Неинерциальные координаты и время

Материал из Synset

Время и расстояние в равноускоренной системе <<	Оглавление	>> Закон Кулона

$\textstyle \bullet$ Найдём явный вид преобразований координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной $\textstyle (x,t)$ и неинерциальной $\textstyle (x',t')$ системах отсчёта. При этом $\textstyle (x',t')$ — это результаты наблюдателя в $\textstyle x'=0$ (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние $\textstyle x'$ до которого известно из радиолокационных измерений (4.5).

Время события $\textstyle t$ связано со временем второго $\textstyle t''$ и первого корабля $\textstyle t'$ следующим образом:

$t=\frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}\,\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right) = \frac{1}{a}\,\mathrm{sh}\,at') \,e^{ax'}.$

Мы предполагаем, что, как только произошло событие, на первый корабль посылается световой сигнал. Время события по часам $\textstyle t'$ записано с учётом корректировки на время его распространения (4.8): $\textstyle t'=t'' e^{-ax'}$ .

Координата события совпадает с координатой второго корабля (4.4):

$ax=f(t)=(1+ax_0)\mathrm{ch}\,\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right)-1 = \mathrm{ch}\,at')e^{ax'} - 1.$

В результате, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта можно записать в следующем виде:

$at=\mathrm{sh}\,at')\,e^{ax'},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ax = \mathrm{ch}\,at')\,e^{ax'}-1.$

(4.12)

Эти преобразования получил Кристиан Мёллер, при помощи рассуждений, существенно отличающихся от тех, которые были использованы выше. Заметим так же, что в исходной версии преобразований Мёллера использовалась другая параметризация координаты:

$x' \mapsto x'_m=(e^{ax'}-1)/a,$

Фактически это лишь новый способ нумерации точек пространства в данный (для наблюдателя в начале координат) момент времени.

$\textstyle \bullet$ Важно понимать, что преобразования (4.12) имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. У наблюдателей в инерциальной системе отсчёта существует единое синхронизированное время. Поэтому преобразования Лоренца одинаковы для всех таких наблюдателей. Именно в силу этого, обычно, в каждой инерциальной системе отсчёта представляют по одному наблюдателю, "размазанному" во всему пространству.

В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает своим собственным временем. Синхронизированное время ввести в такой системе отсчёта без "разрушения" относительной неподвижности её точек нельзя. Об удалённых событиях неинерциальный наблюдатель может судить только по распространению от них некоторой информации, проведя корректировку времени при помощи предварительных радиолокационных измерений расстояния. Поэтому

преобразования (4.12) относятся к конкретному неинерциальному наблюдателю и произвольному инерциальному.

Это "привязанность" преобразований к конкретным наблюдателям является очень важной особенностью неинерциальных систем отсчёта.

Имея преобразования (4.12), при помощи прямого обращения, несложно найти обратные преобразования:

$at'=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+a\,(x+t)}{1+a\,(x-t)},\;\;\;\;\;\;\;\;\;ax'=\frac{1}{2}\,\ln\bigl[(1+ax)^2-(at)^2\bigr].$

(4.13)

То, что прямые и обратные преобразования имеют различную функциональную форму, является отражением неравноправности инерциального и неинерциального наблюдателей.

Запишем так же интервал между событиями в координатах неинерциального наблюдателя. Подставляя (4.12) в $\textstyle ds^2 = dt^2-dx^2$ , имеем:

$ds^2 =e^{2ax'}\bigl[dt'^2-dx'^2\bigr].$

(4.14)

Распространение света соответствует нулевому интервалу: $\textstyle ds=0$ (стр.\pageref{bk_h_ds_inv}). Если свет движется вдоль оси $\textstyle x$ , то его траектория в координатах $\textstyle (x',t')$ является линейной функцией. Именно это и закладывалось в определение радиолокационного расстояния $\textstyle x'$

Если перейти к координате $\textstyle x'_m$ , то получится интервал Мёллера:

d s 2 = (1 + a x') 2 d t' 2 - d x' 2 .

В этих координатах пространственная часть имеет такой же вид, как и в инерциальной системе, а собственное время зависит от положения в неинерциальной системе отсчёта.

$\textstyle \bullet$ Выясним физический смысл сингулярности, возникающей в (4.13), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в начале системы $\textstyle S'$ события, расположенные по ходу движения $\textstyle x'>0$ , соответствуют в системе $\textstyle S$ области $\textstyle ax>\sqrt{1+(at)^2}-1$ . События в обратном направлении видны, только если $\textstyle x>t-1/a$ :

Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в $\textstyle (x,t)$ , "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени $\textstyle T$ . Это происходит, когда уравнение:

$\frac{1}{a}\,\left(\sqrt{1+(aT)^2}-1\right) - x = T-t$

имеет решение относительно времени прихода $\textstyle T$ . Несложно проверить, что при $\textstyle x=t-1/a$ время $\textstyle T$ обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя, конечно, она всё время остаётся меньше единицы). В результате события, находящиеся сзади далее, чем точка $\textstyle t-1/a$ , в системе $\textstyle S'$ видны не будут.

При помощи преобразований (4.12) несложно записать выражение для траектории точки $\textstyle x=0$ системы $\textstyle S$ относительно наблюдателя в $\textstyle x'=0$ :

$x'=-\frac{1}{a}\ln[\mathrm{ch}\,at')]\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;u'=-\frac{dx'}{dt'}=-\mathrm{th}\,at') = -\frac{at}{\sqrt{1+(at)^2}}.$

В последнем равенстве вместо $\textstyle t'$ подставлено время часов, находящихся в $\textstyle x'=0$ , равное $\textstyle \mathrm{sh}\,at')=at$ для наблюдателей в $\textstyle S$ . Из этого соотношения следует, что скорость наблюдателя в $\textstyle x=0$ относительно $\textstyle S'$ равна скорости (с обратным знаком) наблюдателя в $\textstyle x'=0$ относительно $\textstyle S$ . Однако в отличие от инерциальных систем отсчёта, функциональная зависимость траекторий движения начал систем отсчёта для инерциального и неинерциального наблюдателя различна.

$\textstyle \bullet$ Запишем теперь более общие преобразования в ситуации, когда неинерциальная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость $\textstyle u_0$ . Для этого введём три системы отсчёта. Первая — "неподвижная" $\textstyle S$ , наблюдатели которой измеряют $\textstyle (x,t)$ . Вторая — инерциальная $\textstyle \bar{S}$ , движущаяся равномерно со скоростью $\textstyle u_0$ относительно $\textstyle S$ . Её наблюдатели измеряют $\textstyle (\bar{x},\bar{t})$ . Третья, $\textstyle S'$ , начинает двигаться равноускоренно относительно $\textstyle \bar{S}$ с нулевой начальной скоростью, так, как это было описано выше. Можно записать два последовательных преобразования координат и времени:

$\left\{ \begin{array}{lll} a\bar{x} &=& \mathrm{ch}\,at')\,e^{ax'}-1\\ a\bar{t} &=& \mathrm{sh}\,at')\,e^{ax'}, \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{lll} x &=& \gamma_0\,(\bar{x}+u_0\,\bar{t})\\ t &=& \gamma_0\,(\bar{t}+u_0\,\bar{x}), \end{array} \right.$

где $\textstyle \gamma_0=1/\sqrt{1-u^2_0}$ , и в момент времени $\textstyle t=\bar{t}=t'=0$ начала систем отсчёта $\textstyle x=\bar{x}=x'=0$ совпадали.

Исключая $\textstyle {\bar{x},\bar{t}}$ , получаем преобразования между инерциальной системой $\textstyle S$ и движущейся относительно неё неинерциальной $\textstyle S'$ , имеющей скорость точки $\textstyle x'=0$ , равную $\textstyle u_0$ в момент времени $\textstyle t=0$ :

$\left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle a\,x &\displaystyle =& \displaystyle \gamma_0\,e^{ax'}\,\bigl[\mathrm{ch}\,at')+u_0\,\mathrm{sh}\,at')\bigr] - \gamma_0\\ \displaystyle a\,t &\displaystyle =& \displaystyle \gamma_0\,e^{ax'}\,\bigl[\mathrm{sh}\,at')+u_0\,\mathrm{ch}\,at')\bigr] - u_0\gamma_0. \end{array} \right.$

(4.15)

Обратные преобразования имеют вид:

$\left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle ax'=\frac{1}{2}\,\ln\bigl\{(a\,x+\gamma_0)^2 - (a\,t+u\gamma)^2\} \\[4mm] \displaystyle at'=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+a\,\gamma_0\,(1-u_0)(x+t)}{1+a\,\gamma_0(1+u_0)(x-t)}. \end{array} \right.$

(4.16)

Чтобы найти нерелятивистское приближение, в этих соотношениях необходимо восстановить константу $\textstyle c$ , сделав замены $\textstyle t\mapsto ct$ , $\textstyle t'\mapsto ct'$ , $\textstyle a\mapsto a/c^2$ . При разложении в ряд по $\textstyle 1/c$ ( $\textstyle \lessdot$ H) получаются преобразования, справедливые в классической механике:

$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x'=x-u_0\,t-\frac{at^2}{2}\\[2mm] \displaystyle t'=t. \end{array} \right.$

Мы видим, что, несмотря на несколько более сложную физику и формулы, неинерциальные системы отсчёта вполне можно описывать в рамках кинематики теории относительности, не прибегая к дифференциальной геометрии и, тем более, к теории гравитации Эйнштейна.

Время и расстояние в равноускоренной системе <<	Оглавление	>> Закон Кулона

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Неинерциальные координаты и время

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты