Неизотропные преобразования Лоренца

Материал из Synset

За границей известного <<	Оглавление	>> За границей известного

Введём новую функцию скорости:

$\gamma(-v)\gamma(v)=\frac{1}{1-\alpha\,v^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma(v)=\frac{f(v)}{\sqrt{1-\alpha\,v^2}}.$

В силу (1.8) раздела Преобразования Лоренца, справедливо соотношение $\textstyle f(-v)\,f(v)=1.$ Возьмём первое уравнение в системе последовательных преобразований записанных перед (1.6) на странице Преобразования Лоренца, подставим в него $\textstyle \sigma(v)=\alpha\,v$

$x_3 = \gamma_2\gamma_1\cdot [ (1+\alpha\,v_1v_2)\,x_1 - (v_1+v_2)\,t_1\;]\;=\;\gamma_3 \cdot[x_1-v_3\, t_1],$

и приравняем коэффициенты при $\textstyle t_1$ и при $\textstyle x_1$ :

$\left\{ \begin{array}{l} v_3\gamma_3 = (v_1+v_2) \gamma_1\gamma_2\\ \gamma_3 = (1+\alpha v_1v_2) \gamma_1\gamma_2. \end{array}\right.$

Разделив одно уравнение на другое получаем групповое сложение скоростей:

$v_3=\frac{v_1+v_2}{1+\alpha\,v_1v_2}.$

Запишем второе уравнение системы при помощи функции $\textstyle f(v)$ :

$\frac{f_3}{\sqrt{1-\alpha\,v^2_3}}=(1+\alpha\, v_1v_2)\, \frac{ f_1\,f_2}{\sqrt{1-\alpha\,v_1^2}\sqrt{1-\alpha\,v_2^2}}.$

Подставляя $\textstyle v_3$ в левую часть, имеем $\textstyle f_3=f_1\,f_2$ , или следующее функциональное уравнение:

$f\left(\frac{v_1+v_2}{1+\alpha\,v_1v_2}\right)=f(v_1)f(v_2).$

Так как скорости $\textstyle v_1$ и $\textstyle v_2$ независимые, возьмём производную по $\textstyle v_2$

$f'\left(\frac{v_1+v_2}{1+\alpha\,v_1v_2}\right)\,\frac{1-\alpha v^2_1}{(1+\alpha\,v_1v_2)^2}=f(v_1)f'(v_2),$

и положим $v 2 = 0$ :

$f'(x)\,(1-\alpha x^2)=a\,f(x),$

где $\textstyle x=v_1$ , а константа $\textstyle a=f'(0)$ . Решение этого уравнения не представляет труда. Пусть $\textstyle \alpha=1/c^2>0$ , тогда:

$\int\frac{df}{f}=\int\frac{c^2\,a\,dx}{c^2-x^2}=\frac{a\,c}{2}\,\int\left[\frac{1}{c-x}+\frac{1}{c+x}\right]dx=\frac{a\,c}{2}\,\cdot\ln\frac{c+x}{c-x}=\ln\frac{f}{f_0}$

Вводя константу $\textstyle \mu=a\,c/2$ , и учитывая, что $\textstyle \gamma(0)=1$ (системы $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ совпадают), получаем требуемые преобразования.

За границей известного <<	Оглавление	>> За границей известного

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Неизотропные преобразования Лоренца

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты