Ковариантная формулировка

Материал из Synset

Четырёхмерное пространство-время <<	Оглавление (Глава 2)	>> Матричные преобразования

Многие соотношения теории относительности могут быть записаны в элегантном ковариантном виде. Пусть $\textstyle A^\alpha=\{A^0, A^1, A^2, A^3\}$ — четвёрка чисел, которые будем называть компонентами 4-вектора (четырёхмерного вектора). Для нумерации этих компонент используются верхние индексы, и их не стоит путать с показателем степени. Будем считать, что для наблюдателей в двух инерциальных системах отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ компоненты вектора $\textstyle A^\alpha$ и $\textstyle A'^\alpha$ связаны следующим преобразованием:

$A'^0 = \frac{A^0-v A^1}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;A'^1 = \frac{A^1-v A^0}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;A'^2=A^2,\;\;\;\;\;A'^3=A^3.$

(EQN)

Нулевая компонента 4-вектора называется временной, а остальные компоненты — пространственными. Их будем обозначать как обычные 3-мерные векторы (3-векторы): $\textstyle \mathbf{A}=\{A^1, A^2, A^3\}$ . Иногда их обозначают как декартовы проекции $\textstyle \{A_x, A_y, A_z\}$ , но подразумевается, что это тоже компоненты с верхними индексами.

Несложно видеть, что время и координаты образуют 4-вектор, который обозначается по пространственным компонентам:

$x^\alpha = \{t, \;\mathbf{r}\} = \{t, x, y, z\},$

а () являются преобразованиями Лоренца стр.\pageref{Lorenz_txy}. Как мы увидим чуть позже, 4-векторы можно определить для самых разнообразных физических величин.

По аналогии с векторными преобразованиями Лоренца (), стр. \pageref{lorenz_vec0} можно записать более общее преобразование для 4-вектора:

$A'^0=\gamma\, (A^0-{\mathbf v}{\mathbf A}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf A}' = {\mathbf A} - \gamma{\mathbf v} A^0 + \Gamma\,{\mathbf v}({\mathbf v}{\mathbf A}).$

(EQN)

Обратное преобразование получается заменой $\textstyle \mathbf{v}\mapsto -\mathbf{v}$ .

Кроме 4-векторов определим также четвёрки величин с нижними индексам $\textstyle A_\alpha=\{A_0, A_1, A_2, A_3\}$ , которые будем называть компонентами ковектора. Будем считать, что компоненты ковектора связаны с компонентами вектора следующим образом:

$A_\alpha = \{A_0, A_1, A_2, A_3\} = \{A^0, -A^1, -A^2, -A^3\} = \{A^0, -\mathbf{A}\}.$

Другими словами временные компоненты 4-векторов и 4-ковекторов совпадают, а пространственные — имеют обратный знак. Компоненты 4-вектора с верхними индексами называются контравариантными, а с нижними — ковариантными. \index{ковариантные компоненты}

Ковектор вводится, чтобы определить число, которое будет инвариантным (одинаковым) в различных инерциальных системах отсчёта:

$\mathrm{A}^2 = A_\alpha A^\alpha = A_0 A^0+ A_1A^1+ A_2A^2 + A_3A^3 = (A^0)^2 - \mathbf{A}^2 = \mathrm{inv}.$

Этот инвариант мы обозначили как $\textstyle \mathrm{A}^2$ , где двойка является степенью (квадратом), а не индексом. Чтобы не путаться с индексами компонент вектора, сам 4-вектор мы будем записывать в прямом, а не наклонном шрифте (подобным образом для 3-векторов используется жирный шрифт). По повторяющемуся верхнему и нижнему индексу $\textstyle \alpha$ подразумевается суммирование от 0 до 3 и знак $\textstyle \Sigma$ не ставится.

Проверим инвариантность величины $\textstyle \mathrm{A}^2$ . Для этого запишем её в системе $\textstyle S'$ для штрихованных величин и, подставив преобразование (), найдём значение в системе $\textstyle S$ . Опуская компоненты $\textstyle A^2$ , $\textstyle A^3$ , которые остаются неизменными, получаем:

$\mathrm{A}'^2 = (A'^0)^2-(A'^1)^2 = \frac{(A^0-v A^1)^2}{1-v^2}- \frac{(A^1-v A^0)^2}{1-v^2} = (A^0)^2-(A^1)^2 = \mathrm{A}^2.$

Для 4-вектора $\textstyle x^\alpha=(t,\mathbf{r})$ инвариантом является выражение: $\textstyle \mathrm{x}^2 =t^2-\mathbf{r}^2.$ Уравнение $\textstyle \mathrm{x}^2=0$ описывает распространение сферической волны в результате вспышки света в начале систем координат. Этот световой фронт имеет сферическую форму с точки зрения каждого из наблюдателей.

Определим скалярное произведение двух 4-векторов $\textstyle \mathrm{A}$ и $\textstyle \mathrm{B}$ :

$\mathrm{A}\cdot\mathrm{B}= A_\alpha B^\alpha = A^\alpha B_\alpha = A^0 B^0 - \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathrm{inv}.$

(EQN)

Точка произведения может не ставиться, т.е. $\textstyle \mathrm{A}\cdot\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{B}$ . Аналогично соотношению $\textstyle \mathrm{A}'^2=\mathrm{A}^2$ , несложно проверить, что скалярное преобразование также является инвариантом: $\textstyle \mathrm{A}'\, \mathrm{B}'=\mathrm{A}\, \mathrm{B}$ . Инвариант $\textstyle \mathrm{A}^2$ будем называть квадратом 4-вектора. Квадрат 4-вектора можно также записать следующим образом: $\textstyle \mathrm{A}^2=\mathrm{A}\cdot\mathrm{A}$ .

Квадрат 3-вектора и скалярное произведение двух 3-векторов не зависят от ориентации системы координат. Поэтому они являются инвариантами поворотов декартовой системы в 3-мерном пространстве. Как мы видели в предыдущем разделе, преобразования Лоренца () можно интерпретировать как повороты в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве-времени, расстоянием в котором служит интервал:

$ds^2 = (dt)^2 - (d\mathbf{r})^2.$

Квадрат 4-вектора, скалярное произведение двух 4-векторов и расстояние $\textstyle ds^2$ являются геометрическими объектами 4-мерного пространства, которые не зависят от ориентации осей координат (системы отсчёта).

$\textstyle \bullet$ Определим матрицу метрического тензора, которую будем записывать при помощи как двух нижних, так и двух верхних индексов:

$g_{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \equiv\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1).$

(EQN)

Так как отличные от нуля элементы стоят только на диагонали, возможно второе обозначение, которое стоит сравнить с понятием сигнатура.

Будем считать, что метрический тензор выглядит одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчёта в которых используются декартовы координаты $\textstyle (x,y,z)$ . Не сложно проверить, что:

$A_\alpha = g_{\alpha\beta} A^\beta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A^\alpha = g^{\alpha\beta} A_\beta.$

Для этого необходимо расписать в явном виде суммационное правило для повторяющих индексов (один внизу, другой вверху). Например:

A 1 = g 1β A β = g 10 A 0 + g 11 A 1 + g 12 A 2 + g 13 A 3 = g 11 A 1 = - A 1,

где учтено, что недиагональные элементы метрического тензора равны нулю, а $\textstyle g_{11}=-1$ .

Название метрический тензор происходит от того, что при помощи $\textstyle g_{\alpha\beta}$ можно записать квадрат расстояния (метрику) в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве:

$ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta = (dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2 = dt^2 - d\mathbf{r}^2.$

Аналогично, он определяет скалярное произведение двух 4-векторов:

$\mathrm{A}\cdot \mathrm{B} = g_{\alpha\beta}\,A^\alpha B^\beta = g^{\alpha\beta}\,A_\alpha B_\beta = A^0B^0-\mathbf{A}\mathbf{B}.$

Свёртка тензоров $\textstyle g^{\alpha\beta}$ и $\textstyle g_{\alpha\beta}$ даёт символ Кронекера:

$g^{\alpha\gamma} g_{\gamma\beta} = \delta^\alpha_\beta,$

(EQN)

который равен нулю если индексы $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$ различны, и единице, если они совпадают. Это же выражение можно записать как умножение двух матриц (), в результате которого получается единичная матрица.

Введение метрического тензора может показаться избыточным, однако в пространствах обладающих кривизной или в произвольных криволинейных (недекартовых) координатах коэффициенты $\textstyle g_{\alpha\beta}$ зависят от координат и могут быть недиагональным. В этом случае метрический тензор оказывается ключевым объектом при описании геометрии пространства.

$\textstyle \bullet$ По аналогии с обычным векторным анализом в 4-мерном пространстве можно ввести базис при помощи четырёх 4-векторов $\textstyle \mathrm{e}_0$ , $\textstyle \mathrm{e}_1$ , $\textstyle \mathrm{e}_2$ , $\textstyle \mathrm{e}_3$ . Индексы — это номера векторов, а не их компоненты (обращаем внимание на прямой шрифт). Кроме этого введём ещё четыре вектора $\textstyle \mathrm{e}^0$ , $\textstyle \mathrm{e}^1$ , $\textstyle \mathrm{e}^2$ , $\textstyle \mathrm{e}^3$ , которые будем называть взаимным базисом. Скалярные произведения базисных 4-векторов, по определению равны:

$\mathrm{e}^\alpha\cdot \mathrm{e}_\beta = \delta^\alpha_\beta,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathrm{e}_\alpha\cdot \mathrm{e}_\beta = g_{\alpha\beta},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathrm{e}^\alpha\cdot \mathrm{e}^\beta = g^{\alpha\beta}.$

(EQN)

4-вектор можно разложить по исходному или взаимному к нему базису:

$\mathrm{A} = A^\alpha\,\mathrm{e}_\alpha = A_\alpha\,\mathrm{e}^\alpha.$

В первом случае коэффициенты разложения являются компонентами 4-вектора (контравариантными компонентами), а во втором - компонентами ковектора (ковариантными компонентами). Точнее говорить, что один и тот же 4-вектор может быть разложен по двум различным базисам ("исходному" $\textstyle \mathrm{e}_\alpha$ и взаимному к нему $\textstyle \mathrm{e}^\alpha$ ), в результате чего и возникают компоненты с верхними и нижними индексами.

Напомним, что и в 3-мерном пространстве вектор может быть разложен по базисным векторам $\textstyle \mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}$ . При этом важно понимать, что вектор $\textstyle \mathbf{a}$ — это геометрический объект ("направленная стрелка"). Он не зависит от выбора координатных осей, хотя его компоненты $\textstyle \{a_x,a_y,a_z\}$ (проекции) на декартовы оси естественно меняются при повороте системы координат.

Такая же ситуация и в 4-мерном пространстве-времени. Любой 4-вектор является физическим объектом. Например, " $\textstyle \mathrm{x}$ " — это одно и тоже событие наблюдаемое из любой инерциальной системы отсчёта. Этот 4-вектор можно раскладывать по различным базисам. Базисы могут соответствовать различным инерциальным системам отсчёта. Коэффициенты этих разложений будут обычными числами с верхними или нижними индексами, со штрихами или без.

Скалярное произведение 4-векторов с учётом () может быть расписано следующим образом:

$\mathrm{A}\cdot\mathrm{B} = (A^\alpha\mathrm{e}_\alpha)\cdot(B^\beta\mathrm{e}_\beta) = (\mathrm{e}_\alpha\cdot\mathrm{e}_\beta) A^\alpha B^\beta = g_{\alpha\beta}\,A^\alpha B^\beta.$

Аналогично расписываются произведения других разложений векторов по базису, например:

$\mathrm{A}\cdot\mathrm{B} = (A_\alpha\mathrm{e}^\alpha)\cdot(B^\beta\mathrm{e}_\beta) = (\mathrm{e}^\alpha\cdot\mathrm{e}_\beta) A_\alpha B^\beta = \delta^{\alpha}_{\beta}\,A_\alpha B^\beta = A_\alpha B^\alpha.$

Обратим внимание, что для сумм разложения векторов $\textstyle \mathrm{A}$ и $\textstyle \mathrm{B}$ используются различные индексы, так как это различные суммы.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим несколько примеров 4-векторов. Пусть частица имеет скорость $\textstyle \mathbf{u}=d\mathbf{r}/dt$ . Интервал между двумя последовательными положениями частицы через бесконечно близкий промежуток времени $\textstyle dt$ равен:

$ds^2 = dt^2- d\mathbf{r}^2 = dt^2\, (1-\mathbf{u}^2).$

Квадратный корень из этого выражения называется собственным временем частицы:

$ds = dt\,\sqrt{1-\mathbf{u}^2}.$

Собственное время является инвариантом преобразований Лоренца. Для каждого наблюдателя промежуток времени $\textstyle dt$ и скорость частицы $\textstyle \mathbf{u}$ будут разными, но их комбинация в виде собственного времени окажется одинаковой.

Так как 4-координаты $\textstyle x^\alpha=(t, \mathbf{r})$ преобразуются как 4-вектор, а собственное время $\textstyle ds$ (интервал вдоль траектории)— инвариант, то можно определить следующий 4-вектор скорости:

$U^\alpha = \frac{dx^\alpha}{ds} = \left\{\frac{1}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\; \frac{\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} \right\}.$

(EQN)

Компоненты 4-вектора скорости преобразуются, как и компоненты любого 4-вектора (). Так, для пространственных компонент имеем:

$\frac{u'_x}{\sqrt{1-\mathbf{u}'^2}} = \frac{u_x - v }{\sqrt{1-v^2}\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{u'_y}{\sqrt{1-\mathbf{u}'^2}} = \frac{u_y}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}.$

и для $\textstyle u'_z$ , аналогично $\textstyle u'_y$ . Преобразования нулевых компонент имеют вид:

$\frac{1}{\sqrt{1-\mathbf{u}'^2}} = \frac{1 - vu_x}{\sqrt{1-v^2}\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}.$

Исключая при помощи этого соотношения $\textstyle \sqrt{1-\mathbf{u}'^2}$ в преобразованиях для пространственных компонент скорости, мы приходим к закону преобразования скорости (), стр. \pageref{speed_add0} относительно двух инерциальных систем отсчёта:

$u'_x =\frac{u_x - v}{1 - vu_x},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; u'_y = \frac{u_y\sqrt{1-v^2}}{1 - vu_x}.$

Отметим, что квадрат 4-вектора скорости равен единице:

$\mathrm{U}^2 = U_\alpha U^\alpha = \frac{1}{1-\mathbf{u}^2} - \frac{\mathbf{u}^2}{1-\mathbf{u}^2} = 1.$

Это также непосредственно следует из определения 4-вектора скорости и интервала: $\textstyle \mathrm{U}^2=dx_\alpha dx^\alpha/ds^2=1$ .

$\textstyle \bullet$ Аналогичным образом можно определить 4-вектор ускорения, как производную от 4-скорости:

$A^\alpha = \frac{dU^\alpha}{ds} = \frac{1}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} \;\frac{d}{dt} \Bigl\{\frac{1}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\;\frac{\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}\Bigr\}.$

Вводя обычное 3-мерное ускорение $\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{u}/dt$ и беря покомпонентно производную, получаем:

$A^\alpha = \frac{dU^\alpha}{ds} = \left\{\frac{\mathbf{u}\mathbf{a}}{(1-\mathbf{u}^2)^2},\;\frac{\mathbf{a} + [\mathbf{u}\times[\mathbf{u}\times \mathbf{a}]]}{(1-\mathbf{u}^2)^2}\right\},$

(EQN)

При помощи () можно записать закон преобразования ускорения, хотя это проще сделать прямым дифференцированием векторного преобразования для скорости. Несложно проверить, что скалярное произведение 4-скорости и 4-ускорения равно нулю: $\textstyle \mathrm{u}\cdot\mathrm{a}=0$ . Это соотношение можно также получить дифференцированием $\textstyle \mathrm{u}^2=1$ по $\textstyle s$ :

$\frac{d(U^\alpha U_\alpha)}{ds} =\frac{dU^\alpha }{ds}\,U_\alpha + U^\alpha\,\frac{dU_\alpha }{ds} = A^\alpha U_\alpha + U^\alpha A_\alpha = 2 A^\alpha U_\alpha = 0,$

где взята производная произведения, и учтено (), что $\textstyle A^\alpha U_\alpha = A_\alpha U^\alpha$ .

$\textstyle \bullet$ При помощи ковариантных обозначений можно единым образом записать соотношения для эффектов Доплера и аберрации. Для этого определим волновой 4-вектор:

$k^\alpha = (\omega, \mathbf{k}) = (\omega, \omega\,\mathbf{n}),$

где $\textstyle \omega=2\pi\nu$ — круговая частота ( $\textstyle \nu$ — обычная частота), $\textstyle \mathbf{k}$ — волновой вектор в направлении распространения волны и равный $\textstyle |\mathbf{k}|=2\pi/\lambda$ , где $\textstyle \lambda$ — длина волны. Так как $\textstyle \nu \lambda =c =1$ , во втором равенстве введен единичный вектор $\textstyle \mathbf{n}^2=1$ и $\textstyle \lambda$ выражена через $\textstyle \nu$ . Заметим, что:

$\mathrm{k}^2=k_\alpha k^\alpha = \omega^2 (1-\mathbf{n}^2) = 0.$

Преобразование () для нулевых компонент даёт эффект Допплера:

$\frac{\omega}{\omega'} = \frac{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}{1-\mathbf{v}\mathbf{n}}.$

Это выражение отличается от (), стр. \pageref{dopler_nv} знаком минус в знаменателе. Связано это с различным смыслом единичного вектора $\textstyle \mathbf{n}$ . В () это было направление на источник (от наблюдателя), тогда как в записанном выше преобразовании $\textstyle \mathbf{n}$ — это направление распространения светового сигнала к наблюдателю. Отсюда и противоположные знаки. Преобразования для пространственных компонент $\textstyle k^\alpha$ приводят к эффекту аберрации (), стр.\pageref{aber_vec}.

Четырёхмерное пространство-время <<	Оглавление (Глава 2)	>> Матричные преобразования

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Ковариантная формулировка

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты