Пластичность волатильности:Измерение волатильности

Материал из Synset

Введение <<	Оглавление	>> Внутридневная волатильность

Исторические данные ценовой динамики различных финансовых инструментов обычно агрегированы в точки, между которыми существует определённый период времени (лаг). Наиболее доступными являются дневные лаги, реже встречаются часовые, и ещё реже - минутные. Кроме цены закрытия $\textstyle C_t$ (последнее значение лага), общепринятыми являются: котировка открытия $\textstyle O_t$ (первая цена лага), максимальное $\textstyle H_t$ и минимальное $\textstyle L_t$ значения цены. При помощи этих четырех цен можно образовать три независимые относительные величины, которые мы будем называть базисом лага:

Высота подъема $\textstyle h$ и глубина опускания цены $\textstyle l$ - величины положительные. С их помощью определяется амплитуда размаха цены $\textstyle a=h+l$ . Доходность $\textstyle r$ может быть как положительной, так и отрицательной.

В моделях аддитивного винеровского блуждания $\textstyle dx=\mu\;dt+\sigma\;\delta W$ четвёрка $\textstyle \{O_t,H_t,L_t,C_t\}$ непосредственно являются ценами. Для логарифмического блуждания $\textstyle dx/x=\mu\;dt+\sigma\;\delta W$ это логарифмы ценовых значений $\textstyle \ln x$ . Поэтому в этом случае, например, размах $\textstyle a_t$ будет равен логарифму отношения максимума к минимуму цены $\textstyle a_t=\ln H_t/L_t$ , доходность - логарифмической доходности $\textstyle r_t=\ln C_t/O_t$ , и т.д.

Под волатильностью $\textstyle \sigma$ лага длительностью $\textstyle T$ будем подразумевать усреднение по достаточно большому числу лагов отклонения доходности $\textstyle r$ от среднего: $\textstyle \sigma^2=\left\langle (r-\bar{r})^2\right\rangle$ . Если волатильность $\textstyle \sigma$ постоянна, то значения положительных величин $\textstyle \{h,l,|r|,a\}$ в той или иной мере характеризуют её значение. Чем волатильность рынка выше, тем вероятнее будут их большие значения. В частности, если сноса нет ( $\textstyle \mu=0$ ), средние значения пропорциональны волатильности: $\textstyle \bar{a} = 1.596 \cdot \sigma,\;\bar{h}=\bar{l}=\overline{|r|}=0.798\cdot \sigma$ (см. приложение A).

Однако, информационная значимость каждого из параметров и их возможных комбинаций различна. Распределения плотности вероятности для $\textstyle P(a)$ и $\textstyle P(h)$ , $\textstyle P(l)$ , $\textstyle P(|r|)$ , в случае винеровского процесса, имеют следующий вид (пунктирные линии - это средние значения при $\textstyle \sigma=1$ ):

Из четвёрки $\textstyle \{a,h,l,|r|\}$ только амплитуда размаха имеет достаточно узкий максимум в окрестности среднего значения. Плотности вероятности остальных величин монотонно снижаются с их ростом. Заметим также, что $\textstyle h$ , $\textstyle l$ и $\textstyle |r|$ с высокой вероятностью могут иметь значения близкие к нулю. Амплитуда размаха " $\textstyle a$ ", наоборот, избегает быть нулевой и вероятность того, что $\textstyle a<0.75\sigma$ , равна 0.002. Так, часто рынок закрывается с близким к нулю приростом цен $\textstyle |r|\sim 0$ , в то время как его волатильность в течении дня была существенной.

Чем уже распределение вероятности для меры измерения волатильности, тем она лучше. Для положительно определённой величины $\textstyle v$ относительную степень узости распределения можно характеризовать отношением $\textstyle \sigma_v/\bar{v}$ , где $\textstyle \sigma^2_v=\overline{(v-\bar{v})^2}$ - усреднение квадратов отклонения от среднего $\textstyle \bar{v}$ . Для амплитуды размаха $\textstyle \sigma_a/\bar{a}=0.30$ , что в более чем в два раза меньше аналогичного отношения, например, для высоты $\textstyle \sigma_{h}/\bar{h}=0.76$ .

Возникает естественный вопрос - не существует ли комбинации базисных величин $\textstyle f(h,l,r)$ , которая имела бы более узкое распределение, чем амплитуда ценового размаха " $\textstyle a$ "? Этой теме посвящена обширная литература (см., например ^[1] - ^[2]).

В этой статье мы будем использовать простую модификацию амплитуды размаха. Если динамика цены внутри лага сопровождается существенным трендом $\textstyle |r|\neq 0$ (не важно, вверх или вниз), то волатильность может быть ниже, чем при том же размахе, но в отсутствие тренда ( $\textstyle |r|=0$ ). Поэтому целесообразно понижать значение амплитуды размаха в случае больших $\textstyle |r|$ . Будем называть модифицированной амплитудой размаха следующую величину:

$v = a - \frac{|r|}{2}.$

Ниже в таблице приведены статистические параметры (среднее значение ( $\textstyle av$ ), среднеквадратичное отклонение от него ( $\textstyle si$ ), асимметрия распределения ( $\textstyle as$ ) и его эксцесс ( $\textstyle ex$ ) при $\textstyle \sigma=1$ :

Видно, что относительная ширина распределения модифицированной амплитуды размаха $\textstyle \sigma_v/\bar{v}=0.25$ , что лучше, чем у простого размаха $\textstyle a$ . Статистические параметры показывают также, что распределение для " $\textstyle v$ " более симметрично вокруг максимума и имеет меньший эксцесс, чем " $\textstyle a$ ". Приведём вид распределения для $\textstyle P(v)$ вместе с $\textstyle P(a)$ (пунктир), и выражения для среднего $\textstyle v$ и его квадрата в случае броуновского блуждания:

Таким образом, модифицированная амплитуда размаха оказывается лучшей мерой волатильности, чем простой размах, и существенно лучше, чем модуль логарифмической доходности. В приложении B. мы сравниваем модифицированную амплитуду размаха с некоторыми другими известными способами измерения волатильности. При аналогичной или меньшей ошибке определения волатильности мера " $\textstyle v$ " имеет существенно более простое определение и несмещённость для малого числа лагов, поэтому далее в статье мы будем широко её использовать.

Примчания

↑ M. Parkinson, 1980 {The extreme value method for estimating the variance of the rate of return}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.
↑ D. Yang, Q. Zhang, 2000, {Drift-independent volatility estimation based on high, low, open, and close prices}, The Journal of Business, Vol.73, No.3, pp.477-491.

Введение <<	Оглавление	>> Внутридневная волатильность

[Parkinson1980-0] M. Parkinson, 1980 {The extreme value method for estimating the variance of the rate of return}, The Journal of Business, Vol.53, No.1.

[Yang2000-1] D. Yang, Q. Zhang, 2000, {Drift-independent volatility estimation based on high, low, open, and close prices}, The Journal of Business, Vol.73, No.3, pp.477-491.

[1]

[2]

Пластичность волатильности:Измерение волатильности

Материал из Synset

Примчания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты