Дипольное излучение

Материал из Synset

Потенциалы поля <<	Оглавление (Глава 5)	>> Немного комплексных чисел

В разделе были получены выражения для электрического и магнитного полей на больших расстояниях от зарядов и токов в статическом случае. Проведём аналогичные вычисления в ситуации, когда токи, положение зарядов, а следовательно, и напряжённость электромагнитного поля меняются со временем.

Пусть расстояние от точки наблюдения полей до компактной системы зарядов равно $\textstyle |\mathbf{x}|$ . Тогда любые изменения, происходящие с этими зарядами, будут наблюдаться в прошлом, отдалённом от текущего момента на время $\textstyle |\mathbf{x}|/c$ , где $\textstyle c=1$ — фундаментальная скорость. На самом деле, всё в этом мире мы наблюдаем в прошлом. Любые сигналы распространяются со скоростью, равной или меньшей фундаментальной. Чем дальше от нас объект, тем более отдалённое его прошлое мы видим. То, что происходит с Солнцем, мы узнаём только через 8 минут, а соседнюю галактику Андромеды мы видим такой, какой она была 2.5 миллиона лет назад.

Запишем решение уравнений Максвелла для скалярного потенциала (), стр.\pageref{retarded_potential_phi}:

$\varphi(\mathbf{x},t) = \int\frac{\rho(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|} \,d^3\mathbf{r},$

опустив часть решения $\textstyle \varphi_0(\mathbf{x},t)$ свободных уравнений, не связанную с зарядами $\textstyle \rho$ . Разложим в ряд расстояние от элементарного объёма $\textstyle d^3\mathbf{r}$ до точки наблюдения (см. также стр.\pageref{sec_em_moments}):

$|\mathbf{x}-\mathbf{r}| \approx \sqrt{\mathbf{x}^2-2\mathbf{x}\mathbf{r}} \approx |\mathbf{x}| - \mathbf{n}\mathbf{r},$

где $\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{x}/|\mathbf{x}|$ . Разложим также плотность заряда в ряд Тейлора по $\textstyle \mathbf{n}\mathbf{r}$ :

$\rho(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)\approx\rho(\mathbf{r}, \;T+\mathbf{n}\mathbf{r})\approx\rho(\mathbf{r}, \;T)+\dot{\rho}(\mathbf{r}, \;T)\,(\mathbf{n}\mathbf{r})+...,$

где $\textstyle T=t-|\mathbf{x}|$ — время в прошлом от текущего момента $\textstyle t$ , в котором наблюдатель, расположенный в $\textstyle \mathbf{x}$ , "видит" систему зарядов. Точка над $\textstyle \rho$ — частная производная по времени. Аналогично разложим в ряд знаменатель под интегралом:

$\frac{1}{ |\mathbf{x}-\mathbf{r}|}\approx \frac{1}{ |\mathbf{x}|(1-\mathbf{n}\mathbf{r}/|\mathbf{x}|)}\approx \frac{1}{|\mathbf{x}|} + \frac{\mathbf{n}\mathbf{r}}{|\mathbf{x}|^2},$

ограничившись порядком малости $\textstyle \mathbf{n}\mathbf{r}/|\mathbf{x}|$ .

Перемножая эти два ряда с точностью до $\textstyle \mathbf{n}\mathbf{r}$ , получаем:

$\varphi(\mathbf{x},t) \approx \frac{Q}{|\mathbf{x}|} +\frac{\mathbf{n}\mathbf{d}}{|\mathbf{x}|^2} +\frac{\mathbf{n}\dot{\mathbf{d}}}{|\mathbf{x}|},$

где введены суммарный заряд и дипольный момент системы зарядов:

$Q=\int \rho(\mathbf{r}, T) \,d^3\mathbf{r},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{d} = \int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r}, T)\, d^3\mathbf{r}.$

Первое слагаемое является кулоновским потенциалом. Если система зарядов замкнута, то её заряд постоянен и кулоновский член не зависит от времени и эффекта запаздывания. Дальше для простоты будем рассматривать случай $\textstyle Q=0$ . Второе и третье слагаемые в разложении потенциала определяются дипольным моментом и скоростью его изменения. При этом второе слагаемое совпадает с выражением, полученным в электростатике \S (за исключением эффекта запаздывания). Дипольный момент даже замкнутой системы зарядов (в отличие от полного заряда) является функцией времени. На расстоянии $\textstyle |\mathbf{x}|$ он должен браться в момент времени $\textstyle T=t-|\mathbf{x}|$ . Третье слагаемое на больших расстояниях убывает существенно медленнее, чем второе. Поэтому именно оно описывает излучаемую электромагнитную волну. Такое излучение называется дипольным электрическим излучением.

В силу уравнения непрерывности (), стр.\pageref{elec_q_save}, производную по времени от дипольного момента можно переписать следующим образом:

$\dot{\mathbf{d}}= \frac{d}{dT}\int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r}, T)\, d^3\mathbf{r} = -\int \mathbf{r}\,(\nabla\mathbf{j})\, d^3\mathbf{r} = \int \mathbf{j}\, d^3\mathbf{r},$

где $\textstyle \nabla$ действует на $\textstyle \mathbf{r}$ и последнее равенство получается в результате интегрирования по частям. Действительно, запишем $\textstyle i$ -ю компоненту производной дипольного момента:

$\dot{d}_i= -\int r_i\,(\nabla\mathbf{j})\, d^3\mathbf{r}= -\int \nabla(r_i\,\mathbf{j})\, d^3\mathbf{r}+ \int (\mathbf{j}\nabla)r_i\, d^3\mathbf{r} = \int j_i\, d^3\mathbf{r}.$

(интеграл от полной дивергенции равен нулю в силу теоремы Гаусса, т.к. на поверхности объёма токов нет).

Напомним, что при рассмотрении стационарных задач в магнитостатике мы считали, что пространственный интеграл от плотности тока $\textstyle \mathbf{j}$ равен нулю (в стационарном случае ограниченный ток должен быть замкнутым). Если токи зависят от времени, это не так. Например, поле может создавать одиночный заряд, движущийся с переменной скоростью. В этом случае $\textstyle \mathbf{j}(\mathbf{r},t)=Q\delta(\mathbf{\mathbf{r}-\mathbf{r}(T)})\,\mathbf{v}(T)$ и интеграл от тока равен $\textstyle Q\mathbf{v}(T)$ .

Аналогично записывается разложение интеграла (), стр.\pageref{retarded_potential_A} для векторного потенциала. Мы ограничимся только ведущим приближением:

$\mathbf{A}(\mathbf{x},t) \approx \frac{1}{|\mathbf{x}|}\int\mathbf{j}(\mathbf{r},T)\,d^3\mathbf{r} = \frac{\dot{\mathbf{d}}(T)}{|\mathbf{x}|}.$

Как и в случае с третьим слагаемым в разложении скалярного потенциала, это выражение называется электрическим дипольным излучением.

Найдём электромагнитное поле на больших расстояниях, взяв для скалярного потенциала третье слагаемое ( $\textstyle Q=0$ , $\textstyle |\mathbf{x}|^2\gg|\mathbf{x}|$ ):

$\varphi(\mathbf{x},t) \approx \frac{\mathbf{n}\dot{\mathbf{d}}(T)}{|\mathbf{x}|}, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{A}(\mathbf{x},t) \approx \frac{\dot{\mathbf{d}}(T)}{|\mathbf{x}|}.$

Будем пренебрегать членами порядка $\textstyle 1/|\mathbf{x}|^2$ по сравнению с линейно убывающими по $\textstyle |\mathbf{x}|$ . Поэтому при взятии ротора от $\textstyle \mathbf{A}$ можно $\textstyle 1/|\mathbf{x}|$ вынести за знак наблы, так как её действие на этот множитель даст вклад порядка $\textstyle 1/|\mathbf{x}|^2$ . При дифференцировании по координатам дипольного момента необходимо учесть, что $\textstyle \mathbf{d}=\mathbf{d}(t-|\mathbf{x}|)$ , поэтому:

$\frac{\partial \dot{\mathbf{d}}}{\partial x_i}= -\ddot{\mathbf{d}}\,\frac{\partial |\mathbf{x}|}{\partial x_i} = -\ddot{\mathbf{d}}\,\frac{x_i}{|\mathbf{x}|}=-\ddot{\mathbf{d}}\,n_i,$

где, как и раньше, $\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{x}/|\mathbf{x}|$ — единичный вектор в направлении точки наблюдения. Следовательно, магнитное поле равно:

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{|\mathbf{x}|}\,[\ddot{\mathbf{d}}\times \nabla] |\mathbf{x}| = \frac{\ddot{\mathbf{d}}\times \mathbf{n}}{|\mathbf{x}|}.$

Аналогично вычисляется электрическое поле:

$\mathbf{E} = -\nabla\varphi -\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}= \frac{(\mathbf{n}\ddot{\mathbf{d}})\mathbf{n} - \ddot{\mathbf{d}}}{|\mathbf{x}|} = \frac{\mathbf{n}\times[\mathbf{n}\times\ddot{\mathbf{d}}]}{|\mathbf{x}|}.$

Таким образом, в приближении электрического дипольного излучения:

$\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=\mathbf{B}\times\mathbf{n},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{B}(\mathbf{x},t)=\frac{\ddot{\mathbf{d}}(T)\times \mathbf{n}}{|\mathbf{x}|}.$

Заметим, что электрическое и магнитное поля оказались перпендикулярными. Дальнейшие члены разложения скалярного потенциала приводят к поправкам к этим выражениям, называемым квадрупольным (и далее мультипольным) излучением. Следующие члены разложения векторного потенциала дают т.н. магнитно-дипольное излучение, зависящее от вторых производных магнитного момента $\textstyle \ddot{\mathbf{m}}$ . Подобный ряд можно строить сколь угодно длинным, получая всё более точное приближение к интегральному представлению запаздывающих потенциалов.

Плотность импульса электромагнитного поля дипольного излучения равна:

$\mathbf{P}=\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{4\pi}= \frac{[\mathbf{B}\times\mathbf{n}]\times\mathbf{B}}{4\pi} = \mathbf{n}\,\frac{\mathbf{B}^2}{4\pi} = \mathbf{n}\,\frac{[\ddot{\mathbf{d}}\times\mathbf{n}]^2}{4\pi\,\mathbf{x}^2},$

где учтено, что $\textstyle \mathbf{n}\mathbf{B}=0$ . В силу закона сохранения электромагнитной энергии (), стр. \pageref{energy_E}, убывание энергии в объёме связано с её потоком $\textstyle \mathbf{P}$ через поверхность. Интеграл от $\textstyle \mathbf{P}$ по этой поверхности равен "уходу" энергии за единицу времени.

Интенсивность излучения $\textstyle dI$ в направлении телесного угла $\textstyle d\Omega$ определяется, как поток энергии, проходящий в единицу времени через элемент поверхности $\textstyle dS=\mathbf{x}^2 d\Omega$ сферы радиуса $\textstyle |\mathbf{x}|$ :

$\frac{dI}{d\Omega} = \mathbf{x}^2 \,(\mathbf{n}\mathbf{P}) = \frac{[\ddot{\mathbf{d}}\times\mathbf{n}]^2}{4\pi}.$

Введя угол $\textstyle \theta$ между $\textstyle \ddot{\mathbf{d}}$ и единичным вектором $\textstyle \mathbf{n}$ , интенсивность в телесном угле $\textstyle d\Omega$ можно записать следующим образом:

$\frac{dI}{d\Omega} = \frac{\ddot{\mathbf{d}}^2}{4\pi}\, \sin^2\theta.$

Интенсивность излучения максимальна в направлении, перпендикулярном второй производной по времени от дипольного момента ( $\textstyle \theta=\pi/2$ ).

Проинтегрируем интенсивность излучения по всему телесному углу ( $\textstyle d\Omega = d\phi \,\sin\theta d\theta$ ):

$I =\frac{\ddot{\mathbf{d}}^2}{4\pi} \int\limits^{2\pi}_0 d\phi \int\limits^{\pi}_0 \sin^3\theta d\theta = \frac{\ddot{\mathbf{d}}^2}{2}\int\limits^1_{-1} (1-z^2)dz.$

В результате получается полная интенсивность излучения (суммарная энергия, теряемая системой зарядов в единицу времени):

$I = \frac{2}{3}\,\ddot{\mathbf{d}}^2.$

(EQN)

Наличие второй производной у дипольного момента означает, что излучение возникает, когда заряды движутся ускоренно. Например, для одиночного заряда $\textstyle \mathbf{d}=Q\mathbf{r}$ и $\textstyle \ddot{\mathbf{d}}=Q\mathbf{a}$ , где $\textstyle \mathbf{a}$ — ускорение заряда в момент времени $\textstyle T$ .

Выше разложение запаздывающих потенциалов производилось в предположении $\textstyle \mathbf{n}\mathbf{r}\ll|\mathbf{x}|$ . Однако при вычислении напряжённостей поля возникают производные по времени. Поэтому подобное разложение также предполагает относительную малость скоростей и ускорений зарядов.

$\textstyle \bullet$ В качестве примера рассмотрим диполь, который периодически изменяется со временем с частотой $\textstyle \omega$ :

$\mathbf{d} = \mathbf{d}_0 \sin \omega t.$

Таким диполем может выступать заряженная частица, испытывающая периодические колебания вдоль постоянного вектора $\textstyle \mathbf{d}_0$ . Вторую производную дипольного момента необходимо вычислить при $\textstyle T=t-|\mathbf{x}|$ . Поэтому:

$\ddot{\mathbf{d}} = -\mathbf{d}_0\omega^2\, \sin \bigl(\omega (t-|\mathbf{x}|)\bigr).$

Соответственно, электрическое и магнитное поля равны:

$\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=\frac{\mathbf{d}_0 - \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{d}_0) }{|\mathbf{x}|}\,\omega^2\,\sin \bigl(\omega (t-|\mathbf{x}|)\bigr),$

$\mathbf{B}(\mathbf{x},t)=\frac{\mathbf{n}\times\mathbf{d}_0 }{|\mathbf{x}|}\,\omega^2\,\sin \bigl(\omega (t-|\mathbf{x}|)\bigr).$

Если поля наблюдаются на линии, перпендикулярной вектору $\textstyle \mathbf{d}_0$ , то $\textstyle \mathbf{n}\mathbf{d}_0=0$ и электрическое поле параллельно $\textstyle \mathbf{d}_0$ . Направления полей приведены ниже на рисунке:

В окрестности рассматриваемой линии электромагнитное поле похоже на плоскую волну, амплитуда которой постепенно убывает с удалением от её источника.

Полная энергия излучения через сферу радиуса $\textstyle |\mathbf{x}|$ равняется:

$I = \frac{2}{3}\,d^2_0\,\omega^4\,\sin^2 \bigl(\omega (t-|\mathbf{x}|)\bigr),$

где $\textstyle d_0$ — длина диполя (амплитуда колебания заряда). Эта энергия периодически изменяется с частотой $\textstyle \omega$ . Её среднее значение по периоду изменения равно:

$\left\langle I\right\rangle = \frac{\omega}{2\pi}\int\limits^{2\pi/\omega}_0 I\, dt= \frac{d^2_0\omega^4}{3}\,.$

Энергия излучения быстро растёт с ростом частоты колебаний диполя. Однако необходимо помнить, что дипольное приближение справедливо только при малых скоростях зарядов. Поэтому приведенные выше соотношения справедливы только при $\textstyle v\sim d_0\omega \ll 1.$

$\textstyle \bullet$ В качестве второго примера рассмотрим электрон, движущийся вокруг протона по окружности радиуса $\textstyle r$ (неквантовая модель атома). Заряд электрона отрицательный $\textstyle -e<0$ , а у протона — положительный $\textstyle e>0$ . Свяжем начало системы отсчёта с протоном. Так как его масса в 1836 раз больше, чем у электрона, будем считать его неподвижным. Дипольный момент равен $\textstyle \mathbf{d}=-e\mathbf{\mathbf{r}}$ и направлен от электрона к протону. Пусть скорость движения невелика, так что можно воспользоваться нерелятивистской динамикой. Запишем уравнения движения и энергию электрона (без учёта энергии покоя $\textstyle m$ ):

$m\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{e^2}{r^3}\,\mathbf{r},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathcal{E}=\frac{m\mathbf{v}^2}{2} - \frac{e^2}{r}.$

Если движение происходит по окружности, то ускорение по модулю равно $\textstyle a=v^2/r$ и направлено к центру (к протону). Поэтому:

$\frac{mv^2}{r}=\frac{e^2}{r^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v^2=\frac{e^2}{mr},\;\;\;\;\;\;\;\mathcal{E}=-\frac{e^2}{2r}.$

Полное излучение энергии в единицу времени равно:

$I = \frac{2}{3}\,(ea)^2=\frac{2}{3}\, \frac{e^6}{m^2r^4}.$

Эта величина равна $\textstyle I=-\Delta \mathcal{E}/\Delta t$ (потеря энергии электрона за время $\textstyle \Delta t$ ). Относительное изменение энергии будет равно:

$\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}} \;=\; -\frac{I}{\mathcal{E}}\,\Delta t \;=\; \frac{4}{3}\,\frac{e^4}{m^2\,r^3}\Delta t \;\mapsto\; \frac{4}{3}\,\frac{e^4}{m^2\,r^3\,c^4}\,c\,\Delta t,$

где в последнем выражении восстановлена скорость света в результате подстановок $\textstyle e\mapsto e/c$ , $\textstyle t\mapsto ct$ . Введём т.н. классический радиус электрона $\textstyle r_e$ и возьмём типичный радиус атома (боровский радиус)

$r_e = \frac{e^2}{mc^2} = 2.817\,940\cdot 10^{-15}\;м,\;\;\;\;\;\;\;\;r = \frac{r_e}{\alpha^2} = 0.529\,177\cdot 10^{-10}\;м,$

где $\textstyle \alpha=e^2/(\hbar c)\approx 1/137$ — безразмерная постоянная тонкой структуры. Тогда относительное изменение энергии электрона имеет вид:

$\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}} = \frac{4}{3}\,\frac{r^2_e}{r^3}\,c\,\Delta t.$

Энергия электрона уменьшится в два раза всего за $\textstyle 2\cdot 10^{-11}$ секунды. Потребовалось создать квантовую теорию, чтобы, в том числе, объяснить устойчивость атомов. Заметим, что относительная скорость электрона равна постоянной тонкой структуры $\textstyle v/c=\sqrt{r_e/r}=\alpha$ . Поэтому за $\textstyle 2\cdot 10^{-11}$ секунды электрон совершит примерно $\textstyle n\sim 1/\alpha^3=2.5\cdot 10^6$ оборотов вокруг протона.

Потенциалы поля <<	Оглавление (Глава 5)	>> Немного комплексных чисел

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Дипольное излучение

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты