Метод последовательных приближений

Материал из Synset

Единственность решений <<	Оглавление	>> Скоррелированные блуждания

При разложении средних величин в ряд по $\textstyle t^n$ мы упоминали метод последовательных приближений как один из итерационных способов построения решения. Рассмотрим его теперь подробнее, используя стохастическое интегральное уравнение со сносом и волатильностью, не зависящими от времени:

$x(t) = x_0 + \int\limits^t_{0} a\bigl(x(\tau)\bigr)\, d\tau + \int\limits^t_{0} b\bigl(x(\tau)\bigr)\,\delta W_\tau.$

Идея метода состоит в выборе некоторого нулевого приближения случайной функции $\textstyle x_0(t)$ , удовлетворяющего начальному условию $\textstyle x_0(0)=x_0$ , и получении поправок к нему по следующей схеме:

$x_{k+1}(t) = x_0 + \int\limits^t_{0} a\bigl(x_k(\tau)\bigr)\, d\tau + \int\limits^t_{0} b\bigl(x_k(\tau)\bigr)\,\delta W_\tau.$

В правой части стоит известная случайная функция $\textstyle x_k(t)$ , найденная на предыдущей итерации. В результате интегрирований получается следующее приближение к решению. Заметим, что на каждой итерации текущее приближение удовлетворяет начальному условию $\textstyle x_k(0)=x_0$ . Вообще говоря, требуется доказать, что подобная процедура при бесконечном её применении сходится к точному решению уравнения. Мы не будем этого делать, а рассмотрим пример её использования.

В качестве нулевого приближения выберем начальное условие $\textstyle x_0$ . Тогда постоянные величины $\textstyle a_0=a(x_0)$ и $\textstyle b_0=b(x_0)$ выносятся за интеграл, и первая итерация имеет вид:

$x_1(t) = x_0 + a_0 \cdot t + b_0 \cdot W_t.$

(5.31)

Так как $\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}$ , при $\textstyle t\to 0$ мы фактически получили итерационную схему для стохастического дифференциального уравнения:

$x_1(t) = x_0 + a_0 \cdot t + b_0 \cdot \varepsilon\, \sqrt{t},$

(5.32)

которая активно использовалась в предыдущих главах. Понятно, что она работает тем лучше, чем меньше прошло времени $\textstyle t$ от начального момента $\textstyle t_0=0$ . При численном решении стохастических дифференциальных уравнений выражение (5.32) часто называется схемой Эйлера.

Разложим снос и волатильность в ряд Тейлора в окрестности $\textstyle x_0$ :

$a(x)=a_0 + a'_0\cdot (x-x_0) +...,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b(x)=b_0 + b'_0\cdot (x-x_0) +...,$

где $\textstyle a'_0=a'(x_0)$ и $\textstyle b'_0=b'(x_0)$ . Подставляя их и (5.31) в интегральное уравнение, для второй итерации имеем:

$x_2(t) = x_1(t)+ a'_0 a_0 \frac{t^2}{2} + a'_0 b_0\int\limits^t_0 W_\tau\, d\tau + b'_0 a_0\int\limits^t_0 \tau \,\delta W_\tau + b'_0 b_0\int\limits^t_0 W_\tau \delta W_\tau.$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям (см. Справочник $\textstyle \mathbf{R}_{}$ , стр. \pageref{ref_lemma_Ito_int}) и известным интегралом по $\textstyle \delta W$ от $\textstyle W$ (5.10):

$\int\limits^t_0 \tau \,\delta W_\tau =t\,W_t-S_t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int\limits^t_0 W_\tau \,\delta W_\tau = \frac{1}{2}\,\bigl(W^2_t - t\bigr).$

С их помощью перепишем второе приближение к решению:

$x_2(t) = x_1(t) + \frac{1}{2}\,b'_0b_0 (W^2_t-t) + b'_0a_0 \,t\,W_t + a'_0 a_0 \,\frac{t^2}{2} + \bigl(a'_0 b_0 -a_0 b'_0\bigr)\,S_t.$

Интеграл по времени $\textstyle S_t$ от винеровской переменной через $\textstyle W_t$ не выражается. Однако, если винеровский процесс выражен через гауссову переменную $\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}$ , то такой интеграл выражается через две независимые гауссовы переменные $\textstyle \varepsilon$ , $\textstyle \eta\;\sim N(0,1)$ , см. (5.4):

$S_t=\int\limits^t_0 W_s \, ds = \bigl(\sqrt{3}\,\varepsilon+\eta\bigr) \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}}.$

Поэтому для второго приближения к решению можно записать:

$\begin{array}{lll} x_2(t) &=&\displaystyle x_0 + b_0 \varepsilon\sqrt{t} + a_0 t + \frac{1}{2}\,b'_0b_0 \,(\varepsilon^2-1)\, t\\ &+&\displaystyle b'_0\,a_0 \,\varepsilon t^{3/2} + \bigl(a'_0 b_0 -a_0 b'_0\bigr) \bigl(\sqrt{3}\,\varepsilon+\eta\bigr) \, \frac{t^{3/2}}{2\sqrt{3}} + a'_0 a_0 \,\frac{t^2}{2}. \end{array}$

(5.33)

Так же, как и схема Эйлера, это соотношение работает тем лучше, чем меньше $\textstyle t$ . Однако этот ряд имеет второй порядок малости по $\textstyle t$ и является более точным. Первую строку в этом решении (точность порядка $\textstyle t$ ) называют схемой Милстейна. Мы воспользуемся ею и более точным выражением (5.33) в девятой главе для ускорения сходимости численного решения стохастических дифференциальных уравнений.

Единственность решений <<	Оглавление	>> Скоррелированные блуждания

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Метод последовательных приближений

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты