Инварианты s, t и u

Материал из Synset

Ковариантная динамика <<	Оглавление (Глава 3)	>> Диаграммы Далица и Мандельстама

$\textstyle \bullet$ Если при столкновении двух частиц изменяются не только их скорости, но и массы, такая реакция называется двухчастичным неупругим столкновением. Например:

$\begin{array}{llcllcllcl} p&+&\gamma &\mapsto & p &+& \pi^0,\\ \pi^+&+&\pi^- &\mapsto & \bar{p} &+& p,\\ \end{array}$

где $\textstyle p$ , $\textstyle \bar{p}$ — протон и антипротон, $\textstyle \gamma$ — фотон, $\textstyle \pi^0$ , $\textstyle \pi^{\pm}$ — нейтральный и заряженные пи-мезоны. С двухчастичными неупругими столкновениями связаны реакции распадов частицы на три другие частицы. Например:

$\begin{array}{llcl} \mu^{-} &\mapsto & e^{-} + \bar{\nu}_e + \nu_\mu,\\ K^{-} &\mapsto & \pi^0+ e^{-} + \bar{\nu}_e,\\ \end{array}$

где $\textstyle \mu$ — мюон, $\textstyle K^{-}$ — каон, $\textstyle \nu_e$ , $\textstyle \nu_\mu$ — электронное и мюонное нейтрино.

Приведенные выше реакции рассеяния и распада объединяет то, что в них участвуют 4 частицы. Для единства мы запишем это в виде четыреххвостой диаграммы (первый рисунок ниже), в которой все 4-импульса направлены к центрy. В реакции рассеяния $\textstyle 1+2\mapsto 3+4$ необходимо изменить знак у 4-импульсов частиц 3 и 4: $\textstyle \mathrm{p}_3\mapsto -\mathrm{p}_3$ , $\textstyle \mathrm{p}_4\mapsto -\mathrm{p}_4$ . Для реакции распада $\textstyle 1\mapsto 2+3+4$ изменяются знаки у частиц 2,3 и 4. Можно также считать, что для начальных частиц $\textstyle \mathrm{p}=(E,\mathbf{p})$ , а для финальных — $\textstyle \mathrm{p}=(-E,-\mathbf{p})$ :

При таком соглашении и для рассеяния, и для распада закон сохранения будет иметь единую форму:

p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 0.

Для описания таких реакций вводятся следующие инварианты:

$\begin{array}{lclcl} s &=& (\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2)^2 &=&(\mathrm{p}_3+\mathrm{p}_4)^2,\\ t &=& (\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_3)^2 &=&(\mathrm{p}_2+\mathrm{p}_4)^2,\\ u &=& (\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_4)^2 &=&(\mathrm{p}_2+\mathrm{p}_3)^2. \end{array}$

Это общепринятые обозначения, и не стоит путать $\textstyle s$ с интервалом, а $\textstyle t$ — со временем. Во вторых равенствах каждого определения учтён закон сохранения 4-импульса.

Сумма всех трёх инвариантов равна сумме квадратов масс частиц:

$s+t+u = m^2_1+m^2_2+m^2_3+m^2_4 = h.$

(EQN)

Для доказательства умножим закон сохранения на $\textstyle \mathrm{p}_1$ :

$\mathrm{p}_1\cdot(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2+\mathrm{p}_3+\mathrm{p}_4)=m^2_1+\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}_2+\mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_3+\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}_4 = 0.$

С другой стороны, раскрывая квадраты в определении $\textstyle s$ , $\textstyle t$ , $\textstyle u$ , имеем:

$s+t+u = (m^2_1+m^2_2+2\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}_2)+(m^2_1+m^2_3+2\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}_3)+(m^2_1+m^2_4+2\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{p}_4).$

С учётом этих двух соотношений несложно получить (). Поэтому введенные три инварианта не являются независимыми. Обычно таковыми считаются $\textstyle s$ и $\textstyle t$ , а инвариант $\textstyle u=h-s-t$ выражается через них.

Рассмотрим подробнее двухчастичное рассеяние. Обычно его изучают в двух системах отсчёта — системе центра масс (центра инерции) и лабораторной системе. В первом случае производится встречное столкновение частиц так, что суммарный импульс частиц до и после взаимодействия равен нулю. В лабораторной системе отсчёта производится столкновение частиц первого сорта с неподвижными частицами второго сорта, которые называются также мишенью.

Величины, относящиеся к лабораторной системе, мы будем помечать штрихами, а в системе центра масс они будут без штрихов.

В системе центра масс $\textstyle \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=0$ , $\textstyle \mathbf{p}_3+\mathbf{p}_4=0$ удобно ввести два импульса $\textstyle \mathbf{p}=\mathbf{p}_1=-\mathbf{p}_2$ , $\textstyle \mathbf{q}=\mathbf{p}_3=-\mathbf{p}_4$ . Так как масса частиц изменяется, то из закона сохранения энергии:

$\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2_1}+\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2_2} = \sqrt{\mathbf{q}^2+m^2_3}+\sqrt{\mathbf{q}^2+m^2_4}$

уже не следует равенство модулей импульсов до и после столкновения, и в общем случае $\textstyle |\mathbf{p}|\neq |\mathbf{q}|$ . Соответственно изменяются и энергии частиц. Если же $\textstyle m_3=m_1$ и $\textstyle m_4=m_2$ , то $\textstyle |\mathbf{p}|=|\mathbf{q}|$ .

Подобная реакция может происходить только, если суммарная энергия исходных частиц в системе центра масс больше суммы масс конечных частиц $\textstyle E_1+E_2> m_3+m_4$ . Подобное энергетическое неравенство называется порогом реакции.

$\textstyle \bullet$ Инвариант $\textstyle s$ имеет смысл квадрата полной энергии в системе центра масс. Действительно, если $\textstyle \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=0$ , то $\textstyle s=(E_1+E_2)^2=(E_3+E_4)^2$ . При помощи $\textstyle s$ можно выразить энергии частиц в системе центра масс до и после столкновения. Для этого вычислим следующий инвариант:

$\mathrm{p}_1\cdot (\mathrm{p}_1 + \mathrm{p}_2) = E_1 (E_1+E_2) = E_1\sqrt{s}.$

С другой стороны, раскрыв скобки: $\textstyle \mathrm{p}_1\cdot (\mathrm{p}_1 + \mathrm{p}_2) = m^2_1 + \mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_2=E_1\sqrt{s}$ и выразив $\textstyle \mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_2$ , можно его подставить в определение инварианта:

$s = (\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2)^2=m^2_1 + m^2_2 + 2 \mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_2 = m^2_2-m^2_1 + 2E_1\sqrt{s}.$

В результате получается энергия $\textstyle E_1$ (и аналогично $\textstyle E_2$ ):

$E_1 = \frac{s+m^2_1-m^2_2}{2\sqrt{s}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_2 = \frac{s+m^2_2-m^2_1}{2\sqrt{s}}.$

Чтобы найти энергии частиц после столкновения, необходимо во всех соотношениях произвести замену индексов $\textstyle 1\mapsto 3$ , $\textstyle 2\mapsto 4$ . В результате:

$E_3 = \frac{s+m^2_3-m^2_4}{2\sqrt{s}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_4 = \frac{s+m^2_4-m^2_3}{2\sqrt{s}}.$

Квадраты импульсов до и после реакции могут быть найдены из стандартной связи $\textstyle \mathbf{p}^2=E^2_1-m^2_1$ и $\textstyle \mathbf{q}^2=E^2_3-m^2_3$ , откуда:

$\mathbf{p}^2 = \frac{\lambda(s, m^2_1, m^2_2)}{4s}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{q}^2 = \frac{\lambda(s, m^2_3, m^2_4)}{4s},$

где введена т.н. функция треугольника:

$\lambda(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 - 2xy-2xz-2yz=[x-\bigl(\sqrt{y}+\sqrt{z}\bigr)^2]\,[x-\bigl(\sqrt{y}-\sqrt{z}\bigr)^2].$

Второй инвариант $\textstyle t$ связан с углом рассеяния в системе центра масс. Так как частица 3 является финальной, необходимо заменить $\textstyle \mathrm{p}_3\mapsto - \mathrm{p}_3$ :

$t = (\mathrm{p}_1-\mathrm{p}_3)^2 = m^2_1+m^2_3 - 2\mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_3 = m^2_1+m^2_3 - 2E_1 E_3 + 2 |\mathbf{p}||\mathbf{q}| \, \cos\chi.$

Используя полученные выше соотношения, имеем:

$\cos\chi = \frac{s^2+s(2t-h)+(m^2_1-m^2_2)(m^2_3-m^2_4)}{\sqrt{\lambda(s, m^2_1, m^2_2)\,\lambda(s, m^2_3, m^2_4)}},$

(EQN)

где $\textstyle h$ — сумма квадратов масс частиц, а $\textstyle |\mathbf{p}|$ и $\textstyle |\mathbf{q}|$ выражаются через $\textstyle s$ .

$\textstyle \bullet$ Аналогично через инварианты выражаются величины в лабораторной системе отсчёта, в которой будем считать вторую частицу неподвижной $\textstyle \mathrm{p}_2=(m_2,\,\mathbf{0})$ . Возводя в квадрат определения инвариантов, содержащие $\textstyle \mathrm{p}_2$ : $\textstyle s=(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2)^2$ , $\textstyle t=(\mathrm{p}_4-\mathrm{p}_2)^2$ и $\textstyle u=(\mathrm{p}_3-\mathrm{p}_2)^2$ , получаем:

$E'_1=\frac{s-m^2_1-m^2_2}{2m_2},\;\;\;\;\;E'_3=\frac{m^2_2+m^2_3-u}{2m_2},\;\;\;\;\;E'_4=\frac{m^2_2+m^2_4-t}{2m_2}.$

Напомним, что $\textstyle u$ не является независимым инвариантом и выражается через $\textstyle s$ , $\textstyle t$ и сумму квадратов масс частиц ().

Квадраты импульсов находим из связи энергии, импульса и массы:

$\mathbf{p}'\,^2_1 = \frac{\lambda(s, m^2_1, m^2_2)}{4m^2_2},\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}'\,^2_3 = \frac{\lambda(u, m^2_3, m^2_2)}{4m^2_2},\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p}'\,^2_4 = \frac{\lambda(t, m^2_4, m^2_2)}{4m^2_2}.$

Угол вылета третей частицы относительно импульса первой выражается через инвариант $\textstyle t$ :

$t = (\mathrm{p}_1-\mathrm{p}_3)^2 = m^2_1+m^2_3 - 2\mathrm{p}_1\cdot \mathrm{p}_3 = m^2_1+m^2_3 - 2E'_1 E'_3 + 2 |\mathbf{p}'_1||\mathbf{p}'_3| \, \cos\theta.$

Подставляя выражения для энергий и квадратов импульсов, имеем:

$\cos\theta = \frac{(s-m^2_1-m^2_2)(m^2_2+m^2_3-u)+2m^2_2\,(t-m^2_1-m^2_3)}{\sqrt{\lambda(s, m^2_1, m^2_2)\,\lambda(u, m^2_2, m^2_3)}}.$

Так как величины $\textstyle s$ и $\textstyle t$ являются инвариантами (одинаковыми в лабораторной системе и системе центра масс), они позволяют связать энергии, импульсы и углы в этих двух системах отсчёта. Для этого необходимо, например, $\textstyle s$ выразить через энергию $\textstyle E'_1$ :

$s = m^2_1+m^2_2 + 2 m_2 E'_1.$

Так как переменная $\textstyle s=(E_1+E_2)^2$ положительна в системе центра масс, она, естественно, будет положительной и в лабораторной системе отсчёта. Запишем в явном виде связь энергии первой частицы в двух системах отсчёта:

$E_1 = \frac{m^2_1+ m_2 E'_1}{\sqrt{m^2_1+m^2_2 + 2 m_2 E'_1}}.$

Аналогично можно выразить $\textstyle t$ через угол $\textstyle \theta$ рассеяния третьей частицы. После этого несложно найти связь углов $\textstyle \theta$ и $\textstyle \chi$ рассеяния в двух системах отсчёта.

Ковариантная динамика <<	Оглавление (Глава 3)	>> Диаграммы Далица и Мандельстама

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Инварианты s, t и u

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты