Закон Кулона

Материал из Synset

Неинерциальные координаты и время <<	Оглавление (Глава 5)	>> Поле равномерно двигающегося заряда

Мир вещественных тел, непосредственно воспринимаемый чувствами, очень привычен для нашего повседневного опыта. Поэтому для возникновения понятия "поля" потребовались длительная эволюция и достаточно высокий уровень физической абстракции. Простейший способ введения поля состоит в "отрывании" параметров пробного тела от параметров объекта, оказывающего на него силовое воздействие. Известно, что неподвижный заряд $\textstyle Q$ действует на небольшой пробный заряд $\textstyle q$ силой Кулона:

$\mathbf{F}=\frac{qQ}{r^3}\mathbf{r}.$

Заряды могут быть как положительными, так и отрицательными. Сила взаимодействия зависит от их произведения. Следовательно, заряды одинакового знака отталкиваются, а противоположного — притягиваются. Введём электрическое поле $\textstyle \mathbf{E}$ следующим образом:

$\mathbf{E}=\frac{Q}{r^3}\mathbf{r},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{F}=q\mathbf{E}.$

(EQN)

Напряжённость электрического поля, т.е. значение векторной функции $\textstyle \mathbf{E}$ , зависит от расстояния $\textstyle \mathbf{r}$ и заряда $\textstyle Q$ , но не зависит от значения пробного заряда $\textstyle q$ . Такое отделение источника силы от объекта воздействия является очень удобным, однако достаточно формальным. В дальнейшем, когда мы учтём конечность скорости распространения электромагнитного взаимодействия, поле окажется реально существующим физическим объектом. Обратим внимание, что электрическое поле мы обозначаем той же буквой, что и энергию. Чтобы не было путаницы, в этой главе будем обозначать энергию движения частицы, как $\textstyle \mathbb{E}$ .

Закон Кулона с хорошей степенью точности справедлив как на очень малых расстояниях, так и на достаточно больших. Тем не менее, с физической точки зрения соответствующее ему электрическое поле $\textstyle \mathbf{E}$ не является хорошо определённой величиной. Если объект, имеющий заряд $\textstyle Q$ — точечный, то при $\textstyle r= 0$ получается бесконечное значение поля и, следовательно, силы воздействия на пробный заряд $\textstyle q$ . Попробуем временно устранить эту проблему, модифицируя закон Кулона при помощи малой константы $\textstyle a$ :

$\mathbf{E}=\frac{Q\,\mathbf{r}}{(r^2+a^2)^{3/2}}.$

(EQN)

При $\textstyle a=0$ мы возвращаемся к исходному выражению, однако при $\textstyle a\neq 0$ получается конечное значение напряжённости $\textstyle \mathbf{E}$ при $\textstyle r=0$ . Подобное устранение сингулярности (бесконечности) называется регуляризацией.

Найдём дивергенцию электрического поля, умножив его на оператор набла. Дивергенция радиус вектора $\textstyle \mathbf{r}$ и градиент его длины $\textstyle r=\sqrt{\mathbf{r}^2}$ равны (см. стр. \pageref{math_nabla_r_3}):

$\nabla\mathbf{r}=3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nabla r= \frac{\mathbf{r}}{r}.$

Поэтому, вычисляя дивергенцию поля () как производную произведения, получаем:

$\mathbf{\nabla}\mathbf{E}= \frac{3Q}{(r^2+a^2)^{3/2}}- \frac{3}{2}\, \frac{Q\mathbf{r}}{(r^2+a^2)^{5/2}}\,2r\,\frac{\mathbf{r}}{r} = 4\pi Q\,\delta_a(\mathbf{r}),$

где введена следующая скалярная функция:

При уменьшении значения параметра $\textstyle a$ функция $\textstyle \delta_a(\mathbf{r})$ получается всё более высокой и узкой (см. рисунок). Множитель $\textstyle 3/4\pi$ выделен для того, чтобы интеграл от $\textstyle \delta_a(\mathbf{r})$ по всему пространству был равен единице:

$\int\delta_a(\mathbf{r})\,dV=\frac{3a^2}{4\pi}\,\int\limits^{\infty}_{0}\int\limits_{4\pi} \frac{r^2drd\Omega}{(r^2+a^2)^{5/2}}= \int\limits^{\infty}_{0}\frac{3 \chi^2d \chi}{(1+\chi^2)^{5/2}}=\frac{\chi^3}{(1+\chi^2)^{3/2}}\Bigr|^\infty_0= 1.$

Вычисление интеграла проводится в сферических координатах. Интегрирование по телесному углу $\textstyle d\Omega$ даёт $\textstyle 4\pi$ , и сделана замена $\textstyle \chi=r/a$ . Значение интеграла остаётся единичным при $\textstyle a\to 0$ , хотя функция $\textstyle \delta(\mathbf{r})=\delta_0(\mathbf{r})$ в этом пределе становится разрывной:

$\lim_{a\to 0}\delta_a(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r}) = \left\{ \begin{array}{lll} 0,&\;\;\;&r\neq 0\\ \infty,&\;\;\;&r=0 \end{array} \right., \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int\limits \delta(\mathbf{r}) \,dV=1.$

Функция $\textstyle \delta(\mathbf{r})$ с такими свойствами называется трёхмерной функцией Дирака (см. также стр. \pageref{m_dirac}). Её удобно использовать для описания точечных зарядов, когда заряд сосредоточен в сколь угодно малом объёме. В этом случае дивергенция электрического поля равна нулю везде, кроме точки $\textstyle r=0$ , где она обращается в бесконечность. Заметим, что если бы мы формально вычислили $\textstyle \nabla\mathbf{E}$ для закона Кулона (), то получился бы ноль при любом значении $\textstyle r$ . Поэтому дифференцирование сингулярных функций требует определённой аккуратности.

$\textstyle \bullet$ При помощи функции Дирака закон Кулона можно записать в форме дифференциального уравнения:

$\nabla\mathbf{E} = 4\pi Q\,\delta(\mathbf{r}).$

Воспользовавшись теоремой Гаусса (стр. \pageref{m_nabla}) и интегрируя по замкнутой поверхности, окружающей заряд $\textstyle Q$ , мы получаем интегральную версию этого же уравнения:

$\oint\limits_S\, \mathbf{E}\,d\mathbf{S} = 4\pi Q.$

(EQN)

Экспериментальным фактом является принцип суперпозиции:

поле, создаваемое несколькими зарядами, равно векторной сумме напряжённостей поля от каждого заряда.

Поэтому закон Кулона в дифференциальной форме может быть записан в следующем виде, который называют законом Гаусса:

$\nabla\mathbf{E} = 4\pi \,\rho(\mathbf{r}),$

(EQN)

где функция $\textstyle \rho(\mathbf{r})$ называется плотностью заряда

$\rho(\mathbf{r}) = \sum^n_{i=1} Q_i\delta (\mathbf{r}-\mathbf{r}_i).$

Она выражается через значения зарядов $\textstyle Q_1,...,Q_n$ , находящихся в точках пространства $\textstyle \mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_n$ . Интегральный закон Кулона () остаётся неизменным, однако $\textstyle Q$ , входящий в правую часть, имеет смысл суммарного заряда в объёме, окружённом поверхностью $\textstyle S$ .

Интеграл по объёму $\textstyle V$ от функции $\textstyle \rho(\mathbf{r})$ даёт суммарный заряд, находящийся в этом объёме. Пусть точечные заряды расположены очень близко, так что имеет смысл говорить о непрерывном распределении заряда. Тогда его плотность определяется при помощи предела:

$\sum_i Q_i = \int\limits_{V\to 0}\rho(\mathbf{r})\,dV \approx \rho(\mathbf{r})\,V\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\; \rho(\mathbf{r}) = \lim_{V\to 0}\frac{1}{V} \sum_i Q_i,$

где суммируются все заряды, попавшие в объём $\textstyle V$ , окружающий точку пространства $\textstyle \mathbf{r}$ . На практике математический предел не вычисляется, а берётся малый объём $\textstyle V$ , и плотность считается равной отношению заряда, который содержится в объёме, к величине этого объёма. Такая процедура "сглаживания" суммы сингулярных функций Дирака приводит к тому, что плотность заряда $\textstyle \rho(\mathbf{r})$ в ряде случаев оказывается гладкой ("обычной") функцией координат.

$\textstyle \bullet$ Напряжённость поля принято изображать в виде стрелок, направление которых совпадает с вектором $\textstyle \mathbf{E}$ , а их количество, проходящее через единицу поверхности, пропорционально модулю напряжённости $\textstyle |\mathbf{E}|$ .

Если есть симметрия в распределении заряда, при помощи уравнения () иногда можно легко находить напряжённость электрического поля. Рассмотрим, например, однородный шар радиуса $\textstyle R$ , плотность заряда внутри которого постоянна. Выделенных направлений нет, поэтому в силу сферической симметрии "стрелки" электрического поля выглядят так, как это показано на рисунке ниже, и напряжённость равна:

Действительно, окружим шар сферой радиуса $\textstyle r>R$ , имеющей площадь $\textstyle 4\pi r^2$ . Так как вектор $\textstyle d\mathbf{S}$ параллелен вектору напряжённости и на сфере её модуль постоянен, имеем:

$\oint_S\, \mathbf{E}\,d\mathbf{S} = |\mathbf{E}| 4\pi r^2= 4\pi Q\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;|\mathbf{E}|=\frac{Q}{r^2},$

т.е. вне шара выполняется закон Кулона. Если же $\textstyle r\leqslant R$ , то заряд внутри сферы равен произведению объёма $\textstyle 4\pi r^3/3$ на плотность:

$\oint_S\, \mathbf{E}\,d\mathbf{S} = |\mathbf{E}| 4\pi r^2= 4\pi \,\rho \,\frac{4\pi}{3}\, r^3 = 4\pi Q\, \frac{r^3}{R^3} \;\;\;=>\;\;\;\mathbf{E} = Q\,\frac{\displaystyle \mathbf{r}}{\displaystyle R^3}.$

Проверьте ( $\textstyle \lessdot$ H), что поле, создаваемое бесконечной тонкой однородно заряженной нитью с зарядом $\textstyle \mu=Q/L$ на единицу длины $\textstyle L$ , равно:

где $\textstyle \mathbf{r}_\perp$ — составляющая радиус-вектора, перпендикулярная к нити (см. рисунок), а $\textstyle \mathbf{k}$ — единичный вектор, направленный вдоль нити. Стоит вычислить $\textstyle \nabla\mathbf{E}$ , проведя регуляризацию выражения. Заметим, что выделенных направлений вдоль нити нет. Поэтому ещё одна симметричная конфигурация поля, когда вектор $\textstyle \mathbf{E}$ касателен цилиндру, окружающему нить (поперёк направления нити), не является подходящей. Нет оснований "закрутить" поле $\textstyle \mathbf{E}$ в одну или в другую сторону.

$\textstyle \bullet$ Вторая операция, которая может быть проделана с векторной функцией при помощи оператора набла, — это ротор. Для любого сферически симметричного поля $\textstyle f(r)\mathbf{r}$ ротор равен нулю. Действительно, так как:

$\nabla f(r)=f'(r)\,\frac{\mathbf{r}}{r},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\nabla \times \mathbf{r}]=0,$

то для ротора сферически симметричного поля получаем:

$[\nabla \times f(r)\,\mathbf{r}]=f(r)\, [\nabla \times \mathbf{r}] - [\mathbf{r} \times \nabla ]\, f(r) = -f'(r)\, \frac{[\mathbf{r} \times \mathbf{r}]}{r} = 0.$

Поэтому как для закона Кулона, так и для его регуляризованного выражения () ротор будет равен нулю. В силу принципа суперпозиции это справедливо для любого статического распределения заряда. Поэтому уравнения электростатики имеют вид:

$\nabla \mathbf{E}=4\pi\,\rho,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nabla \times \mathbf{E}=0.$

(EQN)

Последнее уравнение, выражающее центральный характер кулоновского поля для точечного заряда, выполняется автоматически, если:

$\mathbf{E}=-\nabla\,\varphi,$

(EQN)

где $\textstyle \varphi=\varphi(\mathbf{r})$ — скалярная функция, называемая потенциалом. Действительно: $\textstyle \nabla \times \mathbf{E}=-[\nabla \times \nabla ]\varphi=0.$ Подстановка вектора напряжённости, выраженного через потенциал, в уравнение для дивергенции (закон Гаусса), даёт уравнение Пуассона с оператором Лапласа $\textstyle \Delta=\nabla^2$ :

$\Delta \varphi = -4\pi \rho.$

(EQN)

Кулоновский потенциал поля точечного заряда равен

$\varphi = \frac{Q}{r},$

что проверяется вычислением его градиента () и сравнением с ().

Потенциал и напряжённость можно представить в интегральном виде, просуммировав кулоновские поля от зарядов малых объёмов:

Значения напряжённости поля и потенциал вычисляются в точке пространства $\textstyle \mathbf{x}=\{x,y,z\}$ ("жирный" $\textstyle \mathbf{x}$ — это вектор, а не координата $\textstyle x$ !). Интегрирование проводится по радиус-вектору $\textstyle \mathbf{r}$ , пробегающему все заряды $\textstyle \rho(\mathbf{r})d^3\mathbf{r}$ в каждом элементарном объёме $\textstyle dV\equiv d^3\mathbf{r}$ . Если плотность $\textstyle \rho(\mathbf{r})$ равна сумме дельта-функций Дирака, мы возвращаемся к сумме полей, создаваемых точечными зарядами (принцип суперпозиции).

$\textstyle \bullet$ При движении в кулоновском поле, создаваемом точечным зарядом $\textstyle Q$ , сохраняется полная энергия пробного заряда $\textstyle q$ :

$\mathcal{E}=\mathbb{E} + \frac{qQ}{r} = \mathbb{E}+q\varphi,$

где $\textstyle \mathbb{E}=m/\sqrt{1-\mathbf{u}^2}$ . Действительно (см. также стр. \pageref{sec_force}):

$\frac{d\mathcal{E}}{dt} \;=\; \mathbf{u}\mathbf{F} -\frac{qQ}{r^2}\,\frac{\mathbf{r}\mathbf{u}}{r} \;=\;\frac{qQ}{r^3}\,(\mathbf{r}\mathbf{u}) -\frac{qQ}{r^3}\,(\mathbf{r}\mathbf{u}) \;=\; 0.$

Поэтому потенциал $\textstyle \varphi$ можно интерпретировать, как потенциальную энергию пробного единичного заряда:

$U(\mathbf{r}) = q\,\varphi(\mathbf{r}).$

При помощи теоремы Стокса равенство нулю ротора электрического поля можно записать в интегральном виде:

где интегрирование проводится по замкнутому контуру $\textstyle L$ . Сила, действующая на заряд $\textstyle q$ , равна $\textstyle q\mathbf{E}$ , а скалярное произведение силы на вектор смещения $\textstyle d\mathbf{r}$ в пространстве — это работа, совершаемая для перемещения заряда в поле. Поэтому подобный интегральный закон выражает равенство нулю работы перемещения заряда по замкнутому контуру. Если контур незамкнутый, то работа:

$A = \int\limits^{\mathbf{r_2}}_{\mathbf{r_1}} \mathbf{F}\,d\mathbf{r} =-\int\limits^{\mathbf{r_2}}_{\mathbf{r_1}} q\nabla \varphi(\mathbf{r})\,d\mathbf{r} =-q \int\limits^{\mathbf{r_2}}_{\mathbf{r_1}} d\varphi = q\varphi(\mathbf{r_1})-q\varphi(\mathbf{r_2})$

равна разнице потенциалов в начальной и конечной точках (изменению потенциальной энергии) и поэтому не зависит от формы пути.

Так как электрическое поле является градиентом от потенциала (с обратным знаком), то оно всегда перпендикулярно поверхности постоянного потенциала $\textstyle \varphi(\mathbf{r})=const$ (стр.\pageref{m_nabla}). Такие поверхности называются эквипотенциальными. Перемещение заряда вдоль эквипотенциальной поверхности происходит перпендикулярно вектору силы и не меняет энергии заряда. Например, для центрально-симметричного электрического поля, создаваемого точечным зарядом или заряженным шаром, эквипотенциальные поверхности являются сферами, окружающими центр симметрии.

Неинерциальные координаты и время <<	Оглавление (Глава 5)	>> Поле равномерно двигающегося заряда

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Закон Кулона

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты