Пластичность волатильности:Выделение гладкой нестационарности

Материал из Synset

Корреляция разностей <<	Оглавление	>> Автокорреляция остатков

Для выделения медленно меняющейся составляющей во временном ряду $\textstyle x_k=x(t_k)$ мы будем использовать фильтр Ходрика-Прескотта (далее HP-фильтр). Гладкая составляющая $\textstyle s_k$ ряда находится в результате минимизации квадратов её отклонений от эмпирических данных $\textstyle x_k$ , одновременно с требованием минимальности кривизны $\textstyle s_k$ :

$\sum^n_{k=1} ( x_k-s_k)^2 + \lambda \cdot \sum^{n-1}_{k=2} (\nabla^2 s_k)^2 = min,$

(19)

где вторая производная в разностях равна $\textstyle \nabla^2 s_k=(s_{k+1}-s_k)-(s_{k}-s_{k-1})$ . Степень гладкости $\textstyle s_k$ будет тем выше, чем больше параметр $\textstyle \lambda$ . Значения $\textstyle \lambda$ варьируются в очень широком диапазоне, поэтому мы будем приводить его десятичный логарифм $\textstyle \nu$ , представляя $\textstyle \lambda = 10^\nu$ .

При сглаживании сильно зашумлённых данных всегда присутствует произвол в выборе параметра $\textstyle \lambda$ . Если $\textstyle \lambda$ мал, существует опасность обнаружить нестационарность там, где её нет. При слабом сглаживании гладкая составляющая будет повторять любые локальные флуктуации, не имеющие к нестационарности ни какого отношения. С другой стороны, при сильном сглаживании мы рискуем упустить важные детали интересующей нас динамики.

Поэтому нам необходим некоторый статистический критерий степени сглаживания для уменьшения возможного произвола. Как обычно, будем в качестве эталона использовать модель случайного блуждания.

Среднее значение логарифмической доходности равно относительному изменению цены внутри временного лага $\textstyle r_t=\ln C_t/O_t$ . Волатильность будем восстанавливать по сглаженному среднему модифицированной амплитуды размаха цены внутри лага $\textstyle \sigma(t)=\overline{(a-|r|/2)}\cdot\sqrt{2\pi}/3$ . Говоря о волатильности, всегда подразумеваем волатильность лага (минутную, часовую, дневную и т.д.).

Если число дискретных блужданий цены внутри лага достаточно велико, то, независимо от их распределения, логарифмические доходности $\textstyle r_t$ будут нескоррелированными гауссовыми случайными числами. Сгладим их среднее значение $\textstyle \bar{r}(t)$ при помощи HP-фильтра с различными параметрами $\textstyle \lambda$ и вычислим типичную величину $\textstyle Err\bigl[\bar{r}(t)\bigr]$ колебаний $\textstyle \bar{r}(t)$ вокруг среднего $\textstyle \bar{r}$ по всем эмпирическим точкам:

$Err\bigl[\bar{r}(t)\bigr]= \sqrt{\left\langle (\bar{r}(t)-\bar{r})^2\right\rangle }.$

(20)

Аналогично определяется ошибка вычисления сглаженной волатильности лага. Численные эксперименты показывают, что эти ошибки, с хорошей степенью точности, убывают с ростом параметра $\textstyle \lambda$ следующим образом:

$Err\bigl[\bar{r}(t)\bigr] \approx \frac{0.50\;\sigma}{\lambda^{1/8}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Err\bigl[\sigma(t)\bigr] \approx \frac{0.15\;\sigma}{\lambda^{1/8}},$

(21)

и практически не зависят от числа эмпирических точек $\textstyle n$ . Более того, ошибки не зависят и от типа распределения (в случае дискретной модели лагового блуждания). Малая степень 1/8 объясняет причину необходимости использования широкого диапазона для изменения параметра $\textstyle \lambda$ .

Соотношения (21) задают типичный коридор колебаний сглаженных величин $\textstyle \bar{r}(t)$ и $\textstyle \sigma(t)$ , которые являются флуктуациями и статистически не значимы в случае постоянства волатильности. Поэтому они будут нашими ориентирами, по крайней мере, на горизонтальных участках $\textstyle \sigma(t)$ .

Приведём типичный пример численного моделирования ( $\textstyle \sigma=1$ , $\textstyle n=1000$ ) для трёх значений $\textstyle \lambda$ ( $\textstyle \nu=\log_{10}\lambda$ ):

Более жирная линия соответствует $\textstyle \lambda=1000000$ ( $\textstyle \nu=6$ ), а тонкая - $\textstyle \lambda=1000$ ( $\textstyle \nu=3$ ). Сплошные горизонтальные "уровни значимости" определяют двойную ошибку $\textstyle \pm 2 Err[\bar{r}(t)]$ в случае $\textstyle \nu=6$ , а пунктирные - для $\textstyle \nu=3$ и $\textstyle \nu=9$ . В отличие от уровней значимости корреляционных коэффициентов, мы имеем гладкую величину $\textstyle \bar{r}(t)$ , которая может некоторое время "жить" вне заданного ошибкой диапазона. Тем не менее, соотношения (21) характеризуют значение типичных колебаний сглаженной величины для случайных данных.

Однако в ситуации нестационарности, которая нас, собственно, и интересует, необходимо выдерживать баланс между гладкостью и отсутствием излишнего сглаживания. Так, если $\textstyle \sigma(t)=1+0.5\cdot \sin (2\pi t/T)$ , где $\textstyle T$ - общая длительность эксперимента, получаем следующие варианты сглаживания волатильности, оцененной по модифицированной амплитуде размаха:

В данном случае оптимальным значением была $\textstyle \nu=6$ , так как $\textstyle \nu=3$ испытывает шумящие колебания вокруг истинной волатильности, а $\textstyle \nu=9$ - фактически не "ловит" синусоиду. Однако ситуация сильно ухудшается, если волатильность испытывает скачок. Так, пусть половину из $\textstyle n=1000$ "торговых дней" волатильность была $\textstyle \sigma=1\%$ , а вторую половину $\textstyle \sigma=2\%$ . Тогда сглаживания с различными $\textstyle \lambda$ дают такие результаты:

Видно, что в этом случае $\textstyle \nu=6$ существенно размывает ступеньку. Сглаживание с $\textstyle \nu=3$ размывает скачок волатильности существенно меньше, но зато даёт шумящие и незначимые колебания при постоянстве $\textstyle \sigma$ .

Корреляция разностей <<	Оглавление	>> Автокорреляция остатков

Пластичность волатильности:Выделение гладкой нестационарности

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты