Ковариантная динамика

Материал из Synset

Решения динамических уравнений <<	Оглавление (Глава 3)	>> Инварианты s, t и u

$\textstyle \bullet$ Любые физические величины могут быть выражены в терминах 4-векторов. Как только подобный 4-вектор записан, при помощи соотношений (), стр. \pageref{lorenz_vecA0}, не составляет труда найти закон преобразования физической величины между двумя инерциальными системами отсчёта.

Так, умножая 4-вектор скорости (), стр. \pageref{u_4vec}, на массу, мы получаем 4-вектор энергии импульса:

$p^\alpha = mu^\alpha = m\,\frac{dx^\alpha}{ds} = \left(\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\; \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} \right) = (E, \mathbf{p}),$

где учтено, что инвариантный интервал вдоль траектории движения частицы равен $\textstyle ds=dt\,\sqrt{1-\mathbf{u}^2}$ , а $\textstyle dx^\alpha=(dt,\;d\mathbf{r})$ . Масса частицы является инвариантом. Её квадрат совпадает с квадратом 4-импульса:

Это же выражение сразу следует из соотношения для 4-скорости $\textstyle \mathrm{u}^2=1$ . В 4-мерном импульсном пространстве с осями $\textstyle E$ , $\textstyle p_x$ , $\textstyle p_y$ , $\textstyle p_z$ уравнение $\textstyle \mathrm{p}^2 = m^2$ является гиперболоидом. Для "обычных" частиц $\textstyle m^2>0$ , $\textstyle E>0$ , поэтому энергия и импульс частиц находятся на верхней чаше гиперболоида, которую называют массовой поверхностью. Частицы с нулевой массой лежат на конусе.

Для энергии и импульса можно записать векторное преобразование между двумя системами отсчёта (см. также стр. \pageref{lorenz_EP_vec}):

$E'=\gamma (E-\mathbf{v}\mathbf{p}),\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}' = \mathbf{p} - \gamma \mathbf{v} E + \Gamma\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{p}).$

Масса фотона равна нулю, и в соответствии с формулой Планка можно ввести волновой 4-вектор:

$p^\alpha = \hbar k^\alpha,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;k^\alpha = (\omega, \mathbf{k}) =(\omega, \omega\mathbf{n}),$

где $\textstyle n$ — единичный вектор в направлении распространения фотона, а $\textstyle \omega=2\pi\nu$ — его круговая частота. При помощи этих соотношений и преобразований энергии - импульса можно снова записать соотношение для эффекта Доплера и аберрации (стр. \pageref{acsel_4vec}).

$\textstyle \bullet$ Для получения 4-вектора силы необходимо продифференцировать 4-импульс по инвариантному интервалу:

$f^\alpha = \frac{dp^\alpha}{ds}.$

Учитывая, что для инвариант $\textstyle s$ (собственное время) вдоль траектории движения частицы равен $\textstyle ds=\sqrt{1-\mathbf{u}^2}\,dt$ , получаем:

$f^\alpha = \frac{dp^\alpha/dt}{ \sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = \left(\frac{\mathbf{u}\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}},\;\frac{\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}\right),$

где подставлены выражения $\textstyle dE/dt=\mathbf{u}\mathbf{F}$ , $\textstyle d\mathbf{p}/dt=\mathbf{F}$ . Величина $\textstyle f^\alpha$ является 4-вектором [преобразуется в соответствии с соотношениями ()], так как 4-вектором является $\textstyle p^\alpha$ , а $\textstyle ds$ — инвариант преобразований.

Скалярное произведение 4-силы на 4-импульс равно нулю:

$\mathrm{p}\cdot\mathrm{f}=p_\alpha f^\alpha = p^0 f^0 - \mathbf{p}\mathbf{f} = \frac{E (\mathbf{u}\mathbf{F}) - \mathbf{p}\mathbf{F}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = 0,$

где в последнем равенстве необходимо подставить $\textstyle \mathbf{p}=\mathbf{u}\,E$ . Это соотношение можно также доказать, продифференцировав массу, которая является константой:

$0 = \frac{d m^2}{ds} = \frac{d (p^\alpha p_\alpha)}{ds} = \frac{dp^\alpha}{ds}\, p_\alpha + p^\alpha\, \frac{dp_\alpha}{ds} = 2 p_\alpha \,\frac{dp^\alpha}{ds} = 2p_\alpha f^\alpha.$

Производная квадрата $\textstyle p^\alpha p_\alpha$ вычисляется по правилу производной произведения. Затем учитывается свойство скалярного произведения любых двух векторов: $\textstyle A^\alpha B_\alpha=A_\alpha B^\alpha$ (стр. \pageref{A_cdot_B}). Напомним, что аналогичные рассуждения были проделаны при доказательстве соотношения $\textstyle \mathrm{u}\cdot \mathrm{a}=0$ .

Квадрат 4-силы является инвариантом, поэтому следующая комбинация

$\mathrm{f}^2=\frac{(\mathbf{u}\mathbf{F})^2 - \mathbf{F}^2}{1-\mathbf{u}^2} = inv$

имеет одно и то же значение для всех инерциальных наблюдателей.

Используя определение 4-ускорения $\textstyle a^\alpha=du^\alpha/ds$ (стр. \pageref{acsel_4vec}), выражение для 4-силы можно написать в квазиньютоновском виде

$f^\alpha = m \,a^\alpha.$

Естественно, это соотношение записано для 4-векторов и, конечно, не эквивалентно обычному ньютоновскому закону $\textstyle \mathbf{F}=m\mathbf{a}$ для обычных 3-векторов.

$\textstyle \bullet$ В ковариантных обозначениях описание реакций взаимодействия частиц становится очень лаконичным и простым. Для двух частиц с 4-импульсами $\textstyle \mathrm{p}_1=(E_1, \mathbf{p}_1)$ и $\textstyle \mathrm{p}_2=(E_2, \mathbf{p}_2)$ , имеющих массы $\textstyle m_1$ и $\textstyle m_2$ , справедливы следующие соотношения:

$\mathrm{p}^2_1=m^2_1,\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{p}^2_2=m^2_2,\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_2=E_1E_2-\mathbf{p}_1\mathbf{p}_2.$

Всегда, когда встречается квадрат 4-импульса, его можно сразу заменить на квадрат массы частицы. Последнее соотношение является общим определением скалярного произведения 4-векторов. Квадраты 4-векторов или их скалярные произведения являются инвариантами, поэтому могут быть расписаны в любой системе отчёта. Полученное значение численно будет совпадать со значением этого инварианта в любой другой системе. Если построено равенство, связывающее два инварианта, можно записать его левую часть в одной системе координат, а правую — в другой. В результате получится связь между величинами, измеряемыми наблюдателями в различных системах отсчёта.

Рассмотрим ещё раз реакцию, в которой частица с 4-импульсом $\textstyle \mathrm{p}$ распадается на две частицы с 4-импульсами $\textstyle \mathrm{p}_1$ и $\textstyle \mathrm{p}_2$ (стр. \pageref{sec_reactions}). Закон сохранения энергии и импульса (компонент 4-импульса) в этом случае имеет вид:

p = p 1 + p 2 .

Для нулевых компонент 4-векторов это уравнение даёт закон сохранения энергии, а для пространственных — закон сохранения импульса.

Перенося 4-импульс $\textstyle \mathrm{p}_1$ влево и возводя в квадрат, получаем:

$(\mathrm{p}-\mathrm{p}_1)^2=m^2+m_1^2-2\mathrm{p}\cdot\mathrm{p}_1 = m^2_2,$

где квадрат раскрывается по обычной алгебраической формуле.

Теперь можно расписать это выражение в конкретной системе отсчёта. Наиболее естественно выбрать систему, в которой исходная частица покоится $\textstyle \mathrm{p}=(m,\mathbf{0})$ . В этом случае скалярное произведение равно $\textstyle \mathrm{p}\cdot\mathrm{p}_1=mE_1-\mathbf{0}\cdot \mathbf{p_1}=mE_1$ . Поэтому:

$m^2+m^2_1 - 2m E_1 = m^2_2.$

В результате энергия продукта распада оказывается зависящей от масс распавшихся частиц и массы исходной частицы:

$E_1 = \frac{m^2+m^2_1-m^2_2}{2 m}.$

Абсолютно аналогично находится $\textstyle E_2$ . Для этого в законе сохранения необходимо перенести 4-импульс $\textstyle \mathrm{p}_2$ влево (или поменять местами индексы).

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь реакцию упругого столкновения двух частиц с 4-импульсами $\textstyle \mathrm{p}_1$ и $\textstyle \mathrm{p}_2$ . После столкновения их массы не изменяются, а 4-импульсы становятся равными $\textstyle \mathrm{p}'_1$ и $\textstyle \mathrm{p}'_2$ . Закон сохранения энергии-импульса в этом случае имеет вид:

p 1 + p 2 = p' 1 + p' 2 .

Избавимся от энергии и импульса одной из конечных частиц. Для этого $\textstyle \mathrm{p}'_1$ перенесём влево и всё выражение возведём в квадрат:

$(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2-\mathrm{p}'_1)^2 = \mathrm{p}'\,^2_2.$

Проведя стандартные алгебраические действия, имеем:

$m^2_1 + m^2_2 + m^2_1 + 2\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}_2 - 2\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}'_1 - 2\mathrm{p}_2\cdot\mathrm{p}'_1 = m^2_2.$

Выберем лабораторную систему отсчёта, в которой вторая частица неподвижна $\textstyle \mathrm{p}_2=(m_2,\mathbf{0})$ :

$m^2_1 = \mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}'_1+\mathrm{p}_2\cdot(\mathrm{p}'_1-\mathrm{p}_1)=E_1 E'_1 - \mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1 + m_2\,(E'_1 - E_1).$

Теперь несложно выразить угол рассеяния $\textstyle \mathbf{p}\mathbf{p}'=pp'\cos\theta$ через энергию налетающей частицы $\textstyle E_1=\sqrt{p^2+m^2_1}$ и её же энергию после рассеяния $\textstyle E'_1=\sqrt{p'^2+m^2_1}$ .

Для нахождения зависимости импульса $\textstyle |\tilde{\mathbf{p}}_1|=|\tilde{\mathbf{p}}_2|=\tilde{p}$ и угла рассеяния $\textstyle \chi$ в системе центра масс от энергий частиц в лабораторной системе запишем закон сохранения в виде $\textstyle \mathrm{p}'_1-\mathrm{p}_1=\mathrm{p}_2-\mathrm{p}'_2$ и умножим его на $\textstyle \mathrm{p}_2$ .

$\mathrm{p}_2\cdot (\mathrm{p}'_1-\mathrm{p}_1)=\mathrm{p}_2\cdot (\mathrm{p}_2-\mathrm{p}'_2).$

Это равенство является инвариантом, т.е. имеет одинаковые значения в любой системе отсчёта. Распишем левую часть в лабораторной системе $\textstyle \mathrm{p}_2=(m_2,\mathbf{0})$ , а правую — в системе центра масс $\textstyle \mathrm{p}_2=(\tilde{E}_2, \;\tilde{\mathbf{p}}_2)$ :

$m_2(E'_1-E_1)=m^2_2 - (\tilde{E}_2\tilde{E}'_2-\tilde{\mathbf{p}}_2\tilde{\mathbf{p}}'_2).$

В системе центра масс энергии частиц и модули импульсов не изменяются:

$\tilde{E}_2=\tilde{E}'_2,\;\;\;\;\;\;\;\;|\tilde{\mathbf{p}_1}|=|\tilde{\mathbf{p}}_2|=\tilde{p}.$

Поэтому, учитывая, что $\textstyle \tilde{E}^2_2-\tilde{\mathbf{p}}^2_2=m^2_2$ , получаем соотношение:

$E'_1-E_1 = -\frac{\tilde{p}^2}{m_2}\,(1-\cos\chi),$

найденное ранее при помощи закона преобразования энергии и импульса между двумя системами отсчёта (стр. \pageref{E1E1p_chi}).

Решения динамических уравнений <<	Оглавление (Глава 3)	>> Инварианты s, t и u

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Ковариантная динамика

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты