Пластичность волатильности:Приложение:Автокорреляции

Материал из Synset

Приложение: Моделирование блуждания <<	Оглавление	>> Оглавление

Рассмотрим примеры автокорреляционных коэффициентов в условиях нестационарности (15) в некоторых частных случаях.

$\textstyle \bullet$ Для волатильности в виде ступеньки со значением $\textstyle \sigma_1$ длительностью $\textstyle f\cdot T$ и $\textstyle \sigma_2$ в течение $\textstyle (1-f)\cdot T$ для дисперсии имеем:

$\gamma_0(\sigma)=\sigma_\theta^2 \cdot \bigl[f\,\sigma^2_1 + (1-f)\,\sigma^2_2\bigr] + f (1-f) \cdot (\sigma_2-\sigma_1)^2,$

(40)

где $\textstyle \sigma_\theta^2 = \overline{(\theta-1)^2}$ - дисперсия нормированной положительно определённой случайной величины с единичным средним. Ковариационный коэффициент $\textstyle \gamma_s(\sigma)=\left\langle \sigma_t\cdot \sigma_{t-s}\right\rangle - \left\langle \sigma_t\right\rangle ^2$ равен:

$\gamma_s(\sigma) = f (1-f) \cdot (\sigma_1-\sigma_2)^2 \;+\; \bigl(\sigma_1-\sigma_2\bigr) \bigl(\sigma_2 f -\sigma_1(1-f)\bigr) \cdot \frac{s}{T-s}$

(41)

При большом периоде усреднения $\textstyle T$ по сравнению со сдвигом $\textstyle s$ остаётся только первое слагаемое, которое мы получили в шестом разделе.

$\textstyle \bullet$ В случае линейного роста волатильности $\textstyle \sigma(t)=\sigma_0 \cdot (1+ \beta t/T)$ , с постоянной скоростью $\textstyle \beta$ дисперсия $\textstyle \gamma_0$ равна:

$\frac{\gamma_0(\sigma)}{\sigma^2_0} = \sigma^2_\theta \cdot \left(1+\beta+\frac{\beta^2}{3}\right) +\frac{\beta^2}{12}$

(42)

Автоковариационный коэффициент:

$\frac{\gamma_s(\sigma)}{\sigma^2_0} = \frac{\beta^2}{12}\cdot \left(1 - 2\,\frac{s}{T}-2\,\frac{s^2}{T^2}\right)$

(43)

$\textstyle \bullet$ Если волатильность испытывает периодические колебания $\textstyle \sigma(t)=\sigma_0 (1+\beta \sin(2\pi m t/T))$ , где $\textstyle m=1,2,..$ - целые числа, то волатильность $\textstyle x$ в условиях такой нестационарности равна:

$\frac{\gamma_0(\sigma)}{\sigma^2_0} = \sigma^2_\theta \cdot \left(1+\frac{\beta^2}{2}\right) + \frac{\beta^2}{2}$

(44)

Ковариационные коэффициенты становятся периодическими функциями сдвига $\textstyle s$ :

$\frac{\gamma_s(\sigma)}{\sigma^2_0} = \beta^2 \cdot \left\{\frac{1}{2}\,\cos\bigl(2m\pi \frac{s}{T}\bigr) + \frac{T/4 m\pi}{ (T-s)}\,\sin\bigl(2m\pi \frac{s}{T}\bigr) \right\}$

(45)

Ниже приведены эмпирические графики автокорреляционных коэффициентов всех этих трёх случаев вместе с теоретической кривой (тонкая линия):

Примчания

Приложение: Моделирование блуждания <<	Оглавление	>> Оглавление

Пластичность волатильности:Приложение:Автокорреляции

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты