Время и расстояние в равноускоренной системе

Материал из Synset

Равноускоренная система отсчета <<	Оглавление	>> Неинерциальные координаты и время

Разберёмся, почему ускорение второго корабля оказалось меньше. Траектории обоих кораблей известны, поэтому можно записать показания часов каждого из них в момент времени $\textstyle t$ :

$t=\frac{1}{a}\mathrm{ch}(at'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t= \frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{ch}\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right).$

Заметим, что время $\textstyle t'$ , прошедшее на первом корабле, и $\textstyle t''$ на втором сравнивается с различными часами, синхронизированными в системе $\textstyle S$ . Запишем координту второго корабля через его собственное время:

$f(t) = \frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}-1\bigr]= \frac{1+ax_0}{a} \mathrm{ch}\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right) - \frac{1}{a}.$

Пусть второй (правый) корабль посылает "сигнал точного времени" в направлении первого корабля. Он уходит в момент времени $\textstyle t''_1$ и приходит к первому кораблю в момент $\textstyle t'_2$ , проходя с единичной скоростью ( $\textstyle c=1$ ) в системе $\textstyle S$ расстояние $\textstyle f(t_1)-x(t_2)=t_2-t_1$ , или $\textstyle f(t_1)+t_1=x(t_2)+t_2$ . Запишем это уравнение во временах каждого корабля:

$(1+ax_0)\,\left[\mathrm{ch}\left(\frac{a\,t''_1}{1+ax_0}\right)+\mathrm{ch}\left(\frac{a\,t''_1}{1+ax_0}\right)\right] = \mathrm{ch}(a\,t'_2)+\mathrm{ch}(a\,t'_2).$

Выражая гиперболические функции через экспоненты, получаем линейную связь времён и "радиолокационного расстояния" $\textstyle x'_0=\ln(1+ax_0)/a$ :

$t'_2 = x'_0+t''_1\,e^{-ax'_0}.$

(4.7)

Сигналы, отправленные через равные промежутки времени, по часам второго корабля будут также приходить через равные промежутки, однако с другим интервалом:

$\Delta t' = \Delta t''\,e^{-ax'_0},\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\nu'=\nu''\,e^{ax'_0}.$

Частота принятого сигнала $\textstyle \nu'$ от удалённого наблюдателя равноускоренной системы тем больше, чем дальше по ходу движения находится источник сигнала.

Таким образом, если расстояние между наблюдателями в неинерциальной системе отсчета остаётся неизменным, то время у них течёт различным образом. Чем дальше по направлению ускорения находятся часы, тем быстрее на них идёт время.

$\textstyle \bullet$ Наблюдатели в ускоренной системе отсчёта чувствуют себя точно так же, как и мы на Земле, находясь в однородном поле силы тяжести. В частности, все объекты, "выпущенные из рук", независимо от их массы приобретают ускорение $\textstyle a$ .

Если, следуя Эйнштейну, считать, что равноускоренная система неотличима от однородного гравитационного поля, то полученная формула для частот должна выполняться и в земных условиях. В частности, приёмник, расположенный ниже источника эталонного излучения $\textstyle \nu_0$ , должен получать сигнал с большей частотой $\textstyle \nu\approx\nu_0\, (1+gH/c^2)$ , где $\textstyle g=9.8\;м/c^2$ , а $\textstyle H$ — высота источника над приёмником, и восстановлена константа " $\textstyle c$ ". Это соотношение с хорошей точностью подтвердилось в эксперименте Паунда и Ребки (1960 г.). Их установка имела высоту $\textstyle H=22.5\,м$ , что соответствовало относительному изменению частоты $\textstyle gH/c^2=2.5\cdot 10^{-15}$ , которое удалось измерить при помощи эффекта Мёссбауэра.

Слагаемое $\textstyle x'_0=\ln(1+ax_0)/a$ в формуле (4.7) — это время распространения света при передаче сигнала по часам первого корабля. Действительно, в (4.4) мы определили $\textstyle e^{a\tau_0/2}=1+ax_0$ . Время движения "туда и обратно" светового импульса $\textstyle \tau_0=t'_2-t'_1$ может быть принято первым кораблём за удвоенное расстояние $\textstyle x'$ до второго корабля. С учётом времени на прохождение этого расстояния, наблюдатели могут сравнить показания своих часов $\textstyle t'$ и $\textstyle t$ :

$t'=t'' \, e^{-ax'_0}.$

(4.8)

В результате событие, произошедшее на втором корабле в момент $\textstyle t''$ , наблюдатель на первом может считать одновременным моменту его часов $\textstyle t'=t''/(1+ax_0)$ , так как информация о нём достигнет первого корабля через время, равное расстоянию $\textstyle x'$ .

Напомним, что расстояние между кораблями до старта равнялось $\textstyle x_0$ . Как только появилось ускорение, пространство стало неизотропным и расстояние до второго корабля $\textstyle x_0\mapsto x'$ уменьшилось, и в дальнейшем уже не менялось. На самом деле, скачок расстояния наблюдатели обнаружат после старта, спустя некоторое время, необходимое для проведения его радиолокационного измерения. В момент отключения двигателей неинерциальная система отсчёта превращается в инерциальную, и пространство снова становится изотропным. Расстояние между кораблями увеличится с величины $\textstyle x'_0=\ln(1+ax_0)/a$ до значения $\textstyle x_0$ .

Радиолокационный метод, проведенный наблюдателем на первом корабле привёл к расстоянию между кораблями равному $\textstyle x'_0=\ln(1+ax_0)/a$ . Посмотрим, что получится, если такое же измерение проведёт наблюдатель на втором корабле. Запишем процесс посылки и получения сигнала обратно с точки зрения системы $\textstyle S$ :

Из этих двух уравнений следует:

$\bigl(1+af(t_1)+at_1\bigr)\bigl(1+af(t_2)-at_2\bigr)=\bigl(1+ax(t)+at\bigr)\bigl(1+ax(t)-at\bigr) = 1,$

где во втором равенстве учтён явный вид функции $\textstyle x(t)$ (4.1). Переходя ко времени второго корабля $\textstyle at=(1+ax_0)\mathrm{ch}(at''/(1+ax_0))$ , имеем:

$\left[\mathrm{ch}\frac{at''_1}{1+ax_0}+\mathrm{ch}\frac{at''_1}{1+ax_0}\right] \left[\mathrm{ch}\frac{at''_2}{1+ax_0}-\mathrm{ch}\frac{at''_2}{1+ax_0}\right] = \frac{1}{(1+ax_0)^2}=e^{-2ax'_0}.$

Записав гиперболические функции через экспоненты, из этого уравнения несложно получить значение длительности прохождения сигнала в обе стороны:

$x''_0 = \frac{t''_2-t''_1}{2} = x'_0\,e^{ax'_0}.$

(4.9)

Таким образом, второй наблюдатель получит в $\textstyle e^{ax'_0}$ большее расстояние, чем первый. Если повторить расчёт по посылке периодических сигналов (стр.\pageref{acsel_ref_sys_times}), но теперь от первого корабля ко второму, то получится соотношение:

$t''_2 = x''_0+t'_1\,e^{ax'_0}.$

(4.10)

В результате второй корабль от первого будет получать сигналы с меньшей частотой

$\nu''=\nu'\,e^{-ax'_0}.$

Таким образом, мы не только не можем говорить о едином времени в неинерциальной системе, но и координаты (расстояния от начала отсчёта) являются величинами, измеряемыми конкретными наблюдателями. Например, $\textstyle x'_0$ в (4.8) получается в результате радиолокационных измерений наблюдателя на первом корабле, а $\textstyle x''_0$ в (4.9) для наблюдателя на втором. Они не совпадают. Это и понятно. В радиолокационном методе используются часы. Если время для различных наблюдателей в неинерциальной системе течёт по-разному, то и результаты радиолокации будут различными.

$\textstyle \bullet$ В процессе движения, расстояние между кораблями в неинерциальной системе отчёта выдерживается неизменным при помощи радиолокационного метода. Для неподвижных наблюдателей в системе $\textstyle S$ , расстояние между кораблями уменьшается. С точки зрения стандартного сокращения Лоренца в этом нет ни чего удивительного, так как скорость кораблей всё время растёт.

Представим "линейку", соединяющую оба корабля. Её длина в системе $\textstyle S$ равна:

$l(t) = f(t) - x(t) = \frac{1}{a}\sqrt{(1+a\,x_0)^2+(at)^2}-\frac{1}{a}\sqrt{(1+(at)^2},$

Наблюдатель системы $\textstyle S'$ , находящийся на первом корабле, считает, что длина линейки (расстояние между кораблями) равна

$l_0=x'_0=\frac{1}{a}\ln(1+ax_0).$

(4.11)

Если ввести скорость первого корабля относительно неподвижной инерциальной системы отсчёта и соответствующий этой скорости фактор Лоренца:

$u(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{at}{\sqrt{1+(at)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-u^2(t)}}=\sqrt{1+(at)^2},$

то выражение для длины можно переписать следующим образом:

$l(t)= \frac{\sqrt{e^{2al_0}+ \gamma^2 - 1}-\gamma}{a}\approx \frac{l_0}{\gamma},$

где приближённое равенство записано в первом приближении по собственному ускорению $\textstyle a$ . Для этого, экспонента раскладывается в ряд $\textstyle e^x\approx 1+x$ , и для корня используется разложение $\textstyle \sqrt{1+x}\approx 1+x/2$ .

Таким образом, если собственное ускорение мало, то зависимость длины стержня совпадает с лоренцевским сокращением $\textstyle l=l_0\sqrt{1-u^2}$ для двух инерциальных систем отсчёта. В общем же случае, сокращение линейки отличается от лоренцевского.

Подчеркнём, что значение $\textstyle l_0$ неинерциальные наблюдатели получают в результате радиолокационного измерения, а не реальным прикладыванием линейки, при помощи которой они измеряют скорости в своей непосредственной окрестности. В соответствии с (4.11) оно отличается от начального расстояния между кораблями $\textstyle x_0$ и различно для наблюдателя не первом и втором кораблях. Выше, в качестве собственной длины линейки, было выбрано радиолокационное расстояние, измеренное наблюдателем на первом корабле.

$\textstyle \bullet$ Приведём численный пример. Будем считать, что $\textstyle a=1$ , время измеряется в годах, а расстояние — в световых годах ( $\textstyle c=1$ ). Пусть оба корабля эскадры, разогнавшись до скорости $\textstyle u$ относительно системы $\textstyle S$ , отключают двигатели и начинают двигаться равномерно. Так как темп хода часов на каждом корабле различный, различным будет и время набора требуемой скорости. Пусть первый корабль по часам системы $\textstyle S$ разгоняется в течение одного года $\textstyle t_1=1$ , достигая скорости $\textstyle u=t/\sqrt{1+t_1^2} = 0.71.$ По собственным часам корабля время ускоренного движения составляет $\textstyle t'_1=\mathrm{ash}\,t_1)=0.88$ года. Второй корабль, находящийся при старте на расстоянии одного светового года $\textstyle x_0=1$ , достигнет этой же скорости (по часам системы $\textstyle S$ ) в $\textstyle 1+x_0$ раза позже [см. (4.6)]:

$t_2=(1+x_0)\,\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}=(1+x_0)\,t_1=2,$

что соответствует его собственному времени $\textstyle t''_2$ , равному:

$t''_2=(1+x_0)\,\mathrm{ash}\,\left(t_2/(1+x_0)\right)=(1+x_0)\, t'_1 = 1.76.$

Таким образом, по собственным часам второго корабля на разгон уходит в два раза больше времени, чем на первом.

Для экипажа первого корабля часы на втором корабле идут быстрее в $\textstyle 1+x_0$ раз (4.8). Поэтому в $\textstyle S'$ корабли достигнут одинаковой скорости одновременно (в указанном ранее смысле). В то же время, для наблюдателей в $\textstyle S$ события отключения двигателей неодновременные и отстоят друг от друга во времени на один год. В течение разгона часы второго корабля уходят вперёд по сравнению с часами первого корабля. После отключения двигателей система $\textstyle S'$ превращается в инерциальную, и темп хода всех часов становится одинаковым. Однако экипаж флагманского корабля оказывается старше в $\textstyle 1+x_0$ раз. В результате корабли вынуждены по-новому синхронизировать свои часы.

Расстояние между кораблями для наблюдателей в $\textstyle S$ после отключения двигателей второго корабля в момент времени $\textstyle t_2$ перестаёт изменяться и становится равным:

$f(t_2)-[x(t_1)+u\, (t_2-t_1)]= x_0\sqrt{1-u^2}.$

Второе слагаемое в квадратных скобках — это расстояние, которое пролетел первый корабль с постоянной скоростью $\textstyle u$ после отключения двигателя. Таким образом, дистанция между кораблями ( $\textstyle x_0\sqrt{1-u^2}$ ) уменьшилась по сравнению с той, которая была ( $\textstyle x_0$ ), когда они стояли на космодромах. Это итоговое сокращение, при любом парамере $\textstyle a$ , в точности соответствует лоренцевскому сжатию линейки.

Подведём некоторые итоги. Мы выбрали устройство часов в неинерциальной системе отсчёта (НИСО) таким образом, чтобы скорость свободных частиц в плоскости, перпендикулярной ускорению была постоянной. Затем предположили, что ход таких часов с точки зрения наблюдателей в "неподвижной" инерциальной системе отсчёта (ИСО) замедляется так же, как и в сопутствующей ИСО, которая движется с той же скоростью, что и НИСО. Собственно неинерциальной системой отсчёта мы назвали совокупность наблюдателей, расстояние между которыми, измеряемое при помощи световых сигналов (радиолокации), неизменно по их часам. Однако для наблюдателей в ИСО такая НИСО уже не выглядит жёсткой и все её точки вдоль направления движения имеют различные скорости.

Обмен наблюдателями световыми сигналами приводит к выводу, что время в различных точках НИСО течёт различным образом. Аналогично, расстояние между двумя наблюдателями в НИСО хотя и постоянно, но имеет различное значение для каждого из них.

Мы не использовали свойств скорости световых сигналов в НИСО. Однако, расстояние, полученное а результате радиолокационного измерения, считалось неизменным. Поэтому фактически предполагалось постоянство скорости света в НИСО (но не обязательно её изотропность) вдоль оси $\textstyle x$ . В дальнейшем мы примем более сильное допущение:

Скорость светового сигнала в неинерциальной системе отсчёта остаётся постоянной вдоль траектории его движения.

Разберёмся с физическими предпосылками этого допущения. В любой момент времени можно представить, что рядом с некоторым наблюдателем в НИСО с той же скоростью движется инерциальный наблюдатель. Для него фундаментальная скорость (скорость света) постоянна во всех направлениях и является максимально возможной скоростью движения любого объекта. Находясь рядом, инерциальный и неинерциальный наблюдатели имеют одинаковую скорость и темп хода времени. Они без труда могут согласовать свои единицы измерения. Спустя некоторое время скорость неинерциального наблюдателя изменится и рядом с ним может оказаться другой инерциальный наблюдатель. Если у первого и второго инерциальных наблюдателей единицы измерений были согласованы, то они окажутся согласованными между неинерциальным наблюдателем и вторым инерциальным. Это утверждение основано на определении темпа замедления времени в НИСО, неизменности линеек в перпендикулярном к ускорению напралению. Поэтому измерения скорости света в эти два последовательные момента времени окажутся одинаковыми по величине и направлению.

Равноускоренная система отсчета <<	Оглавление	>> Неинерциальные координаты и время

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Время и расстояние в равноускоренной системе

Материал из Synset

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

почитай

Поиск

Инструменты