Пластичность волатильности:Корреляция разностей

Материал из Synset

Нестационарная статистика <<	Оглавление	>> Выделение гладкой нестационарности

Простейший способ устранения относительно гладких нестационарностей во временных рядах - это переход к разностям величин. Если $\textstyle v_t$ испытывает локально постоянный снос, то это будет приводить к появлению автокорреляций. Разность двух последовательных величин подобный снос устраняет. Даже, если тренд данных $\textstyle v_t$ медленно изменяет своё направление, то в рамках восходящих и нисходящих участков значения разностей меняются незначительно и становятся локально квазистационарными.

Рассмотрим изменение модифицированной амплитуды размаха цены:

δ v t = v t - v t - 1 .

(16)

В качестве данных возьмём ежедневную статистику по фондовому индексу S\&P500 за период 1990-2008 (4791 торговый день) и курса EURUSD (1999-2008, 2495 дня, исключая праздники). Построим сначала автокорреляционные коэффициенты амплитуд ежедневного размаха цены $\textstyle \rho_s(v)=cor(v_t, v_{t-s})$ :

Как обычно, коэффициенты $\textstyle \rho_s$ достаточно высокие, однако автокорреляции для индекса S\&P500 более значительны, чем для курса EURUSD, и имеют меньшие колебания.

Перейдём теперь к разностям амплитуд двух соседних дней. Их автокорреляция $\textstyle \rho_s(\delta v)$ тут же резко падает:

Отличия разительны. Второй автокорреляционный коэффициент в случае индекса S\&P500 падает в 24 раза, со значения 0.618 до величины 0.026. Для курса EURUSD снижение составляет 17 раз - с 0.449 до 0.027

Пунктирные линии на всех рисунках означают двойную стандартную ошибку, равную $\textstyle 0.03 = 2/\sqrt{4791}$ для индекса S\&P500 и $\textstyle 0.04 = 2/\sqrt{2495}$ для EURUSD.

Наглядно исчезновение корреляционной зависимости можно продемонстрировать на точечных диаграммах связи последовательных значений $\textstyle v_t$ и $\textstyle v_{t-s}$ .

Ниже на точечных диаграммах явно видны "корреляции" между $\textstyle \{v_t, v_{t-1}\}$ индекса S\&P500 и их отсутствие для $\textstyle \{\delta v_t, \delta v_{t-2}\}$ :

Точечные диаграммы для S\&P500 до и после перехода к разностям} На рисунке слева точки заполняют область с характерной формой веника, тогда как справа мы имеем симметричное облако с нулевой корреляцией. Похожие результаты обнуления автокорреляционных коэффициентов получаются также для модулей логарифмической доходности $\textstyle |r_t|$ , и других финансовых инструментов.

Заметим, правда, что для разностей $\textstyle \delta v_t$ существует высокая отрицательная автокорреляция со сдвигом в один день $\textstyle \rho_1(\delta v)=cor(\delta v_t, \delta v_{t-1})$ . В примере выше она равна -0.49 для S\&P500 и -0.53 для EURUSD. Однако её происхождение связано не со стохастической динамикой волатильности, а с эффектом перекрытия. Поясним это на следующем примере. Предположим, что справедлива простейшая модель:

$v_t = \sigma \cdot \theta_t,$

(17)

где $\textstyle \sigma=const$ , а $\textstyle \theta_t$ - независимые стационарные положительные случайные числа, возникающие по причине ошибок конечности выборки по которой измеряется волатильность. В этом случае изменения $\textstyle \delta v_t = \sigma\cdot(\theta_t-\theta_{t-1})$ имеют нулевое среднее $\textstyle \overline{\delta v_t} = 0$ . Первый автоковариационный коэффициент равен:

$\left\langle \delta v_t \cdot \delta v_{t-1}\right\rangle =\sigma^2 \left\langle (\theta_t-\theta_{t-1}) \cdot (\theta_{t-1}-\theta_{t-2})\right\rangle = - \sigma^2 \cdot \left[\;\overline{\theta^2} - \overline{\theta}^{\,2}\;\right] = -\sigma^2\cdot \sigma^2_\theta,$

(18)

где $\textstyle \sigma^2_\theta$ - дисперсия случайных величин $\textstyle \theta$ . Среднее квадрата возникает в слагаемом $\textstyle -\left\langle \theta_{t-1}\cdot \theta_{t-1}\right\rangle = \overline{\theta^2}$ , которое и ответственно за эффект перекрытия. Аналогичным образом получается дисперсия разности $\textstyle \left\langle \delta v^2_{t}\right\rangle = 2\sigma^2 \sigma^2_\theta$ . Поэтому первый автокорреляционный коэффициент в точности равен $\textstyle \rho_1(\delta v)=-0.5$ , что и наблюдается выше. Корреляции со сдвигами $\textstyle s>1$ будут нулевыми, так как перекрытия уже не возникает.

Тот факт, что для автокорреляций разностей с хорошей степенью точности выполняются соотношения $\textstyle \rho_1(\delta v)=-0.5$ и $\textstyle \rho_s(\delta v)=0$ при $\textstyle s>1$ свидетельствует в пользу модели (17). Однако, если бы параметр $\textstyle \sigma$ был константой, то не возникало бы корреляций между последовательными значениями волатильности $\textstyle \rho_s( v)=0$ (в силу независимости $\textstyle \theta_t$ ). Она может возникать, как мы показали выше, в результате плавного изменения величины $\textstyle \sigma$ со временем. Таким образом, фактически $\textstyle \sigma=\sigma(t)$ , и является гладкой функцией времени.

Как для окончательного прояснения ситуации с $\textstyle \rho_1(\delta v)$ , так и для целей дальнейших исследований нам необходима методология выделения гладкой нестационарной составляющей волатильности.

Примчания

Нестационарная статистика <<	Оглавление	>> Выделение гладкой нестационарности

Пластичность волатильности:Корреляция разностей

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты