Пластичность волатильности:Приложение:Броуновское блуждание

Материал из Synset

Заключение <<	Оглавление	>> Приложение: Меры волатильности

Приведём основные соотношения теории броуновского движения, описываемого стохастическим уравнением $\textstyle dx = \mu dt + \sigma \delta W$ . Рассмотрим сначала случай отсутствия сноса ( $\textstyle \mu=0$ ). Без потери общности можно считать, что в начальный момент времени $\textstyle x(0)=0$ . Максимальное и минимальное значения $\textstyle x$ за период $\textstyle 0\leqslant t \leqslant T$ равны $\textstyle H$ и $\textstyle L$ , и $\textstyle r=x(T)$ . Высота подъема $\textstyle h=H$ и глубина опускания $\textstyle l=-L$ всегда положительны, и $\textstyle -l \leqslant r \leqslant h$ . Амплитуда размаха равна $\textstyle a=h+l$ . Ниже рассматривается случай единичной волатильности $\textstyle \sigma=1$ и единичного интервала времени $\textstyle T=1$ . Для их восстановления необходимо во всех "размерных" величинах $\textstyle r$ , $\textstyle h$ , $\textstyle l$ , $\textstyle a$ проделать замену $\textstyle r\to r/\sigma\sqrt{T}$ . Это же необходимо сделать и в дифференциалах $\textstyle dr$ и т.п. при интегрировании плотностей вероятностей. Для сокращения используется функция нормального распределения: $\textstyle \mathbf{N}(x)=e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}$ .

$\textstyle \bullet$ Исходным соотношением является вероятность того, что $\textstyle x$ не поднимется выше $\textstyle h$ и не опустится ниже $\textstyle -l$ , закрывшись на доходности $\textstyle r$ :

$p(-l<L, H<h, r) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} \left\{ \mathbf{N}\bigl(r+2ka \bigr)-\mathbf{N}\bigl(r+2l+2ka\bigr) \right\}.$

(27)

Эту формулу получил Феллер в 1951 ^[1]. Отметим также исключительно полезный справочник ^[2]. Из вероятности Феллера (27) выводятся другие распределения. Так, для доходности, высоты и глубины имеем:

$P(r) = \mathbf{N}(r),\;\;\;\;\;P(h)=2\mathbf{N}(h),\;\;\;\;\;\;P(l)=2\mathbf{N}(l).$

(28)

Плотность вероятности размаха $\textstyle a$ выражается в виде бесконечного ряда по гауссовому базису:

$P(a)=8\sum^\infty_{k=1}(-1)^{k+1}\cdot k^2\cdot \mathbf{N}(ka).$

(29)

Ряд достаточно быстро сходится для всех $\textstyle a\neq 0$ . Характерным свойством распределения Феллера $\textstyle P(a)$ является экстремально быстрое снижение плотности вероятности при уменьшении $\textstyle a$ . Приведём некоторые значения интегральных вероятностей $\textstyle F(a)=p(H-L<a)$ :

Ниже значения 0.75 ( $\textstyle \sigma=1$ ) параметр $\textstyle a$ опускается только в 2-х случаях из 1000. Среднее значение $\textstyle \bar{a}=1.5958$ , сигма $\textstyle \sigma_a = 0.29798\cdot \bar{a}$ . В интервал одной сигмы $\textstyle \bar{a}\pm \sigma_a$ = [1.120 .. 2.071] попадает 71.6\% значений $\textstyle a$ . В двойную сигму $\textstyle \bar{a}\pm 2\sigma_a$ = [0.645 .. 2.547] попадет 95.6\% значений, причём выпадания из этого интервала, практически, должны встречаться только сверху.

Совместные плотности вероятности для высоты ( $\textstyle r \leqslant h$ ) глубины ( $\textstyle -l \leqslant r$ ) и амплитуды ( $\textstyle |r| \leqslant a$ ) имеют вид:

$P(h, r) = 2(2h-r)\cdot \mathbf{N}(2h-r),\;\;\;\;\;P(l,r)=2(2l+r)\cdot\mathbf{N}(2l+r).$

(30)

$P(a, r) = 4\sum^{\infty}_{k=-\infty}k\cdot \Bigl\{-|r|-k(2k+3)a+k\cdot\bigl(a-|r|\bigr)\bigl(2ka+|r|\bigr)^2\Bigr\}\cdot \mathbf{N}\bigl(|r|+2ka\bigr).$

(31)

Заметим, что $\textstyle P(a, -r)=P(a, r)$ , и $\textstyle P(a, |r|)=2P(a,r)$ .

$\textstyle \bullet$ Приведём таблицу средних значений различных величин:

$\begin{array}{llllll} \overline{r} = 0,& \overline{r^2}= 1,& \overline{r^3}= 0,& \overline{r^4} = 3,\\ \\ \displaystyle \bar{h} = \sqrt{\frac{2}{\pi}},& \overline{h^2} =1,& \displaystyle \overline{h^3}=\sqrt{\frac{8}{\pi}},& \overline{h^4} = 3,\\ \\ \displaystyle \overline{a} = \sqrt{\frac{8}{\pi}},\;\;\; & \displaystyle \overline{a^2} = 4\ln 2,\;\;\;\; & \displaystyle \overline{a^3} = \frac{(2\pi)^{3/2}}{3},\;\;\;\; & \displaystyle \overline{a^4} = 9 \cdot \zeta[3], \\ \\ \displaystyle \overline{v} = \frac{3}{\sqrt{2\pi}},\;\;\; & \displaystyle \overline{v^2} = 4\ln 2 - \frac{5}{4},\;\;\;\; & \displaystyle \overline{v^3} = \frac{21+\pi^2}{6\sqrt{2\pi}},\;\;\;\; & \displaystyle \overline{v^4} = 6\ln 2 -\frac{27}{16}+ \frac{3}{8}\cdot \zeta[3], \\ \end{array}$

где $\textstyle \zeta[n]= \sum^\infty_{k=1} k^{-n}$ - функция Римана. Средние для $\textstyle l$ и $\textstyle |r|$ эквивалентны $\textstyle h$ . Ниже даны значения некоторых смешанных произведений:

$\begin{array}{cccc} \displaystyle \overline{h\, r} =\frac{1}{2},\;\;& \displaystyle \overline{h\, r^2} =\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{\pi}},\;\;& \displaystyle \overline{h\, r^3} =\frac{3}{2},\;\; & \displaystyle \overline{h\, r^4} =\frac{24}{5}\sqrt{\frac{2}{\pi}},\;\;\\ \\ \displaystyle \overline{l\, r^n} =(-1)^n\cdot\overline{h\, r^n},\;\; & \displaystyle \overline{a\, r^{2n+1}} = 0,\;\;& \displaystyle \overline{a\, r^{2n}} = 2 \cdot \overline{h\, r^{2n}},\;\;& \displaystyle \overline{a \,|r|} =\frac{3}{2}.\;\;\\ \end{array}$

Другие средние, а также их производящую функцию можно найти в ^[3].

Для блуждания со сносом $\textstyle dx=\mu dt+\sigma \delta W$ будем использовать уже определённые ранее плотности без сноса. Для того, чтобы восстановить время и волатильность, необходимо дополнительно сделать замену сноса $\textstyle \mu\to\mu T/\sigma \sqrt{T}$ . Плотность вероятности для доходности равна:

$P_\mu(r)=\mathbf{N}\bigl(r-\mu\bigr)=e^{\mu r - \mu^2/2} \;P(r).$

Выражения для совместных плотностей ^[2]:

$P_\mu(h, r) = e^{\mu r - \mu^2/2}\;P(h, r),\;\;\;\;\; P_\mu(l, r) = e^{\mu r - \mu^2/2}\;P(l, r),$

$P_\mu(a, r) = e^{\mu r - \mu^2/2} \;P(a, r),\;\;\;\;\; P_\mu(h, l, r) = e^{\mu r - \mu^2/2}\; P(h, l, r).$

Таким образом, во всех случаях плотности соответствующие $\textstyle \mu=0$ умножаются на фактор $\textstyle e^{\mu r - \mu^2/2}$ . При наличии сноса:

$\overline{r}=\mu,\;\;\;\overline{r^2}=1+\mu^2,\;\;\;\;\overline{r^3}=3\mu+\mu^3,\;\;\;\;\;\overline{r^4}=3 + 6\mu^2+\mu^4.$

Выражения для средних значений других величин достаточно громоздки. Однако, так как для финансовых данных $\textstyle \mu\ll\sigma=1$ , уместно разложить в ряд фактор $\textstyle e^{\mu r - \mu^2/2}$ и использовать средние для случая $\textstyle \mu=0$ . В результате:

$\overline {h} =\sqrt{\frac{2}{\pi}} + \frac{\mu}{2} + \frac{\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{60\sqrt{2\pi}}+.., \;\;\;\;\overline{|r|} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} + \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{12\sqrt{2\pi}} +..,$

(32)

$\overline {l} =\sqrt{\frac{2}{\pi}} - \frac{\mu}{2} + \frac{\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{60\sqrt{2\pi}}+.., \;\;\;\;\overline{a} = \sqrt{\frac{8}{\pi}} + \frac{2\mu^2}{3\sqrt{2\pi}} - \frac{\mu^4}{30\sqrt{2\pi}} +...$

(33)

Средние значения высоты и глубины линейны по $\textstyle \mu$ , и далее в разложении идут только чётные степени. Амплитуды размаха и модуля доходности зависят только от чётных степеней $\textstyle \mu$ . Отметим также простые конечные соотношения: $\textstyle \overline{h}-\overline{l}=\overline{r}=\mu$ , $\textstyle \overline{h^2}+\overline{l^2}=2+\mu^2$ , $\textstyle \overline{h\,r}=\overline{h^2}-1/2$ , $\textstyle \overline{l\,r}=1/2 - \overline{l^2}$ .

Примчания

↑ W. Feller, 1950, The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables, The Annals of Mathematical Statistics, pp.427-432.
↑ ^2,0 ^2,1 A.N. Borodin, P. Salminen, 2000 {Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae}, Basel: Birkhauser.
↑ M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, {On the estimation of security price volatilities from historical data}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.

Заключение <<	Оглавление	>> Приложение: Меры волатильности

[Feller1951-0] W. Feller, 1950, The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables, The Annals of Mathematical Statistics, pp.427-432.

[Borodin2000-1] 2,0 ^2,1 A.N. Borodin, P. Salminen, 2000 {Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae}, Basel: Birkhauser.

[Garman1980-2] M.B. Garman, M.J.Klass, 1980, {On the estimation of security price volatilities from historical data}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.

[1]

[2]

[3]

Пластичность волатильности:Приложение:Броуновское блуждание

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты