Пластичность волатильности:Приложение:Меры волатильности

Материал из Synset

Приложение: Броуновское блуждание <<	Оглавление	>> Приложение: Моделирование блуждания

Для положительной случайной величины $\textstyle z>0$ ширину её распределения можно характеризовать относительной ошибкой $\textstyle \sigma_z/\bar{z}$ , где $\textstyle \sigma_z$ , как обычно, обозначает среднеквадратичное отклонение $\textstyle \sigma^2_z=\overline{(z-\bar{z})^2}$ .

Заметим, что относительные ширины распределений для $\textstyle z$ и $\textstyle z^2$ различны, поэтому, вообще говоря, существуют различные критерии оптимальности мер измерения волатильности. Например, для вычисления стационарной волатильности обычно используется, усреднение либо квадратов доходностей, либо квадратов амплитуд размаха ^[1]:

$\sigma^2_R = \frac{1}{n-1}\sum^n_{t=1} (r_t-\bar{r})^2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2_P = \frac{1}{n}\sum^n_{t=1} \frac{a_t^2}{4\ln 2}.$

(34)

Так как в этой статье мы изучаем нестационарный характер волатильности, и для её сглаживания используем нелинейный HP-фильтр, то удобнее усреднять непосредственно волатильности $\textstyle \sigma$ , а не их квадраты, которые, как мы увидим ниже, при малых $\textstyle n$ дают, к тому же, смещённое значение $\textstyle \sigma$ . Тем не менее, говоря о различных мерах волатильности, мы будем вычислять относительную ширину как самой величины, так и её квадрата.

Приведём некоторые известные меры. Базовой будет мера Parkinson (1980) ^[1], равная амплитуде размаха $\textstyle v_P=a$ . Garman and Klass (1980) ^[2], в классе аналитических функций по $\textstyle h$ , $\textstyle l$ , $\textstyle r$ , предложили следующую оптимальную комбинацию, которая лучше меры Parkinson:

$v^2_{GK} = 0.511 \cdot a^2 - 0.019 \bigl(r\cdot (h-l)+ 2 h\cdot l\bigr) - 0.383 \cdot r^2.$

(35)

Отметим также более простую и не зависящую от сноса $\textstyle \mu$ меру Rogers and Satchell (1991) ^[3]:

$v^2_{RS} = h\cdot (h-r) + l\cdot (l+r).$

(36)

Покажем, что простейшая линейная модификация меры Parkinson

$v_\beta=a - \beta\cdot |r|$

(37)

с некоторой константой $\textstyle \beta>0$ приводит к более узкому распределению, чем амплитуда размаха. Если в качестве критерия узости использовать относительную волатильность $\textstyle \sigma_v$ , то при помощи средних из приложения A несложно найти оптимальное значение коэффициента $\textstyle \beta$ :

$\frac{\overline{(a-\beta \cdot |r|)^2}}{\bigl(\;\bar{a}-\beta \cdot \overline{|r|}\;\bigr)^2} = min \;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\beta = 6-8 \ln 2 \approx 0.455.$

(38)

Однако, так как критерий $\textstyle \sigma_v/\bar{v}$ не является единственным, и в силу слабой чувствительности относительной волатильности от $\textstyle \beta$ , мы в статье использовали значение $\textstyle \beta=1/2$ и обозначение $\textstyle v=a-|r|/2$ . Далее $\textstyle v_\beta=a-0.455 \cdot|r|$ .

Заметим, что существует ещё одна простая мера волатильности, сравнимая по эффективности с (37), следующего вида:

$v_F = \frac{a}{1+r^2/a^2}.$

(39)

Хотя вероятность нулевого значения $\textstyle a$ для конечной длительности лага $\textstyle T$ исчезающе мала, необходимо, тем не менее, доопределить $\textstyle v_F=0$ при $\textstyle a=0$ . Вообще, (37) и (39) не являются аналитическими функциями по $\textstyle a$ и $\textstyle r$ и выпадают из действия леммы приложения B. работы ^[2].

$\textstyle \bullet$ Кроме ширины распределения, в качестве критерия иногда используется отсутствие или слабая зависимость от сноса $\textstyle \mu$ . Заметим, что для дневных или более коротких лагов $\textstyle \mu \ll \sigma$ . Поэтому этот критерий не является столь значимым. Предложенная выше мера модифицированной амплитуды размаха, как и сама амплитуда, зависит от $\textstyle \mu$ . Однако эта зависимость существенно слабее, чем у амплитуды. Если воспользоваться разложениями (32), (33), для $\textstyle v_\beta$ можно записать:

$\overline{v}_\beta = (2-\beta)\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} + \frac{(2-3\beta)\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{(2-5\beta)\mu^4}{60\sqrt{2\pi}} +...\;\;\;\;\;$

Видно, что коэффициент при $\textstyle \mu^2$ в случае $\textstyle \beta=1/2$ в четыре раза меньше, чем в случае $\textstyle \beta=0$ ( $\textstyle v_P=a$ ). Соответственно, в четыре раза меньше и зависимость от $\textstyle \mu$ . При $\textstyle \beta=2/3$ (далее $\textstyle v_{2/3}$ ) коэффициент при $\textstyle \mu^2$ становится равным нулю и зависимость от $\textstyle \mu$ ослабевает ещё сильнее, хотя полностью она исчезает только для меры Rogers and Satchell.

$\textstyle \bullet$ Сравним теперь статистические параметры различных мер волатильности:

Курсивным шрифтом приведены значения Монте-Карло моделирования по 3.5 миллионам лагов, каждый из которых являлся блужданием из миллиона тиков. В этом случае для средних и волатильности в последнем знаке возможна ошибка порядка $\textstyle \pm 0.002$ . Для определения остальных значений (не курсивных) использовались аналитические выражения.

$\textstyle \bullet$ В условиях нестационарности данных часто необходимо проводить усреднение по достаточно малому числу наблюдений $\textstyle n$ . В этом случае начинает проявляться смещённость квадратичных мер для оценки волатильности $\textstyle \sigma$ . Даже, если мы вычисляем классический квадрат волатильности $\textstyle \sigma^2_R$ по несмещённой формуле (34), значение $\textstyle \sigma_R$ будет смещено, так как при усреднении по большому числу выборок, каждая из которых имеет размер $\textstyle n$ , мы имеем: $\textstyle <\sigma^2_R>=\sigma^2$ , но $\textstyle <\sqrt{\sigma^2_R}> \neq\sigma$ . Если нас интересует значение именно волатильности, а не её квадрата, лучше для нестационарных данных использовать линейные, а не квадратичные меры.

Для иллюстрации эффекта смещения справа приведены графики средних значений волатильности, полученных усреднением по большому числу выборок по $\textstyle n$ значений в каждой для стандартного определения $\textstyle \sigma_R$ и меры $\textstyle \sigma_{RG}=\sqrt{v^2_{RG}}$ (35) по сравнению с линейной мерой $\textstyle \sigma=(a-|r|/2)\sqrt{2\pi}/3$ .

Таким образом, мера $\textstyle v=a-|r|/2$ имеет достаточно узкое распределение, и, следовательно, ошибку измерения волатильности. При этом её очевидным преимуществом является простота, по сравнению с мерами $\textstyle v_{RS}$ и $\textstyle v_{GK}$ . Кроме этого она не смещена при малых размерах выборки, что существенно при исследовании эффектов нестационарности.

Примчания

↑ ^1,0 ^1,1 M. Parkinson, 1980 The extreme value method for estimating the variance of the rate of return, The Journal of Business}, Vol.53, No.1.
↑ ^2,0 ^2,1 M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, On the estimation of security price volatilities from historical data, The Journal of Business, Vol.53, No.1.
↑ L.C.G. Rogers, S.E.Satchell, 1991, {Estimating variance from high, low and closing prices}, The Annals of Applied Probability, Vol.1. No.4, pp.504-512.

Приложение: Броуновское блуждание <<	Оглавление	>> Приложение: Моделирование блуждания

[Parkinson1980-0] 1,0 ^1,1 M. Parkinson, 1980 The extreme value method for estimating the variance of the rate of return, The Journal of Business}, Vol.53, No.1.

[Garman1980-1] 2,0 ^2,1 M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, On the estimation of security price volatilities from historical data, The Journal of Business, Vol.53, No.1.

[Rogers1991-2] L.C.G. Rogers, S.E.Satchell, 1991, {Estimating variance from high, low and closing prices}, The Annals of Applied Probability, Vol.1. No.4, pp.504-512.

[1]

[2]

[3]

Пластичность волатильности:Приложение:Меры волатильности

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты