mathbf{j}.$

(EQN)

В отсутствие зарядов ( $\textstyle \rho=0$ , $\textstyle \mathbf{j}=0$ ) эти уравнения становятся волновыми уравнениями для скалярной $\textstyle \varphi$ и векторной $\textstyle \mathbf{A}$ функций.

Если ввести 4-векторы потенциала $\textstyle A^\alpha=\{\varphi,\;\mathbf{A}\}$ и тока $\textstyle j^\alpha=\{\rho,\;\mathbf{j}\}$ , то эти два уравнения можно записать, как одно:

$\partial^2\, A^\alpha = 4\pi j^\alpha.$

(EQN)

Естественно, уравнений на самом деле 4, так как их необходимо расписывать отдельно для каждой компоненты $\textstyle \nu=0,1,2,3$ .

$\textstyle \bullet$ Выясним, как преобразуются потенциалы поля при смене инерциальной системы отсчёта. Для этого нам потребуется закон преобразования для производных. Рассмотрим функцию $\textstyle f=f(t,\mathbf{r})$ координат и времени некоторого события, наблюдаемого из системы $\textstyle S$ . В силу преобразований Лоренца она также зависит от координат и времени этого же события в системе $\textstyle S'$ . Поэтому $\textstyle f=f\bigl(t(t',\mathbf{r}'),\mathbf{r}(t',\mathbf{r}')\bigr)$ . Возьмём производные, как производные сложной функции ( $\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}=\{x_1,x_2,x_3\}$ ):

$\frac{\partial f}{\partial t'} = \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial t'}+\frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial t'}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial x'_i} = \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x'_i}+\frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial x'_i}.$

По индексу $\textstyle j$ компонент радиус-вектора $\textstyle x_j$ подразумевается суммирование от 1 до 3. Записав обратное преобразование Лоренца (см. (), стр. \pageref{elect_lorenz_vec0}, с $\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}$ ):

$t=\gamma\, (t'+{\mathbf v}{\mathbf r}'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf r} = {\mathbf r}' + \gamma{\mathbf v} t' + \Gamma\,{\mathbf v} ({\mathbf v}{\mathbf r}'),$

несложно найти соответствующие производные:

$\frac{\partial t}{\partial t'}=\gamma,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial x_i}{\partial t'}=\frac{\partial t}{\partial x'_i}=\gamma v_i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial x_j}{\partial x'_i}=\delta_{ij}+\Gamma\,v_i v_j,$

где $\textstyle \delta_{ij}$ — символ Кронекера. Обозначим производную по времени, как $\textstyle \partial_0=\partial/\partial t$ , а для производной по координатам в векторном виде будем использовать знак наблы $\textstyle \nabla_i=\partial/\partial x_i$ . Опуская функцию $\textstyle f$ , запишем преобразование производных в операторном виде:

$\partial'_0 = \gamma\, (\partial_0 + \mathbf{v}\mathbf{\nabla}),\;\;\;\;\;\; \nabla' = \nabla + \gamma{\mathbf v}\, \partial_0 + \Gamma\,{\mathbf v} ({\mathbf v}\nabla).$

(EQN)

Обратим внимание, что, в отличие от прямых преобразований Лоренца, эти преобразования выглядят, как обратные, хотя в правой части стоят штрихованные величины, а в левой не — штрихованные. Как мы видели во второй главе, такое преобразование характерно для 4-ковекторов. Поэтому оператор производной является ковектором:

$\partial_\alpha = \frac{\partial}{\partial x^\alpha} = \left\{\frac{\partial}{\partial t},\;\nabla \right\},$

где в ковариантных обозначениях компоненты 4-вектора события обозначены, как $\textstyle x^\alpha=\{t,\mathbf{r}\}$ . Напомним, что у 4-вектора индекс находится всегда вверху, а у 4-ковектора — внизу. Для запоминания можно считать, что при взятии производной $\textstyle \partial/\partial x^\alpha$ индекс $\textstyle \alpha$ лишь "перебирается" через знак дроби, оставаясь внизу так, что получившийся оператор является 4-ковектором $\textstyle \partial_\alpha$ с индексом внизу.

Замечательным свойством потенциалов является то, что они преобразуются, как компоненты 4-вектора $\textstyle A^\nu=\{\varphi,\;\mathbf{A}\}$ :

$\varphi' = \gamma \,(\varphi - \mathbf{v}\mathbf{A}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf A}' = {\mathbf A} - \gamma{\mathbf v}\, \varphi + \Gamma\,{\mathbf v}({\mathbf v}{\mathbf A}).$

(EQN)

Используя преобразования для полей (),(), стр.\pageref{H_to_Hp}, это несложно проверить. Так, например, перемножая векторно () и (), имеем:

$\mathbf{B}'=\nabla'\times\mathbf{A}'= \nabla\times{\mathbf A} + \gamma{\mathbf v}\times (\nabla\phi +\partial_0{\mathbf A}) +\Gamma\,\{ ({\mathbf v}\nabla){\mathbf v}\times{\mathbf A}-{\mathbf v}\times\nabla({\mathbf v}{\mathbf A})\}.$

Учитывая тождество: $\textstyle \mathbf{v}\times[\mathbf{v}\times[\nabla\times\mathbf{A}]]=[\mathbf{v}\times\nabla](\mathbf{v}\mathbf{A})-(\mathbf{v}\nabla)[\mathbf{v}\times\mathbf{A}],$ получаемое раскрытием двойного векторного произведения $\textstyle \mathbf{v}\times[\nabla\times\mathbf{A}]$ , и связь электрического и магнитного поля с потенциалами, приходим к преобразованию для магнитного поля ():

$\mathbf{B}'={\mathbf B} - \gamma{\mathbf v}\times{\mathbf E}-\Gamma\, [\mathbf{v}\times[\mathbf{v}\times\mathbf{B}]] = \gamma\,(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times\mathbf{E})-\Gamma\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{B}).$

Аналогичные, чуть более громоздкие выкладки с учётом $\textstyle \gamma^2-\gamma\Gamma=\Gamma$ приводят к преобразованиям для электрического поля ().

В качестве упражнения стоит проверить, что калибровка Лоренца () имеет одинаковый вид во всех системах отсчёта. В ковариантных обозначениях уравнение калибровки является свёрткой 4-вектора $\textstyle A^\alpha$ и 4-ковектора $\textstyle \partial_\alpha$ :

$\partial_\alpha A^\alpha = \partial_0 A^0+\partial_i A^i = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A} = 0,$

где повторяющиеся греческие индексы суммируются от 0 до 3, а латинские от 1 до 3. Аналогично оператор Д'Аламбера имеет одинаковый вид для всех наблюдателей, так как в ковариантных обозначениях он равен:

$\partial^2 = \partial_\alpha\partial^\alpha = g^{\alpha\beta} \partial_\alpha\partial_\beta = \partial^2_0 -\partial_i\partial_i = \frac{\partial^2 }{\partial t^2} - \Delta.$

Поэтому уравнения () выглядят одинаково для всех наблюдателей, если величина $\textstyle j^\alpha=(\rho,\mathbf{j})$ является 4-вектором. Покажем это, записав 4-ток следующим образом:

$j^\alpha = \rho\,\frac{dx^\alpha}{dt} = \underbrace{\rho\,d^3\mathbf{x}}_{Q}\, \frac{dx^\alpha}{d^4x}.$

(EQN)

При $\textstyle \alpha=0$ получаем $\textstyle j^0=\rho$ , иначе $\textstyle j^i=\mathbf{j}=\rho\mathbf{u}$ . Смещение в 4-пространстве $\textstyle dx^\alpha$ — это 4-вектор. Объём 4-пространства $\textstyle d^4x=dt\,d^3\mathbf{x}$ является инвариантом, что проверяется нахождением якобиана от преобразований Лоренца ( $\textstyle \lessdot$ H). Наконец, $\textstyle \rho\,d^3\mathbf{x}$ — это заряд в элементарном объёме, который инвариантен в силу принятых постулатов. В результате 4-ток оказывается 4-вектором.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь общее решение уравнений () в случае, когда функции плотности заряда $\textstyle \rho(\mathbf{x}, t)$ и плотности тока $\textstyle \mathbf{j}(\mathbf{x},t)$ заданы. Скалярный потенциал в калибровке Лоренца удовлетворяет уравнению Д'Аламбера:

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \Delta \varphi = 4\pi \rho,$

где $\textstyle \rho=\rho(\mathbf{x},t)$ — некоторая заданная функция, а $\textstyle \varphi=\varphi(\mathbf{x}, t)$ — неизвестная функция, которую необходимо найти.

С математической точки зрения это линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Линейность означает, что если нам известны два его решения $\textstyle \varphi_1$ и $\textstyle \varphi_2$ , то, как легко видеть, их линейная комбинация $\textstyle C_1\varphi_1+C_2\varphi_2$ , где $\textstyle C_i$ — произвольные константы, также будет решением. Однородным это уравнение станет, когда $\textstyle \rho=0$ , и тогда его называют волновым уравнением.

Для решения уравнения необходимо задать начальные условия. Так как в нём есть производная по времени второго порядка, потребуется две функции координат: собственно $\textstyle \varphi(\mathbf{x}, 0)$ и значение её производной по времени $\textstyle \partial\varphi(\mathbf{x}, 0)/\partial t$ в начальный момент $\textstyle t=0$ . Общее решение уравнения Д'Аламбера может быть записано следующим образом:

$\varphi = \varphi_0(\mathbf{x},t) +\varphi_1(\mathbf{x},t),$

где $\textstyle \varphi_0(\mathbf{x}, t)$ — общее решение однородного уравнения ( $\textstyle \rho=0$ ), а $\textstyle \varphi_1(\mathbf{x}, t)$ — любое частное решение неоднородного уравнения ( $\textstyle \rho\neq 0$ ). Общее решение однородного уравнения обеспечит выполнение произвольных начальных условий, а частное решение — собственно выполнение самого уравнения.

Попробуем угадать вид частного решения, а затем проверим его подстановкой в уравнение. Если бы производной по времени не было, вместо уравнения Д'Аламбера получилось бы уравнение Пуассона:

$\Delta \varphi = - 4\pi \rho.$

Его решение мы уже записывали в электростатике, как сумму (интеграл) по элементарным зарядам, создающим кулоновский потенциал:

где $\textstyle d^3\mathbf{r}=dV$ — элементарный объём, соответствующий переменной интегрирования $\textstyle \mathbf{r}$ . Интегрирование ведётся по всему пространству.

Если задача нестационарна и заряды движутся, то их плотность в данном элементарном объёме всё время изменяется. Однако информация об этом изменении достигает точки наблюдения поля только через время, равное расстоянию $\textstyle |\mathbf{x}-\mathbf{r}|$ (единичная скорость распространения). Поэтому предположим, что пуасссоновский интеграл остаётся в силе, однако плотность заряда в нём необходимо брать с учётом запаздывания в предшествующий момент времени $\textstyle t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|$ :

$\varphi(\mathbf{x},t) = \varphi_0(\mathbf{x},t)+\int\frac{\rho(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|} \,d^3\mathbf{r}.$

(EQN)

Это предположение оказывается верным. Убедимся в этом прямыми вычислениями. Обозначим расстояние (=время) запаздывания через $\textstyle R=|\mathbf{x}-\mathbf{r}|$ . Соответственно, $\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{x}-\mathbf{r}$ . Возьмём лапласиан от подынтегрального выражения по переменной $\textstyle \mathbf{x}$ (или эквивалентно по $\textstyle \mathbf{R}$ ) как вторую производную произведения функций:

$\nabla\nabla\left(\frac{\rho}{R}\right)=\nabla\left(\frac{\nabla\rho}{R}+\rho\nabla\frac{1}{R}\right)= \frac{\Delta\rho}{R}-2(\nabla\rho)\,\frac{\mathbf{R}}{R^3} + \rho\Delta\frac{1}{R}.$

(EQN)

Во втором слагаемом последнего равенства учтено значение градиента $\textstyle \nabla(1/R)=-\mathbf{R}/R^3$ . Градиент и лапласиан от плотности равны:

$\nabla\rho = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\frac{\partial R}{\partial \mathbf{x}} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\, \frac{\mathbf{R}}{R},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Delta\rho = \frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}\left(\frac{\mathbf{R}}{R}\right)^2-\frac{\partial \rho}{\partial t}\, \nabla\frac{\mathbf{R}}{R} =\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}-\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\frac{2}{R}.$

Подставляя всё это в (), получаем, что все слагаемые, кроме $\textstyle \rho\,\Delta (1/R)$ , сокращаются. Для лапласиана от $\textstyle 1/R$ справедливо соотношение:

$\Delta \frac{1}{R} = - 4\pi \delta(\mathbf{R}).$

Оно следует из закона Гаусса для точечного заряда $\textstyle \nabla\mathbf{E}=4\pi\delta(\mathbf{R})$ и связи $\textstyle \mathbf{E}=-\nabla \varphi$ . Поэтому окончательно получаем:

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \Delta \varphi = 4\pi\int\rho(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{r}) \,d^3\mathbf{r} = 4\pi\rho(\mathbf{x}, \;t).$

При интегрировании с дельта-функцией интеграл опускается, а переменная интегрирования становится равной $\textstyle \mathbf{r}=\mathbf{x}$ .

Естественно, абсолютно такое же решение можно записать для каждой компоненты векторного потенциала:

$\mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \mathbf{A}_0(\mathbf{x},t)+\int\frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|} \,d^3\mathbf{r}.$

(EQN)

Значения потенциалов с индексом "0" по определению удовлетворяют однородным (волновым) уравнениям. Они описывают общие решения в отсутствие зарядов.

Законы сохранения <<	Оглавление (Глава 5)	>> Дипольное излучение

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Потенциалы поля

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты