Кривая доходности

Материал из Synset

Формула Блэка-Шоулза <<	Оглавление	>> Стохастические уравнения

$\textstyle \bullet$ Пусть $\textstyle B(\tau, t)$ — это стоимость бескупонной облигации (векселя) в момент времени $\textstyle t$ с датой погашения $\textstyle t_e$ , т.е. через интервал $\textstyle \tau=t_e-t$ . Будем считать, что её номинальная стоимость равна единице, и, следовательно, $\textstyle B(0, t_e)=1$ . Бескупонная облигация эквивалентна депозиту с единичной стоимостью в конце. Функция $\textstyle B(\tau, t)$ при этом обозначает сумму $\textstyle B(\tau,t)<1$ , которую необходимо разместить на депозите под ставку $\textstyle r(\tau, t)$ , чтобы через время $\textstyle \tau$ его величина равнялась единице.

Процентный доход облигации в момент времени $\textstyle t$ равен:

$B(\tau,t) = e^{-r(\tau, t)\cdot \tau}\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r(\tau, t) = - \frac{1}{\tau}\cdot \ln B(\tau, t).$

Функция двух аргументов $\textstyle r(\tau, t)$ является ставкой заимствования на срок $\textstyle \tau=t_e-t$ в момент времени $\textstyle t$ . По мере приближения $\textstyle t$ к дате погашения $\textstyle t_e$ стоимость облигации возрастает, стремясь к своему номинальному значению, но делает это неравномерно, так как может изменяться и ставка.

$\textstyle \bullet$ В фиксированный момент времени $\textstyle t$ функция $\textstyle r_\tau=r(\tau, t)$ , зависящая от времени до истечения $\textstyle \tau$ , называется кривой доходности (yield curve). Она определяет временную структуру процентных ставок (term structure of interest rates). Если на рынке присутствуют облигации (депозиты) с различными длительностями обращения $\textstyle \tau_1, \tau_2,..$ , то, вычисляя их эффективные доходности, мы получим, вообще говоря, различные значения процентных ставок $\textstyle r_1, r_2,..$ . Их совокупность и формирует кривую доходности $\textstyle r_\tau$ .

Кривая доходности постоянно изменяется $\textstyle r_\tau=r_\tau(t)$ . Она может сдвигаться вверх или вниз, когда все ставки изменяются на одну величину, или определённым образом изгибаться. Прогнозирование формы кривой доходности является исключительно важной задачей для всех участников финансовых рынков.

$\textstyle \bullet$ Краткосрочной процентной ставкой (short term rate) $\textstyle r_0(t)$ называют значение процентной ставки в момент времени $\textstyle t$ с истечением депозита "тут же": $\textstyle r_0(t)=r(0,t)$ . Естественно, мгновенных депозитов не бывает, однако, если аппроксимировать реальные данные для значений $\textstyle r_\tau$ некоторой гладкой функцией, то обычно она имеет ненулевое значение в точке $\textstyle \tau=0$ . Хорошим аналогом краткосрочных ставок является рынок банковских ночных заимствований для поддержания резервных требований Национального банка.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим пример простой однофакторной модели описания кривой доходности. В ней предполагается, что динамика цен $\textstyle B(t,t_e)$ векселя с датой истечения $\textstyle t_e$ полностью определяется динамикой краткосрочной ставки $\textstyle r_0(t)=r(0,t)$ . Она является единственным фактором, задающим кривую доходности. Напомню, что, если нам известна функция двух аргументов $\textstyle B(t,t_e)$ , то фактически известны и форма кривой доходности $\textstyle r_\tau(t)=r(\tau, t)$ , где $\textstyle \tau=t_e-t$ , и её эволюция $\textstyle t$ .

Рассмотрим портфель, состоящий из двух бескупонных облигаций с датами погашения $\textstyle t_1$ и $\textstyle t_2$ . Пусть отношение суммы, на которую куплен первый вексель $\textstyle B_1=B(t,t_1)$ , ко второму $\textstyle B_2=B(t,t_2)$ равно коэффициенту $\textstyle \nu$ . При этом второй вексель продан (куплен в короткую). В случае банка можно рассматривать выданный кредит со сроком $\textstyle \tau_1=t_1-t$ и полученный депозит на $\textstyle \tau_2=t_2-t$ . Суммарный портфель равен:

$\Pi = B_1-\nu \cdot B_2.$

В рамках однофакторной модели предполагается, что стоимость облигаций зависит от краткосрочной процентной ставки $\textstyle B=B(r_0, t-t_e)$ , которая, в свою очередь, подчиняется стохастическому процессу:

$dr_0 = \mu(r_0,t)\, dt + \sigma(r_0,t)\, \delta W.$

В этом случае стоимость портфеля также будет случайной величиной, и в силу леммы Ито его изменение равно:

$\begin{array}{lcl} d\Pi &=& \left[\frac{\partial B_1}{\partial t} + \mu(r_0, t)\,\frac{\partial B_1}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2(r_0, t)}{2}\,\frac{\partial^2 B_1}{\partial r_0^2} \right] \, dt + \sigma(r_0,t)\, \frac{\partial B_1}{\partial r_0}\, \delta W\\ &-& \nu \, \left[\frac{\partial B_2}{\partial t} + \mu(r_0, t)\,\frac{\partial B_2}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2(r_0, t)}{2}\,\frac{\partial^2 B_2}{\partial r_0^2} \right] \, dt - \nu \, \sigma(r_0,t)\, \frac{\partial B_2}{\partial r_0}\, \delta W. \end{array}$

Выберем долю $\textstyle \nu$ таким образом, чтобы изменение портфеля не зависело от стохастической компоненты $\textstyle \delta W$ :

$\frac{\partial B_1}{\partial r_0} = \nu \cdot \frac{\partial B_2}{\partial r_0}.$

(8.20)

Тогда члены, пропорциональные $\textstyle \delta W$ , сократятся, и динамика портфеля окажется полностью детерминированной. Если цена некоторого безрискового актива (в нашем случае портфеля из двух облигаций) гарантированно изменяется на $\textstyle d\Pi$ :

$d\Pi = r_0(t)\cdot \Pi \cdot dt,$

то это изменение пропорционально краткосрочной процентной ставке.

Приравняем левые части этого соотношения и уравнения, полученного по лемме Ито, подставив значение для $\textstyle \nu$ (8.20):

$\frac{\displaystyle\frac{\partial B_1}{\partial t} + \mu\,\frac{\partial B_1}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 B_1}{\partial r_0^2} - r_0 \, B_1} {\displaystyle \frac{\partial B_1}{\partial r_0}} \;=\; \frac{\displaystyle\frac{\partial B_2}{\partial t} + \mu\,\frac{\partial B_2}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 B_2}{\partial r_0^2} - r_0 \, B_2} {\displaystyle \frac{\partial B_2}{\partial r_0}}.$

Левая часть выражения зависит от $\textstyle t_1$ , а правая — от $\textstyle t_2$ . Обе эти даты независимы, поэтому уравнение будет выполняться, если его части равны некоторой функции, которая не зависит от времени истечения облигации. Её принято выбирать пропорциональной функции $\textstyle \sigma$ , в следующем виде $\textstyle \lambda(r_0,t)\,\sigma(r_0,t)$ . Поэтому окончательно имеем:

${ \frac{\;\partial B}{\partial t} + \bigl( \mu- \lambda\,\sigma\bigr)\cdot\frac{\partial B}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 B}{\partial r_0^2} - r_0 \cdot B = 0\; },$

(8.21)

где $\textstyle B=B(r_0,t,t_e)$ , $\textstyle \mu=\nu(r_0, t)$ , $\textstyle \sigma=\sigma(r_0, t)$ и $\textstyle \lambda=\lambda(r_0, t)$ . Это уравнение определяется двумя функциями — волатильностью процентной ставки $\textstyle \sigma(r_0,t)$ и сносом с устранённым риском (risk adjusted drift): $\textstyle \mu(r_0,t)- \lambda(r_0,t)\cdot\sigma(r_0,t)$ . После их задания можно определить зависимость от времени облигации с произвольной датой истечения $\textstyle t_e$ , а, следовательно, и кривую доходности. Её форма будет полностью определяться одной точкой — текущим значением краткосрочной процентной ставки $\textstyle r_0$ .

Для решения дифференциального уравнения требуется задание начального условия. В случае с облигацией оно выбирается в следующем виде: $\textstyle B(r_0,t_e,t_e)=1$ , так как в момент истечения стоимость облигации равняется единице.

Заметим, что в приведенных выше рассуждениях функция $\textstyle B$ , вообще говоря, могла быть ценой самых разнообразных финансовых инструментов, поведение которых тесно связано с поведением процентной ставки. Например, это может быть колл-опцион на краткосрочную процентную ставку с датой истечения $\textstyle t_e$ и страйковой ценой $\textstyle K$ . Для него начальные условия будут иметь следующий вид: $\textstyle B(r_0,t_e,t_e) = \max(r_0(t_e)-K, 0)$ . В случае с опционами американского типа, кроме этого, необходимо накладывать граничные условия.

Несмотря на "теоретический" характер рассмотрения динамики кривой доходности, мы имеем существенно феноменологическую составляющую в лице неизвестных функций, являющихся коэффициентами в уравнении (8.21). Рассмотрим один из примеров их выбора.

$\textstyle \bullet$ Известная модель Васичка (Vasicek, 1977) получается, если задать стохастическую динамику для блуждания краткосрочной процентной ставки в виде процесса Орнштейна-Уленбека (стр. \pageref{sol_OU}):

$dr_0 = -\beta \cdot (r_0-\alpha)\cdot dt + \sigma \cdot\delta W,$

где $\textstyle \alpha$ , $\textstyle \beta$ , $\textstyle \sigma$ — константы модели. В рамках модели предполагается, что функция $\textstyle \lambda(r_0,t)=\lambda$ также является некоторой константой. В результате уравнение для цены облигации:

$\frac{\partial B}{\partial t} + \bigl( \gamma - \beta \cdot r_0 \bigr)\cdot\frac{\partial B}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 B}{\partial r_0^2} - r_0 \cdot B = 0$

(8.22)

зависит от трёх параметров модели $\textstyle \beta$ , $\textstyle \sigma$ , $\textstyle \gamma=\beta\alpha-\lambda\sigma$ и "начального" условия $\textstyle B(t_e,t_e)=1$ ( $\textstyle \lessdot$ C).

Перейдём к времени $\textstyle \tau=t_e-t$ , оставшемуся до истечения облигации, и введём процентную ставку $\textstyle B(r_0,\tau)=e^{-r(r_0,\tau)\cdot \tau}$ , которая ассоциируется с данной облигацией (кривую доходности). Эта кривая определяется единственным фактором $\textstyle r(r_0, \tau)$ — краткосрочной процентной ставкой. В результате:

$\frac{\partial r}{\partial \tau} - \bigl( \gamma - \beta \cdot r_0 \bigr)\cdot\frac{\partial r}{\partial r_0} + \frac{\sigma^2\tau}{2}\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial r_0}\right)^2 - \frac{\sigma^2}{2}\cdot\frac{\partial^2 r}{\partial r_0^2} + \frac{r - r_0}{\tau} = 0.$

(8.23)

При решении этого уравнения необходимо учитывать "начальное" условие $\textstyle r(r_0, 0)=r_0$ , имеющее смысл равенства процентной ставки её краткосрочному значению, когда до истечения облигации времени уже не осталось. Прямой подстановкой можно проверить, что решением уравнения (8.23) является следующее выражение:

$r(r_0, \tau)=\frac{1}{\tau}\left[ r_0\cdot b(\tau) + \Bigl(\tau - b(\tau)\Bigr) \cdot r_\infty + \frac{\sigma^2}{4\beta} \cdot b^2(\tau) \right],$

(8.24)

где введены обозначения $\textstyle r_\infty = \gamma/\beta - \sigma^2/2\beta^2$ и:

$b(\tau)= \frac{1}{\beta}\left(1-e^{-\beta\cdot \tau}\right).$

(8.25)

При малых $\textstyle \tau$ справедливо приближённое соотношение $\textstyle b(\tau)\approx \tau$ .

Несложно видеть, что решение (8.24) удовлетворяет начальному условию $\textstyle r(r_0,0)=r_0$ , а при $\textstyle \tau\to\infty$ равняется $\textstyle r(r_0,\infty)=r_\infty$ . В данной модели ультрадолгосрочная процентная ставка $\textstyle r_\infty$ не зависит от текущего значения краткосрочной ставки $\textstyle r_0$ и определяется только её стохастическими параметрами $\textstyle \sigma$ , $\textstyle \beta$ , $\textstyle \alpha$ и константой $\textstyle \lambda$ .

Формула Блэка-Шоулза <<	Оглавление	>> Стохастические уравнения

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Кривая доходности

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты