Кинетическая энергия

Материал из Synset

Энергия, импульс, сила и масса <<	Оглавление (Глава 3)	>> Распады и столкновения

$\textstyle \bullet$ Энергия, необходимая для ускорения частицы до скорости $\textstyle u$ :

$T = E-m=\frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}-m,$

называется кинетической. Именно она приводится при указании параметров ускорителя элементарных частиц. При малых скоростях она стремится к классическому выражению $\textstyle T\approx m\mathbf{u}^2/2$ . Если же $\textstyle T\gg m$ , то кинетическая энергия приближённо равна полной энергии ( $\textstyle T\approx E$ ). Например, большой адронный коллайдер LHC в ЦЕРНЕ ускоряет протоны $\textstyle m_p\approx 0.9$ ГэВ до кинетических энергий $\textstyle T\sim 7000$ ГэВ.

Быстро движущиеся частицы могут столкнуться как с неподвижной мишенью, так и со встречным пучком ускоренных частиц. В последнем случае существует заметный энергетический выигрыш. Пусть частицы одинаковые и полная энергия каждого пучка равна $\textstyle E=m/\sqrt{1-u^2}$ . Это означает, что скорости частиц равны $\textstyle u^2=1-m^2/E^2$ :

Перейдём в систему отсчёта, которая движется влево (второй рисунок) со скоростью $\textstyle v=-u$ . В этом случае частицы правого пучка будут неподвижны. Для вычисления энергии левого пучка воспользуемся преобразованием для энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}, с $\textstyle \mathbf{v}=-\mathbf{u}$ и формулой $\textstyle \mathbf{p}=E\mathbf{u}$ :

$E'=\frac{E+\mathbf{u}\mathbf{p}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = \frac{1+u^2}{\sqrt{1-u^2}} E.$

Подставляя $\textstyle u^2=1-m^2/E^2$ для полных и кинетических энергий, окончательно имеем:

$E'=\frac{2E^2}{m}-m,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{T'}{m}=2\,\left(1+\frac{T}{m}\right)^2-2.$

(EQN)

Эти соотношения позволяют сравнить столкновение двух пучков, имеющих энергии $\textstyle E$ , $\textstyle T$ , с рассеиванием на неподвижной мишени одного пучка с энергией $\textstyle E'$ , $\textstyle T'$ . При больших энергиях $\textstyle T\gg m$ имеем $\textstyle T' \approx 2T^2/m$ . Благодаря квадратичной зависимости эквивалент столкновения с неподвижной мишенью растёт очень быстро. Например, для большого адронного коллайдера LHC энергия каждого пучка протонов равна 7 ТэВ ( $\textstyle 7\cdot 10^{12}$ эВ), что приводит к такому же результату, как и столкновение с мишенью с энергией 133 ТэВ. Таким образом, получается выигрыш в 19 раз! При малых скоростях ( $\textstyle T\ll m$ ) кинетическая энергия рассеивания на мишени равна $\textstyle T'\approx 4T$ , т.е. выигрыш при переходе от одного пучка к двум всего лишь четырёхкратный ( $\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Вся энергетика, которую мы используем, существует благодаря текущей или накопленной солнечной энергии. Она, в свою очередь, обусловлена гравитационными силами, которые сдавливают и разогревают огромный плазменный шар до таких давлений и температур, что начинают идти термоядерные реакции. В реакции синтеза (слияния) из двух ядер водорода (протонов см. стр. \pageref{elem_part}) возникает дейтерий $\textstyle \,^2\mathrm{D}$ :

$p+p\;\mapsto \;^2\mathrm{D}+e^++\nu_e.$

Эта реакция идёт с "выделением энергии". Это не очень удачный термин, так как полная энергия любой реакции постоянна. Речь идёт о разности кинетических энергий частиц после и до столкновения:

$\sum_i(T_i+m_i) = \sum_j(T'_i+m'_j)\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta T = (\sum_i m_i)- (\sum_i m'_i).$

Для вычисления выделившейся энергии движения необходимо найти разницу масс частиц до и после соударения. Так, для первой реакции, лежащей в основе термоядерной энергии нашего Солнца, имеем:

$\Delta T = 2\cdot 938.272 - (1875.613 + 0.511) = 0.42\;МэВ,$

где массы частиц можно найти на стр. \pageref{mass_elem_part}. Баланс кинетической энергии важен, так как именно энергия движения может быть в дальнейшем потенциально преобразована в другие "полезные" формы энергии (например, электрическую, и в конечном счёте снова в механическую).

Протон - протонный синтез идёт очень медленно (малая вероятность реакции) и выделяет немного энергии, почти половина которой уносится слабо взаимодействующим с веществом нейтрино. Позитрон аннигилирует с электроном, а дейтерий, сливаясь с протоном, порождает гелий-3 с уже большим энергетическим выходом. После ещё одной реакции синтеза возникает гелий-4. В результате этих реакций четыре протона и два электрона превращаются в ядро гелия, два нейтрино и шесть фотонов: \begin{flushleft} \parbox{8cm}{

} \parbox{7cm}{\large

$\left| \begin{array}{lclr} p+p &\mapsto& ^2\mathrm{D}+ e^+ +\nu_e &0.4\;МэВ\\ e^++e^- &\mapsto& 2\gamma & 1.0\;МэВ\\ ^2\mathrm{D}+p &\mapsto& ^3\mathrm{He}+ \gamma & 5.5\;МэВ\\ {^3\mathrm{He}} + {^3\mathrm{He}} &\mapsto& ^4\mathrm{He}+2p &12.9\;МэВ\\ \end{array} \right.$

} \end{flushleft} Суммарная энергия $\textstyle 26.7\,МэВ$ по сравнению с массой четырех протонов составляет заметную величину 0.7\%. Из-за излучения Солнце ежегодно теряет порядка $\textstyle 10^{17}$ кг, или $\textstyle 5\cdot 10^{-14}$ своей массы. В качестве упражнения предлагается вычислить увеличение кинетических энергий частиц в каждой реакции солнечного цикла и их суммарную энергию.

Энергия, импульс, сила и масса <<	Оглавление (Глава 3)	>> Распады и столкновения

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Кинетическая энергия

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты