Матричные преобразования

Материал из Synset

Ковариантная формулировка <<	Оглавление (Глава 2)	>> Энергия, импульс, сила и масса

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим три инерциальные системы отсчёта $\textstyle S$ , $\textstyle S'$ и $\textstyle S''$ , наблюдатели в которых измеряют координаты и время некоторого события $\textstyle (t,x,y)$ , $\textstyle (t',x',y')$ и $\textstyle (t'',x'',y'')$ , соответственно. Пусть, как обычно, $\textstyle S'$ движется относительно $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle v$ вправо вдоль оси $\textstyle x$ и координатные оси этих двух систем параллельны. А вот система $\textstyle S''$ пусть движется относительно $\textstyle S'$ со скоростью $\textstyle v'$ вверх вдоль оси $\textstyle y'$ . Между парами систем отсчёта можно записать преобразования Лоренца:

$\left\{ \begin{array}{lcllcl} t'&=& \gamma\, t - v\gamma\, x\\ x'&=& \gamma\, x - v\gamma\,t\\ y'&=& y,\\ \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{lcllcl} t''&=& \gamma'\, t' - v'\gamma'\, y'\\ x''&=& x'\\ y''&=& \gamma'\, y' - v'\gamma'\,t'. \\ \end{array} \right.$

Подставляя первое преобразование во второе можно найти связь координат и времени для наблюдателей в $\textstyle S$ и $\textstyle S''$ . Такую подстановку можно выполнить в матричном виде, записав преобразования таким образом:

$\begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -v\gamma & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{pmatrix} t'' \\ x'' \\ y'' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma' & 0 &-v'\gamma' \\ 0 & 1 & 0 \\ -v'\gamma & 0 &\gamma' \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix}.$

Напомним, что при перемножении матрицы на матрицу или матрицы на столбик (как выше) действует правило "лома" (или строка на столбец). Так, чтобы получить верхний элемент $\textstyle t'$ столбика в левой части равенства необходимо взять первую строку матрицы $\textstyle (\gamma\;-v\gamma\;0)$ , перемножить её элементы с элементами столбика стоящего справа от матрицы и все такие произведения сложить. Подстановка одного преобразования во второе в матричном виде сводится к перемножению матриц:

$\begin{pmatrix} t'' \\ x'' \\ y'' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma' & 0 &-v'\gamma' \\ 0 & 1 & 0 \\ -v'\gamma' & 0 &\gamma' \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \gamma & -v\gamma & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}.$

Умножение матриц ассоциативно, поэтому можно сначала перемножить квадратные матрицы каждого преобразования, а затем результирующую матрицу:

$\begin{pmatrix} t'' \\ x'' \\ y'' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma\gamma' & \;\;\;-v\gamma\gamma'\;\;\; & - v'\gamma'\\ -v\gamma & \gamma & 0 \\ -v'\gamma'\gamma & vv'\gamma\gamma' & \gamma' \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}$

умножить на столбик координат и времени. Результирующая матрица, приведенная выше, получается по правилу "лома" где сумма произведений элементов строчки (лом) первой матрицы на элементы столбика второй записывается на месте "пробитой" ломом дырки (см. также стр.\pageref{SxxSyyS}).

Обратим внимание, что хотя обе исходные матрицы были симметричными (относительно диагонали), матрица результирующего преобразования оказывается не симметричной.

В предыдущем разделе мы определили вектор в 4-мерном пространстве как четвёрку величин $\textstyle A^\alpha=(A^0, A^1, A^2, A^3)$ изменяющихся при смене системы отсчёта в соответствии с преобразованиями Лоренца. В общем случае эти преобразования можно записать следующим образом:

$A'^\alpha = \Lambda^\alpha_{\;\,\beta}\, A^\beta = \Lambda^\alpha_{\;\,0}\, A^0 + \Lambda^\alpha_{\;\,1} \,A^1 +\Lambda^\alpha_{\;\,2} \,A^2 +\Lambda^\alpha_{\;\,3}\,A^3 .$

Если относительная скорость систем отсчёта имеет произвольное направление, то из векторных преобразований (), стр. \pageref{lorenz_vecA0} следует такая матрица:

$\Lambda^\alpha_{\;\beta} = \begin{pmatrix} \gamma & -v_x\gamma & -v_y\gamma & -v_z\gamma \\ -v_x\gamma & 1+\Gamma v^2_x & \Gamma v_xv_y & \Gamma v_xv_z \\ -v_y\gamma & \Gamma v_yv_x & 1+\Gamma v^2_y & \Gamma v_yv_z \\ -v_z\gamma & \Gamma v_zv_x & \Gamma v_zv_y & 1+\Gamma v^2_z \\ \end{pmatrix},$

где $\textstyle \Gamma=(\gamma-1)/v^2$ . Если координатные оси систем отсчёта дополнительно повёрнуты друг относительно друга, матрица будет выглядеть ещё сложнее. Заметим, что индексы $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ в матрице $\textstyle \Lambda^\alpha_{\;\,\beta}$ находятся не только на разной высоте, но и сдвинуты друг относительно друга по горизонтали. Первый индекс $\textstyle \alpha$ нумерует строчки матрицы, а второй $\textstyle \beta$ — столбцы. Аналогичная ситуация с индексами и для обычных матриц, однако там они находятся на одном уровне (обычно оба внизу). Для скалярного произведения векторов $\textstyle A^\alpha B_\alpha$ мы используем ковариантное правило суммирование по повторяющимся индексам, которые находятся на различном уровне. Это же правило будем использовать и для матриц. Поэтому в $\textstyle \Lambda^\alpha_{\;\,\beta}$ порядок расположения индексов важен в обоих направлениях.

Последовательность двух преобразований Лоренца с различными матрицами:

$A''^\alpha = \Lambda'\,^\alpha_{\;\;\mu}$

можно подставить друг в друга, так, что:

$\Lambda''\,^\alpha_{\;\;\beta}=\Lambda'\,^\alpha_{\;\;\mu}\Lambda^\mu_{\;\;\beta},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{\Lambda}''=\mathbf{\Lambda}'\mathbf{\Lambda}.$

Слева перемножение матриц записано в явном индексном виде. Суммирование по $\textstyle \mu$ реализует правило "лома", так как у первой матрицы нижний правый индекс $\textstyle \mu$ пробегает элементы строки под номером $\textstyle \alpha$ , а у второй матрицы верхний левый индекс $\textstyle \mu$ пробегает все элементы столбца под номером $\textstyle \beta$ . Справа это же выражение записано в безиндексном ("матричном") виде.

$\textstyle \bullet$ Определим ещё одну матрицу лоренцевского преобразования, изменив "высоту индексов" при помощи свёртки с метрическими тензорами:

$\tilde{\Lambda}^{\;\,\beta}_\alpha = g_{\alpha\mu}\,\Lambda^\mu_{\;\,\nu}\,g^{\nu\beta}.$

(EQN)

Так как в матрице $\textstyle \tilde{\Lambda}^{\;\,\beta}_\alpha$ нижний индекс $\textstyle \alpha$ стоит левее, то он нумерует строки матрицы, а индекс $\textstyle \beta$ , соответственно, столбцы. Для получения явного вида матрицы $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}$ необходимо $\textstyle \mathbf{\Lambda}$ слева и справа умножить на матрицы метрического тензора $\textstyle \mathbf{g}$ , т.е. $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}=\mathbf{g}\mathbf{\Lambda}\mathbf{g}$ . Так, для движения вдоль оси $\textstyle x$ в двух измерениях, имеем:

$\tilde{\mathbf{\Lambda}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \\ 0 & -1& 0 & \\ 0 & 0 & -1 & \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma & -v\gamma & 0 & \\ -v\gamma & \gamma & 0 & \\ 0 & 0 & 1 & \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \\ 0 & -1& 0 & \\ 0 & 0 & -1 & \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & v\gamma & 0 & \\ v\gamma & \gamma & 0 & \\ 0 & 0 & 1 & \\ \end{pmatrix}.$

В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрические тензоры с нижними и верхними индексам диагональны и одинаковы. Как и для любых матриц их первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В отличии от матриц $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}$ и $\textstyle \mathbf{\Lambda}$ у матрицы метрического тензора $\textstyle \mathbf{g}$ оба индекса находятся на одной высоте (вверху или внизу).

Метрический тензор во всех инерциальных системах одинаков. Поэтому, при помощи матрицы $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}$ можно записать преобразование Лоренца для ковектора:

$A'_\alpha = g_{\alpha\mu}A'^\mu =g_{\alpha\mu}\,\Lambda^\mu_{\;\,\nu}\,A^\nu =g_{\alpha\mu}\,\Lambda^\mu_{\;\,\nu}\,g^{\nu\beta}\,A_\beta = \tilde{\Lambda}^{\;\,\beta}_\alpha\,A_\beta.$

Обратим внимание, что суммационный индекс $\textstyle \beta$ "прижимается" к 4-вектору $\textstyle A_\beta$ , являясь номером колонки матрицы $\textstyle \tilde{\mathbf\Lambda}$ .

При вращении 3-мерной системы координат поворачиваются (изменяются) и базисные векторы, направленные вдоль осей. Точно также изменяются базисные векторы 4-мерного пространства, при смене системы отсчёта (повороте в 4-пространстве). Для такого преобразования справедливо "обратное" матричное умножение (строка на матрицу):

$\mathrm{e}_\alpha = \,\mathrm{e}'_\beta\, \Lambda^\beta_{\;\;\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathrm{e}^\alpha = \mathrm{e}'^\beta\,\tilde{\Lambda}^{\;\;\alpha}_{\beta}.$

(EQN)

Напомним, что индекс у базисного вектора это его номер, а не компонента, поэтому в левой части преобразования и в правой (слева от матрицы) стоят строки 4-векторов типа $\textstyle (\mathrm{e}_0\;\;\mathrm{e}_1\;\;\mathrm{e}_2\;\;\mathrm{e}_3)$ . Чтобы получить преобразования (), необходимо разложить вектор по двум базисам, соответствующим двум инерциальным системам отсчёта $\textstyle \mathrm{A}=A^\alpha\mathrm{e}_\alpha=A'^\alpha\mathrm{e}'_\alpha$ и воспользоваться преобразованием для компонент вектора $\textstyle A'^\alpha=\Lambda^\alpha_{\;\beta}A^\alpha$ . Проделать это предлагается в качестве упражнения. Напомним, что 4-вектор это физический объект, имеющий различные проекции на различные базисы. Отметим также соотношения $\textstyle \mathrm{e}'^\beta\cdot\mathrm{e}_\alpha=\Lambda^\beta_{\;\alpha}\;$ и $\textstyle \;\mathrm{e}'_\beta\cdot\mathrm{e}^\alpha=\tilde{\Lambda}_\beta^{\;\alpha}$ .

$\textstyle \bullet$ Установим одно важное свойство матриц лоренцевского преобразования. По определению, скалярное произведение двух 4-векторов не меняется при таких преобразованиях:

$\mathrm{A}'\cdot \mathrm{B}' = g_{\alpha\beta}\, A'^\alpha B'^\beta = \underline{g_{\alpha\beta}\, \Lambda^\alpha_{\;\mu}\Lambda^\beta_{\;\nu}} \,A^\mu B^\nu = \mathrm{A}\cdot \mathrm{B} =\underline{g_{\mu\nu}}\,A^\mu B^\nu =inv.$

Записанные соотношения будут выполняться, если лоренцевская матрица удовлетворяет (в силу произвольности векторов) следующему уравнению:

$g_{\alpha\beta} \,\Lambda^\alpha_{\;\mu}\Lambda^\beta_{\;\nu}=g_{\mu\nu},$

которое называется условием ортогональности. Свернув по индексу $\textstyle \mu$ это соотношение с тензором $\textstyle g^{\gamma\mu}$ , c учётом (), имеем:

$g_{\alpha\beta}g^{\gamma\mu}\, \Lambda^\alpha_{\;\mu}\Lambda^\beta_{\;\nu} = \tilde{\Lambda}_\beta^{\;\gamma}\Lambda^\beta_{\;\nu} = (\tilde{\Lambda}^T)_{\;\beta}^{\gamma}\Lambda^\beta_{\;\nu} =\delta^\gamma_\nu.$

(EQN)

Слово "свёртка" означает умножение одного индексного выражения на второе и суммирование этого произведения по некоторым индексам. В первом равенстве () свёртка с метрическими тензорами даёт матрицу $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}$ , а во втором равенстве введена транспонированная матрица, помеченная буквой $\textstyle ^T$ : $\textstyle (\tilde{\Lambda}^T)_{\;\beta}^{\gamma}=\tilde{\Lambda}_\beta^{\;\gamma}$ . Она получается из исходной матрицы $\textstyle \tilde{\Lambda}_\beta^{\;\gamma}$ перестановкой строк и столбцов. Сделано это, чтобы получилось матричное произведение, реализуемое суммой по индексу $\textstyle \beta$ . Обозначая символ Кронекера $\textstyle \delta^\gamma_\nu$ при помощи единичной матрицы $\textstyle \mathbf{1}$ . Тогда условие ортогональности () можно записать без индексов:

$\tilde{\mathbf\Lambda}^T \mathbf{\Lambda} = \mathbf{1}.$

Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Кроме этого транспонирование определителя не меняет. Поэтому:

$\det(\tilde{\mathbf\Lambda}^T \mathbf{\Lambda}) = \det(\mathbf{g}^T\mathbf{\Lambda}^T\mathbf{g}^T\mathbf{\Lambda}) = (\det\mathbf{g})^2\, (\det\mathbf{\Lambda})^2 = 1$

Из () следует, что $\textstyle \det\mathbf{g}=-1$ , поэтому $\textstyle (\det\mathbf{\Lambda})^2=1$ . Прямым вычислением определителя матриц $\textstyle \mathbf{\Lambda}$ из начала раздела получаем, что при извлечении корня надо выбрать знак плюс:

$\det\mathbf{\Lambda} = \det\tilde{\mathbf{\Lambda}} = 1.$

Определитель для $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}$ получается из определения $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}=\mathbf{g}\mathbf{\Lambda}\mathbf{g}$ . Таким образом, лоренцевские матрицы преобразования как векторов ( $\textstyle \mathbf{\Lambda}$ ), так и ковекторов ( $\textstyle \tilde{\mathbf{\Lambda}}$ ) имеют единичные определители и ортогональны.

$\textstyle \bullet$ Пусть есть два 4-вектора $\textstyle \mathrm{A}$ и $\textstyle \mathrm{B}$ . Из их компонент можно составить 4 различных произведения, с двумя индексами: $\textstyle A^\alpha B^\beta$ , $\textstyle A_\alpha B_\beta$ , $\textstyle A^\alpha B_\beta$ , $\textstyle A_\alpha B^\beta$ . Эти произведения будут преобразовываться при помощи двух лоренцевских матриц:

$A'^\alpha B'^\beta = \Lambda^\alpha_{\;\,\mu}\Lambda^\beta_{\;\,\nu}\,A^\mu B^\nu,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; A'_\alpha B'_\beta = \tilde{\Lambda}_\alpha^{\;\,\mu}\tilde{\Lambda}_\beta^{\;\,\nu}\,A_\mu B_\nu,$

и т.д. Назовём тензором типа $\textstyle (n,m)$ величину, имеющую $\textstyle n+m$ индексов, $\textstyle n$ из которых находятся вверху, а $\textstyle m$ внизу, если она преобразуется как произведение $\textstyle n$ векторов и $\textstyle m$ ковекторов. Число $\textstyle n+m$ называется рангом тензора. Например, для тензора $\textstyle T^\gamma_{\alpha\beta}$ типа $\textstyle (1,2)$ , по определению, имеем:

$T'\,^\gamma_{\alpha\beta}=\Lambda^\gamma_{\;\,\sigma}\, \tilde{\Lambda}_\alpha^{\;\,\mu}\,\tilde{\Lambda}_\beta^{\;\,\nu}\,T^\sigma_{\mu\nu}.$

Так как для лоренцевских матриц выполняется условие ортогональности, то метрические коэффициенты $\textstyle g_{\alpha\beta}$ , $\textstyle g^{\alpha\beta}$ являются тензорами:

$g'^{\alpha\beta}=\Lambda^{\alpha}_{\;\,\mu}\Lambda^{\beta}_{\;\,\nu}\,g^{\mu\nu}=g^{\alpha\beta}.$

Заметим, что компоненты $\textstyle g^{\alpha\beta}$ или $\textstyle g_{\alpha\beta}$ не изменяются только в декартовых координатах плоского пространства (см. главу 6). Аналогично, в силу ортогональности, тензором является символ Кронекера $\textstyle \delta^{\alpha}_{\beta}$ :

$\delta'\,^{\alpha}_{\beta} =\Lambda^{\alpha}_{\;\,\mu}\tilde{\Lambda}_{\beta}^{\;\,\nu}\,\delta^{\mu}_{\nu} =\Lambda^{\alpha}_{\;\,\mu}\tilde{\Lambda}_{\beta}^{\;\,\mu} = \delta^\alpha_\beta.$

Для любого тензора, при помощи $\textstyle g^{\alpha\beta}$ или $\textstyle g_{\alpha\beta}$ можно определить новый тензор, поднимая или опуская индексы. Хотя получившийся при этом тензор будет другим, его принято обозначать той же буквой. В этом случае необходимо следить за порядком индексов по горизонтали:

$T_{\alpha\beta\gamma} = g_{\gamma\mu} T^{\;\;\;\mu}_{\alpha\beta}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;T^{\;\,\beta}_{\alpha\;\;\gamma}=g^{\beta\mu}\, T_{\alpha\mu\gamma}.$

Все инерциальные системы равноправны. Поэтому уравнения, описывающие тот или иной физический закон, должны иметь одинаковую форму во всех системах. Это будет происходить, если эти уравнения записываются в тензорных обозначениях. Например, как мы увидим в 4-й главе, движение частицы в электромагнитном поле описывается уравнением:

$m\,\frac{dU^\alpha}{ds} = q\,F^{\alpha\beta}\,U_\beta,$

где $\textstyle m$ , $\textstyle q$ — инвариантные масса и заряд частицы, $\textstyle ds$ — также инвариантный интервал. Кроме этих инвариантов в уравнение входят тензорные величины — 4-вектор скорости частицы $\textstyle U^\alpha$ и тензор электромагнитного поля $\textstyle F^{\alpha\beta}$ . Так как и вектор и тензор преобразуются при помощи одних и тех же матриц это уравнение будет выглядеть точно также в любой другой инерциальной системе отсчёта.

У вектора 4 компоненты, у тензора второго ранга (с двумя индексами) их 16. С ростом числа индексов у тензора, число его компонент стремительно растёт. Если индексов у тензора $\textstyle n$ , то он имеет $\textstyle 4^n$ компонент. Поэтому особую роль играют тензоры, обладающие тем или иным свойством симметрии относительно перестановки индексов. Так, тензоры типа $\textstyle (0,2)$ могут быть симметричными или антисимметричными:

$S_{\alpha\beta}=S_{\beta\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A_{\alpha\beta}=-A_{\beta\alpha}.$

Метрический тензор $\textstyle g_{\alpha\beta}$ является симметричным. В качестве упражнения ( $\textstyle \lessdot$ H) предлагается найти преобразования Лоренца для произвольного тензора $\textstyle T^{\alpha\beta}$ и в том случае, когда он обладает антисимметрией.

Свёртка симметричного и антисимметричного тензора равна нулю:

S αβ A αβ = - S βα A βα = - S αβ A αβ = 0.

В первом равенстве индексы переставлены с учётом свойств симметрии, а во втором переименованы ( $\textstyle \alpha\mapsto\beta$ , $\textstyle \beta\mapsto\alpha$ ), так как они суммационные. Выражение равное себе с обратным знаком может быть только нулём.

Важную роль в релятивистской теории играют абсолютно антисимметричные тензоры. Слово "абсолютные" означает, что они изменяют свой знак при перестановке любых двух индексов. Подробнее их свойства мы рассмотрим в следующей главе.

В силу определения тензора, компоненты 4-вектора с верхними индексами $\textstyle A^\alpha$ являются тензором типа (1,0), а ковектор (компоненты вектора с нижними индексами $\textstyle A_\alpha$ ) — тензором типа $\textstyle (0,1)$ .

Величина, имеющая одинаковое значение во всех системах отсчёта называется скаляром и является тензором нулевого ранга. Заметим, что одинаковость значения не означает одинаковости функциональной формы. Так, пусть определена скалярная функция $\textstyle \varphi(t,\mathbf{r})$ . Это означает, что каждой точке пространства и времени присвоено некоторое число $\textstyle \phi$ . Это число "привязано" к точке и по определению не зависит выбора системы отсчёта, т.е. является одинаковым для всех наблюдателей. Тем не менее вид функции для них различный. Например, если $\textstyle \varphi=t+x$ в одной системе отсчёта, то в другой её вид $\textstyle \varphi'=\gamma(1+v)(t'+x')$ . Но значения функций для данного события (точки в пространстве-времени) будут одинаковыми $\textstyle \varphi'=\varphi$ . Поэтому штрих у скалярной функции обычно не ставится. Векторная функция $\textstyle A^\alpha(t,\mathbf{r})$ или тензорная функция $\textstyle T^{\alpha\beta}(t,\mathbf{r})$ также "привязываются" к конкретной точке пространства-времени. Однако при переходе к другой системе отсчёта их значения изменяются, так как они умножаются на соответствующие матрицы $\textstyle \mathbf{\Lambda}$ .

Ковариантная формулировка <<	Оглавление (Глава 2)	>> Энергия, импульс, сила и масса

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Матричные преобразования

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты