Диаграммы Далица и Мандельстама

Материал из Synset

Инварианты s, t и u <<	Оглавление (Глава 3)	>> Антисимметричные тензоры

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим реакцию аннигиляции пи-мезонов, при которой рождаются протон и антипротон

$\pi^++\pi^-\mapsto p+\bar{p}.$

Это реакция неупругого рассеяния, так как исходные частицы (пи-мезоны) изменяют не только свои импульсы, но и "вид", превращаясь в протоны. В этом случае исходные массы равны $\textstyle m_1=m_2=m=135$ МэВ и отличаются от масс конечных частиц $\textstyle m_3=m_4=M=938$ МэВ. Поэтому косинус угла рассеяния в системе центра () масс равен:

$\cos\chi = \frac{s+2(t-m^2-M^2)}{\sqrt{(s-4m^2)(s-4M^2)}}.$

Порог реакции $\textstyle s\geqslant (m_3+m_4)^2=4M^2$ . Однако существует дополнительное ограничение, связанное с тем, что $\textstyle \cos^2\chi\leqslant 1$ . Это неравенство имеет следующий вид:

$t\,(t + s-2(M^2+m^2))+(M^2-m^2)^2 \leqslant 0.$

(EQN)

Таким образом, возникает энергетически разрешённая область на плоскости $\textstyle (s,t)$ , которую называют диаграммой Далица:

На диаграмме Далица два независимых инварианта $\textstyle s$ и $\textstyle t$ откладываются на перпендикулярных декартовых осях, а энергетически разрешённая область отмечается серым цветом. Порог реакции $\textstyle s\geqslant 4M^2$ проведен в виде тонкой вертикальной линии, справа от которой должна находиться разрешённая область. Это приводит к тому, что $\textstyle t<0$ . Граница разрешённой области получается, когда в соотношении () выбирается знак равенства:

$t + s-2(M^2+m^2)+\frac{(M^2-m^2)^2}{t} = 0.$

При $\textstyle t\to\infty$ это уравнение стремится к прямой $\textstyle t =2(M^2+m^2)-s$ . Вторая асимптотика соответствует пределу $\textstyle s\to \infty$ , $\textstyle t\to 0$ .

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим теперь реакцию упругого рассеяния пи-мезона на протоне:

$\pi^++p\mapsto \pi^++p.$

В этом случае новые частицы не рождаются и происходит просто изменение импульсов исходных частиц, поэтому эта реакция и называется упругой. Массы частиц равны $\textstyle m_1=m_3=m$ , $\textstyle m_2=m_4=M$ , и порогом реакции будет $\textstyle s\geqslant(M+m)^2$ . Косинус угла рассеяния равен:

$\cos\chi = \frac{s^2+2s(t-m^2-M^2)+(M^2-m^2)^2}{(s-(M+m)^2)(s-(M-m)^2)}.$

Для получения энергетических неравенств в данном случае проще расписать два неравенства $\textstyle \cos\chi\leqslant 1$ и $\textstyle \cos\chi\geqslant -1$ . Первое даёт

$st\leqslant 0,$

и, так как $\textstyle s>0$ , имеем $\textstyle t\leqslant 0$ . Второе неравенство приводит к соотношению, похожему на (), но с переставленными местами инвариантами $\textstyle s$ и $\textstyle t$ :

$s\,(s + t- 2(M^2+m^2)) + (M^2-m^2)^2 \geqslant 0.$

(EQN)

Нарисуем энергетически разрешённую область на диаграмме Далица:

Обратим внимание, что эта граничная энергетическая линия получается из линии реакции $\textstyle \pi^++\pi^-\mapsto \bar{p} + p$ перестановкой местами $\textstyle s$ и $\textstyle t$ инвариантов. Это происходит потому, что рассматриваемые две реакции являются фактически одной четырёххвосткой. Если в $\textstyle \pi^++\pi^-\mapsto \bar{p} + p$ поменять местами 2-ю и 3-ю частицы, мы получим реакцию $\textstyle \pi^++p\mapsto \pi^++p$ (массы протона и антипротона одинаковые). Понятно, что инварианты $\textstyle s=(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_2)$ и $\textstyle t=(\mathrm{p}_1+\mathrm{p}_3)$ поменяются местами. Говорят, что эти реакции происходят в различных каналах одной и той же четырёххвостки. Первая реакция происходит в $\textstyle s$ канале, а вторая — в $\textstyle t$ . Соответственно, линия граничной области получается при повороте рисунка на 90 градусов.

$\textstyle \bullet$ Кроме энергетических диаграмм Далица используются также диаграммы Мандельстама, на которых одновременно изображаются все три инварианта $\textstyle (s,t,u)$ . Такая диаграмма является косоугольной системой координат, в которой оси $\textstyle s$ и $\textstyle t$ проведены под углом 60 градусов. Однако рисуются не сами оси, а уровни $\textstyle s=1$ , $\textstyle s=2$ , ...., параллельные оси $\textstyle s=0$ и отстоящие от неё на 1,2,... Аналогично для уровней $\textstyle t$ , $\textstyle u$ . Линии $\textstyle s=0$ , $\textstyle t=0$ и $\textstyle u=0$ образуют правильный треугольник $\textstyle ABC$ , высота которого равна

$h=s+t+u=m^2_1+m^2_2+m^2_3+m^2_4.$

Положительные значения инвариантов откладываются от нулевой линии в сторону треугольника, а отрицательные — в обратную:

На первом рисунке жирными линиями отмечены нулевые уровни, а тонкими — уровни $\textstyle s=h$ , $\textstyle t=h$ , $\textstyle u=h$ . В точке $\textstyle A$ значение инвариантов равно $\textstyle s=h$ , $\textstyle t=u=0$ . Их сумма равна $\textstyle h$ . Это свойство выполняется для любой точки плоскости (второй рисунок). Действительно, для площадей треугольников, образованных точками $\textstyle P$ , $\textstyle A$ , $\textstyle B$ , $\textstyle C$ , выполняется соотношение

S A B C = S B C P + S A C P - S A B P .

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Основания всех треугольников одинаковые, а высоты равны $\textstyle h$ , $\textstyle s$ , $\textstyle t$ и $\textstyle -u$ , поэтому $\textstyle h=s+t+u$ .

Можно перейти к прямоугольным декартовым координатам, проведя вертикальную ось $\textstyle s$ вдоль высоты $\textstyle h$ перпендикулярно линии $\textstyle s=0$ , которая будет горизонтальной осью $\textstyle z$ (первый рисунок). Прямоугольные координаты $\textstyle (z,s)$ связаны с инвариантом $\textstyle t$ следующим образом:

$t=\frac{h+\sqrt{3} z-s}{2}.$

Третий инвариант равен

$u=\frac{h-\sqrt{3} z-s}{2},$

в результате чего сумма всех инвариантов равняется $\textstyle h$ .

Рассмотрим снова реакцию аннигиляции двух пи-мезонов с рождением протон-антипротонной пары:

$\pi^++\pi^-\mapsto \bar{p} + p.$

Разрешённая область для этой реакции определяется неравенством порога $\textstyle s\leqslant 4M^2$ и соотношением (). Выразим в последнем $\textstyle t$ через переменные $\textstyle z$ и $\textstyle s$ :

$3z^2 - (s-h)^2 + 4 (M^2-m^2)^2 \leqslant 0,$

(EQN)

где $\textstyle h=2(M^2+m^2)$ . Эта область изображена на рисунке ниже:

и соответствует параболе в верхней части рисунка с асимптотическими линиями $\textstyle u=0$ и $\textstyle t=0$ . Реакцию

$\pi^++p\mapsto \pi^++p,$

и аналогично для античастиц, можно изобразить на этом же рисунке, если считать, что в ней, как и в предыдущей реакции, пи-мезоны имеют номера 1 и 2, а протоны — 3 и 4. Тогда в неравенствах (), $\textstyle t\leqslant 0$ , $\textstyle s\geqslant(M+m)^2$ необходимо поменять $\textstyle s$ , $\textstyle t$ местами, и получится () с обратным знаком неравенства и $\textstyle s\leqslant 0$ , $\textstyle t\geqslant(M+m)^2$ . Эта область изображена на рисунке в правом нижнем углу. Третий возможный канал изображен в левом углу рисунка и соответствует реакции неупругого рассеяния нейтрального пи-мезона на нейтроне с образованием протона и заряженного пи-мезона:

$\pi^0+n\mapsto \pi^- + p.$

На самом деле эта реакция не полностью симметрична двум предыдущим, так как массы частиц различаются. Однако это отличие невелико. Так, нейтрон тяжелее протона примерно на 0.1\% или 1\% от массы пи-мезона. Аналогично нейтральный пи-мезон $\textstyle \pi^0$ всего на 1\% легче, чем его заряженные собратья $\textstyle \pi^\pm$ .

Таким образом, все три реакции получаются перестановкой частиц в реакции и переобозначением инвариантных переменных $\textstyle s$ , $\textstyle t$ и $\textstyle u$ .

Инварианты s, t и u <<	Оглавление (Глава 3)	>> Антисимметричные тензоры

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Диаграммы Далица и Мандельстама

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты