Немного комплексных чисел

Материал из Synset

Дипольное излучение <<	Оглавление (Глава 5)	>> Произвольно движущийся заряд

$\textstyle \bullet$ Работая с напряжённостями электромагнитных волн, удобно использовать комплексные обозначения ( $\textstyle \imath^2=-1$ ). Так как на самом деле напряжённости действительны, в конечном выражении берётся действительная часть. Промежуточные же вычисления проводятся с комплексными величинами. Это часто упрощает выкладки.

Рассмотрим, например, эллиптически поляризованную волну (стр.\pageref{polarization_def}), распространяющуюся вдоль оси $\textstyle z$ . Её можно записать в следующем компактном виде:

$\mathbf{E} = (\mathbf{n}_x\,a+\imath\, \mathbf{n}_y\,b) e^{-\imath(\omega t-kz)},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf{n}_x$ , $\textstyle \mathbf{n}_y$ — единичные ортогональные векторы вдоль декартовых осей, и $\textstyle a$ , $\textstyle b$ — константы, определяющие амплитуду волны. Учитывая формулу Эйлера $\textstyle e^{\imath\phi}=\cos\phi+\imath\sin\phi$ , действительную часть этого выражения можно переписать следующим образом:

$\mathfrak{Re}\,(\mathbf{E}) = \mathbf{n}_x\,a\cos(\omega t-kz)+\mathbf{n}_y\,b\sin(\omega t-kz).$

Это и есть действительная напряжённость электрического поля волны с эллиптической поляризацией.

Мнимая единица в эйлеровском представлении равна $\textstyle \imath=e^{\imath \pi/2}$ . Поэтому умножение напряжённости поля в комплексной записи () на $\textstyle \imath$ приводит к сдвигу фазы волны на $\textstyle \pi/2$ . В частности, эллиптически поляризованную волну можно рассматривать, как суперпозицию (сумму) двух линейно поляризованных волн в перпендикулярных направлениях. При этом одна из этих волн должна быть сдвинута по фазе на $\textstyle \pi/2$ .

Рассмотрим в комплексных обозначениях эффект модуляции, когда происходит сложение двух волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами $\textstyle \omega_1$ и $\textstyle \omega_2$ . Определим среднюю частоту $\textstyle \omega_a=(\omega_1+\omega_2)/2$ и т.н. частоту модуляции $\textstyle \omega_m=(\omega_2-\omega_1)/2$ . Опуская для компактности зависимость от $\textstyle z$ , запишем суперпозицию (сложение) волн:

$ae^{-\imath\omega_1t}+ae^{-\imath\omega_2t} = ae^{-\imath(\omega_a-\omega_m)t}+ae^{-\imath(\omega_a+\omega_m)t} = a\,\left(e^{\imath\omega_m t}+e^{-\imath\omega_m t}\right)\,e^{-\imath\omega_a t}.$

Выражение в круглых скобках, в силу теоремы Эйлера, равно удвоенному косинусу. Поэтому результат суперпозиции имеет вид:

$2a\cos(\omega_m t)\,e^{-\imath\omega_a t}.$

Если исходные частоты близки $\textstyle (\omega_1\approx\omega_2)$ , то средняя частота $\textstyle \omega_a$ будет существенно больше частоты модулирования $\textstyle \omega_m$ . Поэтому результирующее колебание выглядит, как волна с частотой $\textstyle \omega_a$ и медленно изменяющейся амплитудой $\textstyle 2a\cos(\omega_m t)$ . Именно эти колебания амплитуды называются модуляцией.

$\textstyle \bullet$ Часто интерес представляет усреднение во времени некоторых выражений за период $\textstyle T=2\pi/\omega$ колебания волны. Среднее значение от произвольной функции $\textstyle f(t)$ вычисляется по следующей формуле:

$\overline{f} = \frac{1}{T}\int\limits^T_0 f(t)\,dt.$

Среднее значение от напряжённости плоской волны с любой поляризацией равно нулю. Действительно, т.к. $\textstyle e^{\pm 2\pi\imath}=1$ , имеем:

$\overline{e^{-\imath \omega t}} = \frac{1}{T}\int\limits^T_0 e^{-\imath\omega t} dt =-\frac{1}{\imath \omega T}\,e^{-\imath \omega t}\Bigr|^{2\pi/\omega}_0 = 0.$

Однако среднее значение от произведения (скалярного или векторного) напряжённостей может быть отлично от нуля. Пусть $\textstyle \mathbf{A}=\mathbf{A}_0 \,e^{-\imath\omega t}$ и $\textstyle \mathbf{B}=\mathbf{B}_0\, e^{-\imath\omega t}$ , где $\textstyle \mathbf{A}_0$ и $\textstyle \mathbf{B}_0$ — комплексные величины, не зависящие от времени. Тогда для средних справедливо следующее соотношение:

$\overline{\mathfrak{Re}(\mathbf{A})\,\mathfrak{Re}(\mathbf{B})} = \frac{1}{2}\, \mathfrak{Re}\,(\mathbf{A}\mathbf{B}^*)=\frac{1}{2}\, \mathfrak{Re}\,(\mathbf{A}^*\mathbf{B}).$

Действительно:

$\mathfrak{Re}(\mathbf{A})\,\mathfrak{Re}(\mathbf{B}) =\frac{\mathbf{A}+\mathbf{A}^*}{2}\,\frac{\mathbf{B}+\mathbf{B}^*}{2} = \frac{1}{4}\,(\mathbf{A}_0 e^{-\imath\omega t}+\mathbf{A}^*_0 e^{\imath\omega t})\,(\mathbf{B}_0 e^{-\imath\omega t}+\mathbf{B}^*_0 e^{\imath\omega t}).$

Перемножая скобки и проводя усреднение (отбросив равные нулю средние от $\textstyle e^{\pm 2\imath\omega t}$ ), получаем:

$\overline{\mathfrak{Re}(\mathbf{A})\,\mathfrak{Re}(\mathbf{B})} =\frac{1}{4}\,(\mathbf{A}_0\mathbf{B}^*_0+\mathbf{A}^*_0\mathbf{B}_0) = \frac{1}{2}\,\mathfrak{Re}(\mathbf{A}\mathbf{B}^*),$

где в последнем равенстве учтено, что при разложении комплексного числа на действительную и мнимую части (ниже индексы 1 и 2) имеем:

$\mathfrak{Re}(\mathbf{A}\,\mathbf{B}^*) = \mathfrak{Re}\bigl((\mathbf{A}_{1}+\imath\mathbf{A}_{2})(\mathbf{B}_{1}-\imath\mathbf{B}_{2})\bigr) =\mathbf{A}_{1}\mathbf{B}_{1}+\mathbf{A}_{2}\mathbf{B}_{2} = \mathfrak{Re}(\mathbf{A}^*\,\mathbf{B}).$

Аналогично расписывается $\textstyle \mathbf{A}_0\mathbf{B}^*_0+\mathbf{A}^*_0\mathbf{B}_0$ для $\textstyle \mathbf{A}=\mathbf{A}_{0_1}+\imath\mathbf{A}_{0_2}$ и для $\textstyle \mathbf{B}$ .

Найдём, например, среднее от квадрата напряжённости электрического поля эллиптически поляризованной волны:

$\overline{\mathbf{E}^2} = \frac{1}{2}\,\mathfrak{Re}(\mathbf{E}\mathbf{E}^*) = \frac{1}{2}\,(\mathbf{n}_x\,a+\imath\, \mathbf{n}_y\,b)(\mathbf{n}_x\,a-\imath\, \mathbf{n}_y\,b)=\frac{a^2+b^2}{2}.$

Естественно, это же значение можно получить и прямым усреднением выражения $\textstyle E^2_x+E^2_y=a^2\cos^2(\omega t-kz)+b^2\sin^2(\omega t-kz)$ , записанного в действительных обозначениях.

$\textstyle \bullet$ Для построения общего решения волнового уравнения удобно использовать фурье-преобразование. Любую функцию координат можно представить в виде интеграла:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \int \mathbf{E}(\mathbf{k}, t)\,e^{\imath \mathbf{k}\mathbf{r}} \,d^3\mathbf{k}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{E}(\mathbf{k}, t) = \int \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)\,e^{-\imath \mathbf{k}\mathbf{r}} \,\frac{d^3\mathbf{r}}{(2\pi)^3},$

где записаны прямое и обратное фурье-преобразования. Хотя мы обозначаем $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$ и $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k}, t)$ одинаковыми буквами, это, естественно, различные функции, которые мы будем отличать переменной в аргументе. Подынтегральная функция $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k}, t)$ является комплексной. Чтобы напряжённость электрического поля $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{r}, t)$ была действительной, необходимо, чтобы при её комплексном сопряжении менялся знак при векторе $\textstyle \mathbf{k}$ в аргументе ( $\textstyle \lessdot$ H):

$\mathbf{E}^*(\mathbf{k}, t) = \mathbf{E}(-\mathbf{k}, t).$

(EQN)

Подставим фурье-разложение в волновое уравнение (), стр.\pageref{wave_equation}:

$\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \Delta \mathbf{E} = 0.$

Под интегралом лапласиан действует только на $\textstyle e^{\imath \mathbf{k}\mathbf{r}}$ и даёт множитель $\textstyle (\imath \mathbf{k})^2=-\mathbf{k}^2$ . В результате волновое уравнение выполняется тождественно, если справедливо ( $\textstyle \lessdot$ H) следующее уравнение для фурье-образа напряжённости поля:

$\frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{k}, t)}{\partial t^2} + \omega^2 \mathbf{E}(\mathbf{k}, t) = 0,$

где $\textstyle \omega^2=\mathbf{k}^2$ . Это уравнение для гармонического осциллятора со следующим решением: $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k}, t) = \mathbf{E}_1(\mathbf{k})\,e^{-\imath \omega t}+\mathbf{E}_2(\mathbf{k})\,e^{\imath \omega t}.$ Поэтому:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \int \left[\mathbf{E}_1(\mathbf{k})\,e^{\imath (\mathbf{k}\mathbf{r}-\omega t)}+\mathbf{E}_2(\mathbf{k})\,e^{\imath (\mathbf{k}\mathbf{r}+\omega t)}\right] \,d^3\mathbf{k}.$

Разобьём интеграл на два и во втором сделаем замену $\textstyle \mathbf{k}\mapsto -\mathbf{k}$ ( $\textstyle \lessdot$ H). В результате получим общее решение волнового уравнения:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \int \left[\mathbf{E}(\mathbf{k})\,e^{\imath (\mathbf{k}\mathbf{r}-\omega t)}+\mathbf{E}^*(\mathbf{k})\,e^{-\imath (\mathbf{k}\mathbf{r}-\omega t)}\right] \,d^3\mathbf{k},$

(EQN)

которое явным образом действительно, хотя и зависит от комплексной функции $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})$ . Она связана с "константами" решения уравнения осциллятора следующим образом: $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})=\mathbf{E}_1(\mathbf{k})$ , $\textstyle \mathbf{E}^*(\mathbf{k})=\mathbf{E}_2(-\mathbf{k})$ , т.е. условие действительности электрического поля $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)$ приводит к тому, что решение определяется одной комплексной функцией $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})$ . Различный её выбор будет приводить к различным вариантам решения волнового уравнения.

Чтобы полностью определить решение, необходимо задать начальное значение поля и значение его производной по времени, например, в момент времени $\textstyle t=0$ :

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, 0) = \int \left[\mathbf{E}(\mathbf{k})\,e^{\imath\mathbf{k}\mathbf{r}}+\mathbf{E}^*(\mathbf{k})\,e^{-\imath\mathbf{k}\mathbf{r}}\right] \,d^3\mathbf{k},\;$

$\frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{r}, 0)}{\partial t} = \int \left[\mathbf{E}(\mathbf{k})\,e^{\imath\mathbf{k}\mathbf{r}}-\mathbf{E}^*(\mathbf{k})\,e^{-\imath\mathbf{k}\mathbf{r}}\right]\,\frac{\omega}{\imath} \,d^3\mathbf{k}.$

Если поле и его производная заданы, то можно при помощи обратного фурье-интегрирования найти действительную и мнимую части функции $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})$ . Подставив их в общее решение (), мы получим зависимость электрического поля от времени.

Абсолютно аналогично проводятся вычисления для магнитного поля:

$\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \int \left[\mathbf{B}(\mathbf{k})\,e^{\imath (\mathbf{k}\mathbf{r}-\omega t)}+\mathbf{B}^*(\mathbf{k})\,e^{-\imath (\mathbf{k}\mathbf{r}-\omega t)}\right] \,d^3\mathbf{k}.$

(EQN)

Необходимо помнить, что, решая волновое уравнение, мы "теряем связь" между электрическим и магнитным полем. Чтобы её найти, подставим общие решения (),() в исходные уравнения Максвелла в вакууме для роторов (стр.\pageref{wave_equation}). В результате появляется следующая связь между фурье-образами напряжённостей поля:

$\omega\,\mathbf{B}(\mathbf{k}) = \mathbf{k}\times \mathbf{E}(\mathbf{k}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega\,\mathbf{E}(\mathbf{k}) = -\mathbf{k}\times \mathbf{B}(\mathbf{k}).$

(EQN)

Поэтому функции $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})$ и $\textstyle \mathbf{B}(\mathbf{k})$ должны быть перпендикулярны друг другу и вектору $\textstyle \mathbf{k}$ . Напомним также, что $\textstyle \omega=|\mathbf{k}|$ .

Решения (), () имеют смысл суммы плоских монохроматических волн с различной частотой $\textstyle \omega$ и волновым вектором $\textstyle \mathbf{k}$ . Коэффициенты при этих волнах $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})$ и $\textstyle \mathbf{B}(\mathbf{k})$ являются их амплитудами. Для каждого волнового вектора должны выполняться условия ортогональности ().

При помощи формулы Эйлера $\textstyle e^{\imath \phi}=\cos\phi+\imath\sin\phi$ и разложения амплитуд на действительную и мнимую части $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})=\mathbf{E}_R(\mathbf{k})+\imath\mathbf{E}_I(\mathbf{k})$ решение можно переписать через косинусы и синусы:

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = 2\int \left[\,\mathbf{E}_R(\mathbf{k})\cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}) + \mathbf{E}_I(\mathbf{k})\sin(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})\, \right] \,d^3\mathbf{k}.$

Выражение для плоской волны получается, если функция $\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{k})$ пропорциональна дельта-функции Дирака. Например, при распространении вдоль оси $\textstyle z$ можно выбрать $\textstyle \mathbf{E}(k_x,k_y,k_z)=\mathbf{E}_0\delta(k_x)\delta(k_y)\delta(k_z-k)$ .

$\textstyle \bullet$ В качестве примера работы с комплексными обозначениями рассмотрим напряжённость ограниченной электромагнитной волны (световой пучок), распространяющейся вдоль оси $\textstyle z$ . Пусть в плоскости $\textstyle x,y$ амплитуда напряженностей поля примерно постоянна в окрестности оси $\textstyle z$ , а при удалении от неё постепенно уменьшается, падая на больших радиальных расстояниях до нуля. Приближенное выражение для напряжённостей подобной волны может быть записано следующим образом \cite{Jackson_1965}:

$\mathbf{E}= \bigl\{ (\mathbf{n}_x\pm \imath \mathbf{n}_y)F + \frac{\mathbf{n}_z}{k}(\imath \partial_x F \mp \partial_y F)\bigr\} e^{\imath(kz-\omega t)},\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\mp \imath\mathbf{E},$

(EQN)

где функция $\textstyle F=F(x,y)$ задаёт профиль амплитуды волны в плоскости $\textstyle x,y$ , $\textstyle \partial_x F=\partial F/\partial x$ и $\textstyle \mathbf{n}_x$ , $\textstyle \mathbf{n}_y$ , $\textstyle \mathbf{n}_z$ — единичные ортогональные базисные векторы. Два знака ( $\textstyle \pm$ ) в () соответствуют правой и левой круговой поляризации. Если $\textstyle F=const$ , получается ().

Несложно проверить, что $\textstyle \nabla\mathbf{E}=0$ и $\textstyle \nabla\mathbf{B}=0$ . Уравнения для роторов выполняются, если считать, что вторые производные от функции $\textstyle F$ много меньше первых производных и самой функции $\textstyle F$ (плавное изменение амплитуды). Для простоты положим, что $\textstyle F=F(\rho)$ , где $\textstyle \rho=\sqrt{x^2+y^2}$ — расстояние от оси $\textstyle z$ . Гладкость функции $\textstyle F(\rho)$ означает:

$\frac{F''}{k^2} \ll \frac{F'}{k} \ll F.$

(EQN)

Запишем среднее значение плотности энергии:

$W = \frac{1}{2}\frac{\mathbf{E}\mathbf{E}^*+\mathbf{B}\mathbf{B}^*}{8\pi}=\frac{F^2(\rho)}{4\pi}+\frac{F'^2(\rho)}{8\pi k^2}\approx \frac{F^2(\rho)}{4\pi},$

где в приближенном равенстве учтено условие малости (). Это означает, что в выражении $\textstyle F^2+F'^2/k^2=F^2\,(1+(F'/k F)^2)\approx F^2$ мы пренебрегаем вторым порядком малости по $\textstyle F'/k F$ (аналогично пренебрежению вторыми производными). Плотность импульса ограниченной плоской волны равна:

$\mathbf{P}=\frac{1}{2}\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}^*}{4\pi} = \frac{F^2(\rho)}{4\pi}\,\mathbf{n}_z\pm \frac{F(\rho)F'(\rho)}{4\pi k \rho}\, (y\mathbf{n}_x-x\mathbf{n}_y),$

где также проведено усреднение по времени. При интегрировании по объёму цилиндра плотности импульса последнее слагаемое равно нулю, а первое даёт суммарный импульс:

$\int\mathbf{P}\,dV =\frac{ \mathbf{n}_z}{4\pi} \int\limits^R_0\int\limits^{2\pi}_0\int\limits^{L}_0 F^2(\rho)\,\rho d\rho \,d\phi\, dz =\frac{\mathbf{n}_z\,L}{2}\int\limits^R_0 F^2(\rho)\,\rho d\rho = \mathbf{n}_z\int W dV,$

где $\textstyle L$ — длина цилиндра по оси $\textstyle z$ , а $\textstyle R$ — радиус основания цилиндра.

Найдём теперь плотность момента импульса (стр. \pageref{conserv_mom_mom_em}):

$\mathbf{r}\times\mathbf{P}= \frac{F^2}{4\pi}\,(y\mathbf{n}_x-x\mathbf{n}_y) \pm \frac{FF'}{4\pi k}\, (z\mathbf{n}_\rho - \rho\mathbf{n}_z),$

где $\textstyle \mathbf{n}_\rho=(x\mathbf{n}_x+y\mathbf{n}_y)/\rho$ — единичный вектор в радиальном к оси $\textstyle z$ направлении. При интегрировании этого выражения по объёму цилиндра равны нулю все слагаемые, за исключением последнего:

$\int[\mathbf{r}\times\mathbf{P}]\,dV= \mp \mathbf{n}_z\,\frac{L}{2 k}\int\limits^R_0 FF'\,\rho^2 d\rho = \mp \frac{\mathbf{n}_z\,L}{2k}\,\Bigl\{\frac{F^2(\rho)\rho^2}{2}\Bigr|^R_0 \;-\; \int\limits^R_0 F^2(\rho)\,\rho d\rho\Bigr\},$

где выполнено интегрирование по частям. Так как мы рассматриваем ограниченную плоскую волну с конечной энергией на единицу длины $\textstyle L$ , то функция $\textstyle F(\rho)$ при больших $\textstyle \rho$ должна убывать по крайней мере, как $\textstyle 1/\rho^{1+\epsilon}$ , $\textstyle \epsilon>0$ . Поэтому поверхностный член при интегрировании по частям при больших радиусах цилиндра $\textstyle R$ стремится к нулю. В результате суммарный момент прямо пропорционален энергии волны и обратно пропорционален её частоте:

$\int[\mathbf{r}\times\mathbf{P}]\,dV = \pm \frac{\mathbf{n}_z}{\omega}\,\int W dV.$

(EQN)

Подобное соотношение выполняется и в квантовой теории для фотона со спином $\textstyle \pm \mathbf{\hbar}$ и энергией $\textstyle \hbar \omega$ .

Таким образом, если пластинка поглощает падающую волну и имеет размер больший, чем характерная ширина светового пучка, то она постоянно получает момент импульса волны (ниже левый рисунок).

Чуть иначе расчёт выглядит, если пластина находится в зоне плоской волны. Чтобы найти момент импульса пластины, необходимо найти момент импульса финального распределения напряжённости в поле волны (правый рисунок выше). Для этого надо окружить пластинку и поле цилиндром достаточно большого радиуса так, чтобы его боковая поверхность находилась в зоне плоской волны с постоянной амплитудой ( $\textstyle F=const$ ). Слева от пластинки интегральный момент импульса равен нулю. Справа он вычисляется аналогично моменту светового пучка, однако при этом падение амплитуды волны происходит не при удалении от оси $\textstyle z$ , а при приближении к ней (тень от пластинки). В итоге снова получается ().

Дипольное излучение <<	Оглавление (Глава 5)	>> Произвольно движущийся заряд

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Немного комплексных чисел

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты