Нелокальность законов сохранения

Материал из Synset

Ускоренное движение гироскопа <<	Оглавление (Глава 3)	>> Равноускоренная система отсчета

В теории относительности сохранение момента импульса совокупности частиц в одной инерциальной системе отсчёта в общем случае не влечёт за собой его сохранения в других инерциальных системах. Для составных систем преобразования (), (), стр.\pageref{moment_R_L_R}, являются лишь первым приближением. Этот факт, по-видимому, первым отметил В.А. Фок \cite{Fock}. Действительно, постоянство момента импульса (и других сохраняющихся величин) в данной системе отсчёта выражается в терминах, синхронизированных во всём пространстве часов. Для системы частиц, находящихся в различных точках пространства, одновременные события в одной системе будут неодновременными в другой.

Чтобы получить преобразования Лоренца для момента импульса совокупности частиц (например, составляющих вращающийся гироскоп), необходимо просуммировать преобразования (), () по всем частицам. Величины, находящиеся в правой части, соответствуют времени $\textstyle t'$ . Их сумма даст момент импульса и центр энергии в момент времени $\textstyle t'$ . Однако, если $\textstyle t'$ фиксировано, в левой части суммируемые величины $\textstyle \mathbf{L}$ и $\textstyle \mathbf{R}$ относятся к различным моментам времени. Для $\textstyle k$ -той частицы в силу преобразований Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_vec0}, имеем:

$t_k=\mathbf{v}\mathbf{r}_k+\frac{t'}{\gamma}.$

Так как положения частиц $\textstyle \mathbf{r}_k$ вращающегося тела различны, то различными будут и времена $\textstyle t_k$ . Поэтому такая сумма не равна суммарному моменту импульса в момент времени $\textstyle t$ :

$\sum\mathbf{L}_k(\mathbf{v}\mathbf{r}_k+t'/\gamma) =\sum \gamma\,(\mathbf{L}'(t')-\mathbf{v}\times\mathbf{R}'(t')) - \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'(t')).$

Аналогично можно зафиксировать время $\textstyle t$ в левой части суммарных преобразований. Тогда слагаемые в правой части будут относиться к различным моментам времени.

В результате преобразования для суммарных величин выглядят существенно более сложными, чем уравнения (), (). Последние справедливы для одиночной частицы или как первое приближение по угловой скорости вращения. В общем случае оказывается, что, хотя $\textstyle \mathbf{L}'$ и $\textstyle \mathbf{R}'$ постоянны в системе $\textstyle S'$ , они будут изменяться со временем в системе $\textstyle S$ . Естественно, это относится не только к моменту импульса.

Во избежание недоразумений, подчеркнём, что речь идёт о механическом моменте, определённом как $\mathbf{L}=\sum \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ . Его несохранение не означает, что нельзя построить некоторую величину (включающую в себя $\mathbf{L}$ ), которая будет постоянна во всех инерциальных системах отсчёта.

Рассмотрим для примера два массивных шарика, соединённых лёгким стержнем. Пусть в системе $\textstyle S'$ такая гантелька вращается с угловой скоростью $\textstyle \omega_0$ в плоскости $\textstyle (x', y')$ . Центр вращения совпадает с центром масс и началом системы отсчёта. Траектория одного шарика равна

$x'=r_0\,\cos(\phi+\omega_0 t'),\;\;\;\;\;\;\;\;y'=r_0\,\sin(\phi+\omega_0 t'),$

(EQN)

где $\textstyle \phi$ , $\textstyle \omega_0$ , $\textstyle r_0$ — константы. Второй шарик получается заменой $\textstyle \phi\mapsto \phi+\pi$ или $\textstyle r_0\mapsto -r_0$ . Модули скорости шариков одинаковы и равны $\textstyle \omega_0r_0$ . Момент импульса гантельки, перпендикулярный плоскости $\textstyle (x', y')$ , равен:

$L_0 = \frac{\mu\,\omega_0r^2_0}{\sqrt{1-(\omega_0r_0)^2}},$

(EQN)

где $\textstyle \mu=2m$ — суммарная масса шариков.

Найдём, как выглядит эта же гантелька для неподвижных наблюдателей в системе $\textstyle S$ , относительно которой $\textstyle S'$ движется со скоростью $\textstyle v$ вдоль оси $\textstyle x$ . Подставим в траекторию () преобразования Лоренца:

$\gamma\,[x-vt]=r_0\,\cos\bigl(\phi+\omega_0\gamma \,[t- vx]\,\bigr),\;\;\;\;\;\; y=r_0\,\sin\bigl(\phi+\omega_0\gamma\,[t- vx]\,\bigr).$

(EQN)

Введём координату $\textstyle \tilde{x}=x-vt$ относительно начала системы отсчёта $\textstyle S'$ :

$\gamma\,\tilde{x}=r_0\,\cos(\phi+\omega t-\omega_0v\, \gamma \tilde{x}),\;\;\;\;\;\;\;\; y=r_0\,\sin(\phi+\omega t-\omega_0v\,\gamma\tilde{x}),$

(EQN)

где $\textstyle \omega=\omega_0/\gamma$ — круговая частота в системе $\textstyle S$ . Первое трансцендентное уравнение позволяет найти $\textstyle \tilde{x}$ . Второе уравнение даёт $\textstyle y$ .

Ниже на рисунке изображены положения шариков и стержня в различные моменты времени. При вращении стержень изгибается, что связано с относительностью одновременности.

Когда в системе $\textstyle S'$ стержень расположен вертикально, то оба шарика находятся на оси $\textstyle y'$ . Эти два события имеют одинаковые координаты $\textstyle x'$ , поэтому будут одновременны и для наблюдателей в $\textstyle S$ . Поэтому в этот момент вид стержня в обоих системах отсчёта совпадает. Иначе выглядит ситуация, когда в системе $\textstyle S'$ стержень занимает горизонтальное положение и шарики пересекают ось $\textstyle x'$ . Эти события будут неодновременны в системе $\textstyle S$ , где правый шарик ось $\textstyle x$ ещё не пересёк, а левый это уже сделал.

Дифференцируя (), получаем скорость $\textstyle \mathbf{u}=\{u_x,\;u_y\}$ шарика:

$u_x = \frac{v-\omega_0 y}{1-v\omega_0 y},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y = \frac{\omega_0\, \tilde{x}}{1-v\omega_0 y},$

для которой фактор Лоренца равен:

$\gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2_x-u^2_y}}= \frac{\gamma \,(1-v\omega_0 y)}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}},$

где $\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}$ . При помощи вектора $\textstyle \tilde{\mathbf{r}}=\mathbf{r}-\mathbf{v}t=\{\tilde{x}, y\}$ можно в суммарном моменте импульса относительно начала координат системы $\textstyle S$ выделить момент относительно мгновенного положения начала системы $\textstyle S'$ , который мы будем помечать тильдой:

$\mathbf{L}= \sum m\gamma_u \,[\mathbf{r}\times\mathbf{u}] = \tilde{\mathbf{L}}+[\mathbf{v}\times\mathbf{P}]\,t,$

(EQN)

где "мгновенный" момент и суммарный импульс равны:

$\tilde{\mathbf{L}}=\sum m\gamma_u \,[\tilde{\mathbf{r}}\times\mathbf{u}],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{P}=\sum\mathbf{p}.$

Вектор $\textstyle \tilde{\mathbf{L}}$ направлен вдоль оси $\textstyle z$ и имеет длину:

$\tilde{L}= \gamma L_0 - \sum \,\frac{m\gamma\,( \omega_0 v^2\,\gamma^2 \tilde{x}^2 + v\,y ) }{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}},$

(EQN)

где $\textstyle L_0$ — момент вращения () в системе $\textstyle S'$ . Слагаемое $\textstyle \gamma L_0$ соответствует преобразованию момента в соответствии с соотношением (), не учитывающим относительность одновременности для распределённой системы. Аналогично при помощи $\textstyle \tilde{\mathbf{r}}$ можно разделить на две части вектор $\textstyle \mathbf{R}$ :

$\mathbf{R}=\sum (E \mathbf{r}-\mathbf{p}t) = (\mathbf{v}\mathcal{E}-\mathbf{P}) t + \sum E \tilde{\mathbf{r}},$

(EQN)

где $\textstyle \mathcal{E}=\sum E$ — суммарная энергия движения. Последний член будем помечать тильдой. Его отношение к $\textstyle \mathcal{E}$ даёт радиус-вектор центра энергии относительно мгновенного положения системы $\textstyle S'$ . Компоненты суммарного вектора $\textstyle \tilde{\mathbf{R}}$ имеют вид:

$\tilde{\mathbf{R}} = \sum E \tilde{\mathbf{r}}= \sum\frac{m\gamma\{\tilde{x}-v\omega_0 \, y\tilde{x},\;\;y - v\omega_0 \,y^2\}}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}}.$

(EQN)

Запишем также выражения для суммарной энергии и импульса:

$\mathcal{E}=\sum\frac{m\gamma (1-v\omega_0 \, y)}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}}, \;\;\;\;\;\;\; \mathbf{P} = \sum\frac{m\gamma\{v-\omega_0 y,\; \omega_0 \tilde{x}\}}{\sqrt{1-(r_0\omega_0)^2}}.$

(EQN)

Для гантельки в этих соотношениях суммы содержат по два слагаемых для каждого из шариков.

Ниже на рисунке представлена зависимость от времени мгновенного момента импульса $\textstyle \tilde{L}$ и траектория на плоскости $\textstyle x,y$ мгновенного центра энергии $\textstyle \tilde{\mathbf R}/\mathcal{E}$ относительно начала системы $\textstyle S'$ и суммарного импульса. При этом $\textstyle v=0.8$ , $\textstyle w_0=0.6$ , $\textstyle m=r_0=1$ . Время изменяется от 0 до $\textstyle \pi/\omega$ .

Колебания момента импульса в неподвижной системе отсчёта связаны с быстрым вращением шариков в системе $\textstyle S'$ . Раскладывая косинус в уравнении () в ряд по $\textstyle \omega_0 v\gamma \tilde{x}$ , а затем $\textstyle \tilde{x}$ в ряд по $\textstyle \omega_0$ , имеем:

$\gamma \tilde{x}\approx r_0\,c + r^2_0 \omega_0 v\,s\,c + O(\omega^2r^3_0),\;\;\;\;\;\;\; y\approx r_0\,s -r^2_0\,\omega_0 v\,c^2+ O(\omega^2r^3_0).$

где $\textstyle c=\cos(\phi+\omega t)$ , $\textstyle s=\sin(\phi+\omega t)$ . При суммировании в () нечётные степени $\textstyle r_0$ сокращаются, так как для одного шарика будет " $\textstyle r_0$ ", а для второго — " $\textstyle -r_0$ ". Поэтому момент в этом приближении постоянен:

$\tilde{L} \approx \gamma L_0 + O(\omega^2_0 r^3_0).$

Поправка к результату преобразования () совершает осцилляторные колебания с частотой $\textstyle 2\omega$ . Центр энергии относительно начала системы $\textstyle S'$ в ведущем приближении совпадает с результатом преобразования ():

$\frac{\tilde{\mathbf{R}}}{\mathcal E} \approx r^2_0\gamma \omega_0\,\bigl\{0,\;- v \bigr\}.$

Суммарная энергия движения в системе $\textstyle S$ зависит от времени следующим образом:

$\frac{\mathcal{E}}{\mu \gamma} \approx 1 + \frac{r^2_0 \omega^2_0}{2} + r^2_0 \omega^2_0v^2 \cos^2(\omega t)+...,$

а суммарный импульс не равен $\textstyle \mathbf{v}\mathcal{E}$ :

$\frac{\mathbf{P}}{\mathcal E} \approx \mathbf{v} + \frac{\omega_0^2 r^2_0 v}{2\gamma^2}\,\, \Bigl\{1+\cos(2\omega t),\;\; \gamma^2\sin(2\omega t)\Bigr\}+...,$

что приводит не только к колебаниям вектора $\textstyle \mathbf{R}$ вслед за центром энергии, но и к увеличению его длины со временем (). Все эти эффекты проявляются только при быстром вращении, когда параметр $\textstyle \omega_0$ велик. При малых $\textstyle \omega_0$ справедливы преобразования (),().

Полученные соотношения для гантельки позволяют найти суммарные величины, характеризующие вращающееся кольцо или диск. Пусть кольцо состоит из множества "гантелек", равномерно заполняющих плоскость кольца в системе $\textstyle S'$ . В системе $\textstyle S$ внешний вид этого диска в любой момент времени изображён на рисунке 20.

Внешний вид кольца не меняется со временем, и всегда наблюдается сгущение масс в нижней части кольца в направлении векторного произведения $\textstyle \mathbf{v}\times\mathbf{L}$ , где момент импульса $\textstyle \mathbf{L}$ перпендикулярен рисунку.

Уравнения () для определения $\textstyle \tilde{x}$ и $\textstyle y$ трансцендентны:

$\frac{\gamma\tilde{x}}{r_0}=\cos\bigl(\phi+\omega t-\alpha\, \frac{\gamma \tilde{x}}{r_0}\bigr),\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{y}{r_0} = \sin\bigl(\phi+\omega t-\alpha\, \frac{\gamma \tilde{x}}{r_0}\bigr),$

где $\textstyle \alpha=\omega_0 v r_0$ . При суммировании вклада каждого шарика необходимо перейти к интегрированию по углу $\textstyle \phi$ ("усреднению"):

$\left\langle f\right\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{2\pi}_0 f(\phi)\,d\phi.$

(EQN)

Можно показать[Thomas], что для нечётных степеней $\textstyle \tilde{x}$ средние равны нулю:

$\left\langle \tilde{x}\right\rangle =\left\langle \tilde{x}y\right\rangle =0,$

а ненулевые значения имеют вид:

$\left\langle y\right\rangle =-\frac{\omega_0 v r^2_0}{2}, \;\;\;\;\;\;\left\langle \tilde{x}^2\right\rangle =\frac{r^2_0}{2\gamma^2}, \;\;\;\;\;\;\left\langle y^2\right\rangle =\frac{r^2_0}{2}.$

При помощи этих соотношений несложно найти момент импульса и центр энергии летящего в системе $\textstyle S$ вращающегося кольца. Все суммы в соотношениях (), (), () заменяются на интеграл по углу $\textstyle \phi$ .

Суммарная масса кольца должна равняться $\textstyle \mu$ , так что:

$\sum m \mapsto \frac{1}{2\pi} \int\limits^{2\pi}_0 \mu d\phi = \mu.$

Суммарная энергия и импульс кольца равны:

$\mathcal{E}= \frac{\mu\gamma}{\sqrt{1-(\omega_0 r_0)^2}} + \frac{\gamma L_0 v^2\omega_0}{2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{P}=\mathbf{v}\mathcal{E}+\mathbf{v}\,\frac{L_0\omega_0}{2\gamma}.$

В отличие от гантельки, они не зависят от времени. Однако релятивистская связь $\textstyle \mathbf{P}=\mathbf{v}\mathcal{E}$ для суммарных величин не выполняется.

Усредняя (), приходим к выводу, что суммарный момент импульса совпадает с результатом преобразований ():

$L = \tilde{L} = \gamma L_0.$

Момент вращения симметричного кольца будет постоянным в обеих системах отсчёта. Это же будет справедливо и для диска, ось вращения которого перпендикулярна относительной скорости. Заметим, что этот результат справедлив, только когда угловая скорость вращения перпендикулярна скорости $\textstyle \mathbf{v}$ . В общем же случае момент импульса линейно увеличивается со временем \cite{Stepsnov_Thomas}. При этом член, зависящий от времени, имеет второй порядок малости по угловой скорости вращения кольца.

Вектор $\textstyle \tilde{\mathbf{R}}$ соответствует преобразованию (), а исходный вектор $\textstyle \mathbf{R}$ без тильды линейно растёт со временем:

$\tilde{\mathbf{R}} = L_0\gamma\,v\,\bigl\{0, -1\bigr\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{R} = L_0\gamma v\,\bigl\{-\frac{\omega_0 t}{2\gamma^2}, -1\bigr\},$

Изменение вектора $\textstyle \mathbf{R}$ со временем связано с тем, что суммарный импульс не равен суммарной энергии, умноженной на скорость: $\textstyle \mathbf{P}\neq \mathbf{v}\mathcal{E}$ . В результате, хотя центр энергии относительно начала системы $\textstyle S'$ постоянен, вектор $\textstyle \mathbf{R}$ , в силу (), будет линейно увеличиваться со временем.

Тем не менее при малых угловых скоростях с точностью до первого порядка малости по $\textstyle \omega_0$ можно считать, что векторы $\textstyle \mathbf{R}$ и $\textstyle \mathbf{L}$ имеют постоянные компоненты. В этом приближении эффект относительности одновременности можно не учитывать и пользоваться преобразованиями (), () и для суммарных величин. В рамках этого приближения найдём уравнение, описывающее изменение момента импульса вращающегося гироскопа, если он изменяет свою скорость поступательного движения.

Ускоренное движение гироскопа <<	Оглавление (Глава 3)	>> Равноускоренная система отсчета

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Нелокальность законов сохранения

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты